第1章特殊平行四邊形全章復(fù)習(xí)攻略（1個(gè)性質(zhì)3個(gè)圖形4種思想）與檢測卷

第1章特殊平行四邊形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷【目錄】【1個(gè)性質(zhì)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半【3個(gè)圖形】【3種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想2.轉(zhuǎn)化思想3.分類討論思想4.猜想歸納思想【檢測卷】【題型分類突破】【1個(gè)性質(zhì)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半1．（2022秋?順德區(qū)期末）如圖1，BD是Rt△ABC斜邊AC上的中線．（1）求證：BD＝AC；（2）如圖2，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P是BC上一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足為E、F．當(dāng)P在BC上移動時(shí)，求PE+PF的值．【分析】（1）過點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長線于點(diǎn)E，連接CE，再證明△ADE≌△CDB，可得四邊形ABCE是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出答案；（2）連接DP，根據(jù)勾股定理求出AC，進(jìn)而得出BD，CD，并求出S△ABC，可知S△BCD，然后根據(jù)三角形面積相等得出答案．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長線于點(diǎn)E，連接CE，∴∠DAE＝∠BCD，∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴DE＝BD，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴，∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴AC＝BE，∴；（2）解：如圖，連接DP，作BG⊥AC，于點(diǎn)G，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根據(jù)勾股定理得：，∴．可知，即，∴，則，即，解得：．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，求三角形的面積等，構(gòu)造矩形是證明直角三角形斜邊的性質(zhì)的關(guān)鍵．2．（2022秋?大名縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE．（1）求證：∠AEC＝∠C；（2）求證：BD＝2AC；（3）若AE＝，AD＝5，求△ABE的周長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AE＝BE，再由等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明；（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵AD⊥AB，∴△ABD為直角三角形．又∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴，又∵，∴AE＝BE，∴∠B＝∠BAE．又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C．（2）證明：由（1）可得AE＝AC，又∵，∴，∴BD＝2AC．（3）解：在Rt△ABD中，∵AD＝5，BD＝2AE＝2×＝13，∴AB＝，∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝＝25．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理解三角形及等腰三角形的性質(zhì)與判定等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2023春?黃陂區(qū)期中）如圖所示，一根長米的木棍AB，斜靠在與地面垂直的墻上，此時(shí)墻角O與木棍B端的距離為米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．此時(shí)木棍A端沿墻下滑，B端沿地面向右滑行．（1）木棍在滑動的過程中，線段OP的長度發(fā)生改變嗎？說明理由；若不變，求OP的長；（2）如果木棍的底端B向外滑出米，那么木棍的頂端A沿墻下滑多少距離？【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出OA，求出OC，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）不變．理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP不變；OP＝AB＝米；（2）在直角△ABC中，已知AB＝m，BO＝m，∴OD＝，則由勾股定理得：CO＝＝m，OA＝＝2m，∴AC＝m，答：那么木棍的頂端A沿墻下滑m．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)勾股定理求出各個(gè)邊的長是解此題的關(guān)鍵，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【3個(gè)圖形】一．菱形的判定與性質(zhì)4．（2023?烏魯木齊模擬）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）證明四邊形BEDF是菱形．【分析】（1）由“SAS”可證：△ADE≌△CBF；（2）由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠BAE＝∠DCF，在ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）如圖，連接BD，交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，又∵BD⊥EF，∴平行四邊形BEDF是菱形．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．5．（2023?龍鳳區(qū)模擬）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AEDF是菱形；（2）若AE＝13，AD＝24，試求四邊形AEDF的面積．【分析】（1）先證四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，再證∠ADF＝∠FAD，則FA＝FD，即可得出結(jié)論；（2）連接EF交AD于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)得OA＝OD＝AD＝12，OE＝OF，EF⊥AD，再由勾股定理得OE＝5，則EF＝2OE＝10，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF是菱形；（2）解：如圖，連接EF交AD于點(diǎn)O，由（1）可知，四邊形AEDF是菱形，∴OA＝OD＝AD＝12，OE＝OF，EF⊥AD，∴∠AOE＝90°，∴OE＝＝＝5，∴EF＝2OE＝10，∴S菱形AEDF＝AD?EF＝×24×10＝120．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春?建湖縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BD的垂直平分線交AD、BC分別于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．（1）求證：四邊形BFDE為菱形；（2）若BC＝8，CD＝4，求四邊形BFDE的周長．【分析】（1）證明△OBF≌△ODE（ASA），得出OE＝OF，再由OB＝OD，則四邊形BFDE為平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）設(shè)BF＝x，在Rt△CDF中由勾股定理得出方程，求出BF＝5，即可求解．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分線BD，∴∠BOF＝∠DOE＝90°，OB＝OD，BF＝DF，∵AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE，在△BOF與△DOE中，，∴△OBF≌△ODE（ASA），∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四邊形BFDE為平行四邊形，∵EF⊥BD，∴平行四邊形BFDE為菱形；（2）解：設(shè)BF＝x，則CF＝8﹣x，DF＝BF＝x，在Rt△CDF中，CF2+CD2＝DF2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，即：BF＝5，∴菱形BFDE的周長為4×5＝20．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明△OBF≌△ODE（ASA）是解題的關(guān)鍵．7．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，點(diǎn)E在AD邊上，連接BE、BD，若EB＝BC，BD平分∠EBC．（1）如圖1，求證：四邊形EBCD是菱形；（2）如圖2，連接CE交BD于點(diǎn)O，連接AO，若EC＝BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度等于的線段．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠ADB＝∠DBC，根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD＝∠DBC，得到EB＝ED，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BE＝BC＝ED，BD⊥CE，BO＝DO，∠CBO＝∠EBO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE＝∠CBE＝60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OB＝OD＝OC；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∵EB＝BC，∴ED＝BC，∵ED∥BC，∴四邊形EBCD是平行四邊形，∵EB＝BC，∴平行四邊形EBCD是菱形；（2）解：如圖2，∵平行四邊形EBCD是菱形，∴BE＝BC＝ED，BD⊥CE，BO＝DO，∠CBO＝∠EBO，∵EC＝BC，∴EC＝BC＝BE，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BCE＝∠CBE＝60°，∴tan∠BCO＝＝，∴OB＝OD＝OC；∵∠BAD＝90°，∴OA＝OB＝OD＝OC；∵∠CBO＝∠EBO＝∠CBE＝30°，∵EB＝ED，∴∠EBO＝∠EDO＝30°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠EDO＝30°，∴∠AOB＝∠OAD＝∠EDO＝60°，∴△ABO是等邊三角形，∴AB＝OB＝OC；∴圖2中長度等于OC的線段的線段是OA、OB、OD、AB．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023?鹿城區(qū)校級二模）已知在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，取AD中點(diǎn)Q，過Q作EF⊥AD，且E，F(xiàn)關(guān)于AD成軸對稱（EF＞BC），連結(jié)AE，AF，ED，F(xiàn)D，分別交AB，AC于點(diǎn)G，H．（1）求證：四邊形AEDF為菱形．（2）記△ABC的面積為S1，菱形AEDF的面積為S2，且，當(dāng)AB＝13時(shí)，求BG的長．【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝DF，AE＝ED，由軸對稱的性質(zhì)可得AE＝AF，DE＝DF，進(jìn)而可得AE＝AF＝DF＝DE，即可證明四邊形AEDF為菱形；（2）根據(jù)可得，依次證明△ANQ∽△ABD，△ENG∽△BDG，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解．【解答】（1）證明：∵Q為AD中點(diǎn)，EF⊥AD，∴EF為AD的中垂線，∴AF＝DF，AE＝ED，∵E，F(xiàn)關(guān)于AD成軸對稱，∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＝AF＝DF＝DE，∴四邊形AEDF為菱形；（2）解：如圖，EQ與AB的交點(diǎn)記為N，∵，，，∴，∵NQ∥BD，∴∠ANQ＝∠ABD，∠AQN＝∠ADB，∴△ANQ∽△ABD，∵且Q為AD的中點(diǎn)，∴，設(shè)BD＝3x，則EQ＝5x，NQ＝x，EN＝x，∵EN∥BD，∴△ENG∽△BDG，∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、菱形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等，掌握菱形的判定方法，牢記相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．二．矩形的判定與性質(zhì)9．（2023?德興市一模）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)D為斜邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN．（1）當(dāng)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，線段MN與BC有何位置關(guān)系？并說明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)D在什么情況下時(shí)，線段MN的長最??？這個(gè)最小值是多少？【分析】（1）先證明△ABC∽△MBD，得到，再由線段中點(diǎn)的定義得到，則可得到點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，同理可證點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，則MN為△ABC的中位線，由此即可證明MN∥BC；（2）如圖所示，連接AD，證明四邊形AMDN是矩形，得到MN＝AD．則當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，即此時(shí)MN最?。霉垂啥ɡ砬蟪?，再用等面積法求出AD的最小值為即可得到答案．【解答】解：（1）MN∥BC，理由如下：∵DM⊥AB，∠A＝90°，∴DM∥AC，∴△ABC∽△MBD，∴，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，即，∴，∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，同理可證點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，∴MN∥BC；（2）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，線段MN的長最小，理由如下：如圖所示，連接AD，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°．又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AMDN是矩形．∴MN＝AD．∵點(diǎn)D在BC上，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，即此時(shí)MN最小．∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴，∵當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積＝BC?AD＝AB?AC，∴AD的最小值為＝．∴線段MN的最小值為，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，線段MN的長最小，最小為．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023?東昌府區(qū)二模）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，AB＝BC，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，連接OE．?（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）設(shè)AC＝12，BD＝16，求OE的長．【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形，再證平行四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，則∠COD＝90°，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出CD＝10，再由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，BD＝16，∴，，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD＝＝＝10，由（1）知，四邊形OCED是矩形，∴OE＝CD＝10．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023?南明區(qū)二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，DE＝OC．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝8，∠ABC＝60°，求四邊形ACDE的面積．【分析】（1）先證四邊形AODE為平行四邊形，再由ABCD是菱形的性質(zhì)得∠AOD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AD，OA，由勾股定理得出OD的長，再根據(jù)梯形的面積公式即可解決問題．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠OAD，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∵DE＝OC，∴DE＝OA，在△EAD和△ODA中，，∴△EAD≌△ODA（ASA），∴AE＝OD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四邊形AODE是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝8，OA＝OC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝8，∴OA＝AC＝4，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，由（1）得：四邊形AODE是矩形，∴四邊形ACDE的面積＝（DE+AC）×AE×＝（4+8）×4×＝24．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春?青秀區(qū)期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交AD邊于點(diǎn)Q，連接CQ．（1）若∠BPC＝∠AQP，求證：四邊形ABCD是矩形；（2）在（1）的條件下，若AB＝5，AD＝3，取CQ的中點(diǎn)M，連接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的長．【分析】（1）證出∠A＝90°即可；（2）由（1）結(jié)論得出∠D＝90°，由M為QC中點(diǎn)，推出∠MDC＝∠MCD，∠DMQ＝2∠MCD，同理得出∠PMQ＝2∠PCM，由∠DMP＝90°，推出∠DCP＝45°，又因DC∥AB，推出∠CPB＝∠DCP＝45°，因?yàn)椤螧＝90°，則∠PCB＝45°，推出PB＝BC＝3．則AP＝2，同理推出AQ＝AP＝2．【解答】（1）證明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ，∠BPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∠A＝∠CPQ＝90°∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∠D＝90°，∵M(jìn)為QC中點(diǎn)，∴，∴∠MDC＝∠MCD∴∠DMQ＝∠MCD+∠MDC＝2∠MCD，同理，∠PMQ＝2∠PCM，∠DMP＝∠DMQ+∠PMQ＝2（∠MCD+∠PCM）＝2∠DCP，∵∠DMP＝90°，∴∠DCP＝45°，∵DC∥AB，∴∠CPB＝∠DCP＝45°，∵∠B＝90°，∴∠PCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠CPB＝∠PCB，∴PB＝BC＝3．∴AP＝AB﹣PB＝2，∵∠QPC＝90°，∴∠OPA＝180°﹣45°＝45°，∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°，∴AQ＝AP＝2．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是矩形是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023?雙陽區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC交CB延長線于點(diǎn)E，CF∥AE交AD延長線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECF是矩形．（2）若四邊形ABCD為菱形，H為AB中點(diǎn)，連接OH，若DF＝3，AE＝4，則OH長為．【分析】（1）先證四邊形AECF是平行四邊形，再證∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得OB＝OD＝5，OA＝OC，由勾股定理和三角形的中位線定理即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四邊形AECF是矩形；（2）解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC，AO＝CO，∵四邊形AECF是矩形，∴AF＝CE，∴BE＝DF＝3，∵∠AEB＝90°，∴＝5，∴BC＝AB＝5，∵H為AB中點(diǎn)，∴AH＝BH，∴OH＝BC＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形中位線定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023?西山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，點(diǎn)B，E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）若BF⊥EF，求證：四邊形BFEC是矩形；（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，當(dāng)四邊形BFEC是菱形時(shí)，求菱形BFEC的面積．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠EDC，再證明△AFB≌△DCE得到FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，接著證明FB∥CE，從而可判斷四邊形BFEC是平行四邊形；（2）連接BE，交CF于點(diǎn)G，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BE⊥CF，CG＝FG，BG＝EG，再利用勾股定理計(jì)算出AC＝5，利用面積法計(jì)算出BG＝，接著利用勾股定理計(jì)算出CG，然后根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，AB∥DE，∴∠BAF＝∠EDC，在△AFB和△DCE中，，∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，∴∠BFC＝∠ECF，∴FB∥CE，又∵FB＝CE，∴四邊形BFEC是平行四邊形，∵BF⊥EF，∴∠BFE＝90°，∴四邊形BFEC是矩形；（2）解：連接BE，交CF于點(diǎn)G，如圖，∵四邊形BCEF是菱形，∴BE⊥CF，CG＝FG，BG＝EG，在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AC?BG＝AB?BC，∴BG＝＝，∴BE＝2BG＝，在Rt△BGC中，∵BC＝3，BG＝，∴CG＝＝，∴CF＝2CG＝，∴菱形BFEC的面積＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．三．正方形的判定與性質(zhì)15．（2023春?玄武區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)F，∠E＝90°，ED＝EC．求證：四邊形DFCE是正方形．【分析】根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四邊形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四邊形DFCE是正方形．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【3種思想】1.數(shù)形結(jié)合思想16．（2023春?濰坊期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFG＝37°點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動點(diǎn)，現(xiàn)將紙片兩端分別沿EF，GH折疊至如圖所示的位置，若EF∥GH，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37° B．74° C．96° D．106°【分析】先根據(jù)EF∥GH，得出∠HGC＝∠EFG＝37°，再由矩形的性質(zhì)得出∠GHD＝143°，然后由折疊的性質(zhì)得出∠KHG＝∠DHG＝143°，所以∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，由性質(zhì)得出角度的關(guān)系即可解答．17．（2023?東方二模）如圖，將邊長為4cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是3cm2，則它移動的距離AA′等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm【分析】設(shè)移動了xcm，則有AA′＝xcm，A′D＝（4﹣x）m從而可求重疊部分面積的函數(shù)解析式，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∠D＝90°，AD＝CD，設(shè)移動了xcm，則有AA′＝xcm，A′D＝（4﹣x）m，＝＝﹣x2+4x，∴﹣x2+4x＝3，解得：x1＝1，x2＝3，∴移動的距離AA′是1cm或3cm．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了用二次函數(shù)解決平移產(chǎn)生的面積問題，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2.轉(zhuǎn)化思想18．如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（）A． B． C． D．【分析】本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)，得△EBO≌△FDO，再由△AOB與△OBC同底等高，△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形為矩形，∴OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO與△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴陰影部分的面積＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，∵△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，要注意運(yùn)用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì)．19．如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是1．【分析】由題可知△DEO≌△BFO，陰影面積就等于△BOC面積．【解答】解：由題意可知△DEO≌△BFO，∴S△DEO＝S△BFO，陰影面積＝三角形BOC面積＝×2×1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，不是很難，會把兩個(gè)陰影面積轉(zhuǎn)化到一個(gè)圖形中去．20．如圖，三個(gè)邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積是2．【分析】根據(jù)題意作圖，連接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得陰影部分的面積與正方形面積的關(guān)系，同理得出另兩個(gè)正方形的陰影部分面積與正方形面積的關(guān)系，從而得出答案．【解答】解：連接O1B、O1C，如圖：∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2兩個(gè)正方形陰影部分的面積是S正方形，同理另外兩個(gè)正方形陰影部分的面積也是S正方形，∴S陰影部分＝S正方形＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的證明，把陰影部分進(jìn)行合理轉(zhuǎn)移是解決本題的難點(diǎn)，難度適中．3.分類討論思想21．（2023春?大連期中）數(shù)學(xué)課上，師生們以“利用正方形和矩形紙片折疊特殊角”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷小明利用正方形紙片進(jìn)行折疊，過程如下：步驟①：如圖1，對折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；步驟②：連接AF，BF．可以判定△ABF的形狀是：等腰三角形．（直接寫出結(jié)論）小華利用矩形紙片進(jìn)行折疊，過程如下：如圖2，先類似小明的步驟①，得到折痕EF后把紙片展平；在BC上選一點(diǎn)P，沿AP折疊AB，使點(diǎn)B恰好落在折痕EF上的一點(diǎn)M處，連接AM．小華得出的結(jié)論是：∠BAP＝∠PAM＝∠MAD＝30°．請你幫助小華說明理由．（2）遷移探究小明受小華的啟發(fā)，繼續(xù)利用正方形紙片進(jìn)行探究，過程如下：如圖3，第一步與步驟①一樣；然后連接AF，將AD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在正方形內(nèi)的一點(diǎn)M處，連接FM并延長交BC于點(diǎn)P，連接AP，可以得到：∠PAF＝45°（直接寫出結(jié)論）；同時(shí)，若正方形的邊長是4，可以求出BP的長，請你完成求解過程．（3）拓展應(yīng)用如圖4，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P為BC上的一點(diǎn)（不與B點(diǎn)重合，可以與C點(diǎn)重合），將△ABP沿著AP折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為M落在矩形的內(nèi)部，連結(jié)MA，MD，當(dāng)△MAD為等腰三角形時(shí)，可求得BP的長為9﹣3或16﹣2．（直接寫出結(jié)論）?【分析】（1）由折疊可知，EF是AB的垂直平分線，可得△ABF是等腰三角形；AE＝BE＝，AB＝AM，∠由銳角三角函數(shù)可求∠AEM＝30°，即可得證；（2）先由“HL”可證△ABP≌△AMP，可得∠BAP＝∠MAP，進(jìn)而求出∠PAF＝∠PAM+∠FAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝45°；利用勾股定理構(gòu)造方程可求BP的長；（3）由折疊的性質(zhì)和勾股定理可分類進(jìn)行求解．【解答】解：（1）由折疊可知，EF是AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴△ABF是等腰三角形；故答案為：等腰三角形．由折疊可知：AE＝BE＝，AB＝AM，∠AEM＝90°，Rt△AEM中，sin∠AME＝，∴∠AEM＝30°，∴∠BAM＝60°，∴∠BAP＝∠PAM＝∠BAM＝30°，∴∠BAP＝∠PAM＝∠MAD＝30°．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊可知：AD＝AM，DF＝MF＝CD＝2，∠D＝∠AMF＝90°，∠DAF＝∠MAF，∴AB＝AM，又∵AP＝AP，∴△ABP≌△AMP（HL），∴∠BAP＝∠MAP，BP＝MP，∴∠PAF＝∠PAM+∠FAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝45°，設(shè)BP＝x，則PC＝4﹣x，PF＝PM+MF＝2+x，∴22+（4﹣x）2＝（x+2）2，解得：，即BP的長為．故答案為：45；（3）如圖①，若AM＝AD＝8，由折疊可知：AM＝AB＝6，6≠8，∴此種情況不存在；如圖②，若AM＝DM，∵AM＝DM，∴M在AD的垂直平分線上，過點(diǎn)M作EF⊥AD于點(diǎn)E，EM的延長線交BC于點(diǎn)F，則有EF⊥BC，∴AE＝AD＝4，∴EM＝，∴MF＝EF﹣ME＝6﹣，設(shè)BP的長為x，在Rt△PMF中，，解得：，即BP的長為9﹣3；如圖③，若AD＝DM，由AM2﹣AE2＝DM2﹣（AD﹣AE）2得：62﹣AE2＝82﹣（8﹣AE）2，解得：AE＝，∴ME＝＝，設(shè)BP的長為y，在Rt△PMF中，，解得：，即BP的長為：16﹣2．故答案為：9﹣3或16﹣2．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．22．（2023?深圳模擬）過四邊形ABCD的頂點(diǎn)A作射線AM，P為射線AM上一點(diǎn)，連接DP．將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ，記旋轉(zhuǎn)角∠PAQ＝α，連接BQ．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形ABCD是正方形，且α＝90°．無論點(diǎn)P在何處，總有BQ＝DP，請證明這個(gè)結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，連接PQ．當(dāng)PQ⊥BQ，AB＝時(shí)，求AP的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射線AQ上截取AR，使得AR＝AP．當(dāng)△PBR是直角三角形時(shí)，請直接寫出AP的長．【分析】（1）利用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明△ADP≌△ABQ（SAS），即可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接BP，先證明△ADP≌△ABQ（SAS），可得BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，再證明：△APQ是等邊三角形，△APH是等腰直角三角形，△BPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)∠BRP＝90°時(shí)，②當(dāng)∠PBR＝90°時(shí)，③當(dāng)∠BPR＝90°時(shí)，分別求出AP的長．【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAP+∠BAM＝90°，∵∠PAQ＝90°，∴∠BAQ+∠BAM＝90°，∴∠DAP＝∠BAQ，∵將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ，∴AP＝AQ，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP．（2）解：如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接BP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，由旋轉(zhuǎn)得：AP＝AQ，∵∠DAB＝α＝60°，即∠DAB＝∠PAQ＝60°，∴△ADP≌△ABQ（SAS），∴BQ＝DP，∠APD＝∠AQB，∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴∠AQP＝60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP＝90°，∴∠AQB＝∠AQP+∠BQP＝60°+90°＝150°，∴∠APD＝∠AQB＝150°，∴∠DPM＝180°﹣∠APD＝180°﹣150°＝30°，∵∠MAD＝15°，∴∠ADP＝∠DPM﹣∠MAD＝30°﹣15°＝15°，∴∠ADP＝∠MAD，∴AP＝DP，∴AQ＝BQ＝PQ＝AP，∴∠ABQ＝∠BAQ＝∠MAD＝15°，∴∠PAH＝∠PAQ﹣∠BAQ＝60°﹣15°＝45°，∵PH⊥AB，∴∠AHP＝∠BHP＝90°，∴△APH是等腰直角三角形，∴AH＝PH＝AP，∵BQ＝PQ，∠PQB＝90°，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴∠PBQ＝45°，∴∠PBH＝∠PBQ﹣∠ABQ＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝＝＝AP，∴AB＝AH+BH＝AP+AP＝AP，∵AB＝+，∴AP＝+，∴AP＝2；（3）解：①當(dāng)∠BRP＝90°時(shí)，如圖3，連接DP，PQ，過點(diǎn)B作BE⊥AQ于點(diǎn)E，設(shè)AM交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAM+∠DAP＝90°，∠ADC＝90°，∵∠BAM+∠BAR＝90°，∴∠DAP＝∠BAR，∵AD＝6，AB＝8，∴＝＝，∵AR＝AP，∴＝，∴＝，∴△ADP∽△ABR，∴＝＝＝，即BR＝DP，∵AM平分∠DAC，F(xiàn)D⊥AD，F(xiàn)G⊥AC，∴FD＝FG，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，∴tan∠ACD＝＝＝，∵＝tan∠ACD＝，∴＝，∵DF+CF＝CD＝8，∴DF＝3，CF＝5，在Rt△ADF中，AF＝＝＝3，∵∠DAP＝∠BAR，∠ADF＝∠AEB＝90°，∴△ADF∽△AEB，∴＝＝，即＝＝，∴AE＝，BE＝，∵∠BRP＝90°，∴∠ARP+∠BRE＝90°，∵∠ARP+∠APR＝90°，∴∠BRE＝∠APR，∴tan∠BRE＝tan∠APR，∴＝＝，∴ER＝BE＝×＝，∵AR+ER＝AE，∴AP+＝，∴AP＝；②當(dāng)∠PBR＝90°時(shí)，如圖4，過點(diǎn)P作PG⊥AD于點(diǎn)G，PH⊥AB于點(diǎn)H，則sin∠DAF＝＝＝，cos∠DAF＝＝＝，∴PG＝AP，AG＝AP，∵∠GAH＝∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四邊形AGPH是矩形，∴AH＝PG＝AP，PH＝AG＝AP，∴BH＝AB﹣AH＝8﹣AP，∴BP2＝PH2+BH2＝（AP）2+（8﹣AP）2＝AP2﹣AP+64，在Rt△DPG中，DP2＝DG2+PG2＝（6﹣AP）2+（AP）2＝AP2﹣AP+36，∵BR＝DP，∴BR2＝DP2＝AP2﹣AP+64，在Rt△APR中，PR2＝AP2+AR2＝AP2+（AP）2＝AP2，在Rt△PBR中，PR2＝BP2+BR2，∴AP2＝AP2﹣AP+64+AP2﹣AP+64，解得：AP＝；③當(dāng)∠BPR＝90°時(shí)，由②知：BR2＝AP2﹣AP+64，PR2＝AP2，BP2＝AP2﹣AP+64，∵PR2+BP2＝BR2，∴AP2+AP2﹣AP+64＝AP2﹣AP+64，解得：AP＝0或AP＝﹣，均不符合題意；綜上所述，AP的長為或．【點(diǎn)評】本題考查了正方形和菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用前面所學(xué)的知識解答后面的題目，運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，具有很強(qiáng)的綜合性，是中考?？碱}型．歸納思想23．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長是（）A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014【分析】利用正方形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出正方形的邊長，進(jìn)而得出變化規(guī)律即可得出答案．【解答】方法一：解：如圖所示：∵正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，則B2C2＝（）1，同理可得：B3C3＝＝（）2，故正方形AnBn?nDn的邊長是：（）n﹣1．則正方形A2015B2015C2015D2015的邊長是：（）2014．故選：D．方法二：∵正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O＝60°，∴D1E1＝B2E2＝，∵B1C1∥B2C2∥B3C3…∴∠E2B2C2＝60°，∴B2C2＝，同理：B3C3＝×＝…∴a1＝1，q＝，∴正方形A2015B2015C2015D2015的邊長＝1×．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，得出正方形的邊長變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．二．填空題24．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以對角線的一半為邊依次作平行四邊形，則S＝6，S＝．【分析】先證明四邊形OBB1C是菱形，由菱形的面積＝兩條對角線長積的一半，即可得出平行四邊形OBB1C的面積；由矩形的面積公式得出平行四邊形A1B1C1C的面積，由菱形的面積公式得出平行四邊形OB1B2C的面積即可．【解答】解：∵四邊形ABCD矩形，∴OB＝OC，BC＝AD＝4，矩形ABCD的面積＝3×4＝12；∵四邊形OBB1C是平行四邊形，OB＝OC，∴四邊形OBB1C是菱形，∴BA1＝CA1＝BC＝2，∴OA1是△ABC的中位線，∴OA1＝AB＝，∴O1B＝2OA1＝3，∴平行四邊形四邊形OBB1C的面積＝×3×4＝6；故答案為：6；根據(jù)題意得：四邊形A1B1C1C是矩形，∴平行四邊形A1B1C1C＝A1C×A1B1＝2×＝3；同理：平行四邊形OB1B2C的面積＝×2×＝；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由矩形的面積公式和菱形的面積公式得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．25．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如圖放置，其中點(diǎn)A1、A2、A3在x軸的正半軸上，點(diǎn)B1、B2、B3在直線y＝﹣x+2上，則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（，0）．【分析】設(shè)正方形OA1B1C1的邊長為t，則B1（t，t），根據(jù)t一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到t＝﹣t+2，解得t＝1，得到B1（1，1），然后利用同樣的方法可求得B2（，），B3（，），則A3（，0）．【解答】解：設(shè)正方形OA1B1C1的邊長為t，則B1（t，t），所以t＝﹣t+2，解得t＝1，得到B1（1，1）；設(shè)正方形A1A2B2C2的邊長為a，則B2（1+a，a），a＝﹣（1+a）+2，解得a＝，得到B2（，）；設(shè)正方形A2A3B3C3的邊長為b，則B3（+b，b），b＝﹣（+b）+2，解得b＝，得到B3（，），所以A3（，0）．故答案為（，0）．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．26．如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點(diǎn)A1、B1、C1、D1，使AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點(diǎn)A2、B2、C2、D2，使A1A2＝B1B2＝C1C2＝D1D2＝A1B1，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBn?nDn的面積為．【分析】首先在Rt△A1BB1中，由勾股定理可求得正方形A1B1C1D1的面積＝，然后再在Rt△A2B1B2中，由勾股定理求得正方形A2B2C2D2的面積＝，然后找出其中的規(guī)律根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知；＝＝，即正方形A1B1C1D1的面積＝；在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知：＝＝；即正方形A2B2C2D2的面積＝…∴正方形AnBn?nDn的面積＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【檢測卷】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，則菱形ABCD的周長等于（）A．14 B．20 C．24 D．28【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的長，即可求解．【解答】解：設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝＝＝5，∴菱形ABCD的周長＝4×5＝20，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求出AB的長是本題的關(guān)鍵．2．（3分）下列命題是真命題的是（）A．有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷，即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是假命題；B、兩條對角線平分且相等的四邊形是矩形，是假命題；C、一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，是假命題；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題；故選：D．【點(diǎn)評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．3．（3分）下列四種說法：①矩形的兩條對角線相等且互相垂直；②菱形的對角線相等且互相平分；③有兩邊相等的平行四邊形是菱形；④有一組鄰邊相等的菱形是正方形．其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及菱形的判定方法、正方形的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：①矩形的兩條對角線相等且互相平分，但不垂直，故該選項(xiàng)原說法不正確；②菱形的對角線垂直且互相平分，但不一定相等，故該選項(xiàng)原說法不正確；③有兩鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)原說法不正確；④有一組鄰邊垂直的菱形是正方形，故該選項(xiàng)原說法不正確；所以其中正確的有0個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及菱形的判定方法、正方形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種特殊四邊形的判方法定和性質(zhì)．4．（3分）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的對角線AC上，正方形EFGH的頂點(diǎn)F，G都在邊AB上．若AB＝5，BC＝4，則tan∠AHE的值是（）A． B． C． D．【分析】先設(shè)正方形EFGH邊長為a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AF（用a表示），則AG可用a表示，最后根據(jù)tan∠AHE＝tan∠HAG可求解．【解答】解：設(shè)正方形EFGH邊長為a，∵EF∥BC，∴，即，解得AF＝．∴AG＝．∵EH∥AB，∴∠AHE＝∠HAG．∴tan∠AHE＝tan∠HAG＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化角進(jìn)行求解．5．（3分）已知菱形的面積為24，其中一條對角線長為8，則另一條對角線長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式S＝ab（a、b為對角線的長度），已知一條對角線的長度和菱形的面積即可計(jì)算另一條對角線的長度．【解答】解：菱形的面積計(jì)算公式S＝ab（a、b為對角線的長度），已知S＝24，a＝8，則b＝24×2÷8＝6．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，涉及菱形的面積計(jì)算公式，菱形對角線互相垂直的性質(zhì)，本題中正確利用面積計(jì)算公式求另一條對角線長是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，自點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，且BE：ED＝1：3，過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，若OF＝3cm，則BD的長為（）cm．A．6 B．9 C．12 D．15【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AC＝BD，BD＝2BO＝2OD，AC＝2AO，∠BAD＝90°，求出AO＝BO，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ABO是等邊三角形，求出∠BAO＝60°，∠DAO＝30°，即可求出AO，即可求出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BD＝2BO＝2OD，AC＝2AO，∠BAD＝90°，∴AO＝BO，∵BE：ED＝1：3，∴BE＝EO，∵AE⊥BD，∴AB＝AO，即AO＝OB＝AB，∴△ABO是等邊三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠DAO＝90°﹣60°＝30°，∵OF⊥AD于點(diǎn)F，OF＝3cm，∴∠AFO＝90°，AO＝2OF＝6cm，∴AC＝2AO＝12cm，∴BD＝12cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記知識點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線互相平分且相等．7．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，那么下列條件中，能判斷?ABCD是菱形的為（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC【分析】在平行四邊形基礎(chǔ)上，菱形的判定方法有：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．據(jù)此逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．【解答】解：選項(xiàng)A，由平行四邊形的性質(zhì)可知，對角線互相平分，故A不符合題意；選項(xiàng)B，由?ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以證明?ABCD為矩形，但不能判定?ABCD為菱形，故B不符合題意；選項(xiàng)C，當(dāng)∠AOB＝∠BOC時(shí)，由于∠AOB+∠BOC＝180°，故∠AOB＝∠BOC＝90°，而對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C符合題意；選項(xiàng)D，由平行四邊形的性質(zhì)可知，∠BAD+∠ABC＝180°，故當(dāng)∠BAD＝∠ABC時(shí)，∠BAD＝∠ABC＝90°，從而可判定?ABCD為矩形，故D不符合題意．綜上，只有選項(xiàng)C可以判定?ABCD是菱形．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定，熟練掌握菱形的判定方法、矩形的判定方法及平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）下列命題中，假命題是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．正方形的對角線互相垂直平分 C．矩形的對角線相等 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】對各個(gè)命題逐一判斷后找到錯誤的即可確定假命題．【解答】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；B、正方形的對角線互相垂直平分，是真命題；C、矩形的對角線相等，是真命題；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題；故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了命題與定理，熟練利用相關(guān)定理以及性質(zhì)進(jìn)而判定舉出反例即可判定出命題正確性．9．（3分）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD⊥CE于點(diǎn)O，點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，若OB＝8，OC＝6，則EF的長是（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先利用重心的性質(zhì)得到OE＝OC＝3，然后利用勾股定理計(jì)算EF的長．【解答】解：∵BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，∴點(diǎn)O為△ABC的重心，∴OE＝OC＝3，∵點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，∴OF＝OB＝4，∵BD⊥CE，∴∠EOF＝90°，∴EF＝＝5．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．10．（3分）如圖，用寬度都是2的矩形紙帶疊放成一個(gè)銳角為60°的四邊形，則此四邊形的面積S為（）A．4 B． C． D．【分析】先根據(jù)兩組對邊分別平行證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)兩張紙條的寬度相等，利用面積求出AB＝BC，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；根據(jù)寬度是2與∠DAB＝60°求出菱形的邊長，然后利用菱形的面積＝底×高計(jì)算即可．【解答】解：紙條的對邊平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都是2cm，∴S四邊形ABCD＝AB×2＝BC×2，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，即四邊形ABCD是菱形；如圖：過A作DE⊥AB，垂足為E，∵∠DAB＝60°，∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝2AE，在△ADE中，AD2＝DE2+AE2，即AD2＝AD2+22，∴AD＝，∴S四邊形ABCD＝AB?DE＝×2＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)寬度相等，利用面積法求出邊長相等是證明菱形的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，請你添加一個(gè)條件AC＝BD．答案不唯一．．（只添一個(gè)即可），使平行四邊形ABCD是矩形．【分析】根據(jù)矩形的判定定理（對角線相等的平行四邊形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的條件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AC＝BD．答案不唯一．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定定理的應(yīng)用，注意：對角線相等的平行四邊形是矩形，此題是一道開放型的題目，答案不唯一．12．（3分）矩形ABCD的對角線AC、BD交于O，如果△ABC的周長比△AOB的周長大10cm，則邊AD的長是10cm．【分析】由矩形的性質(zhì)可知對角線互相平分且相等，所以△ABC的周長比△AOB的周長長10厘米，即為BC的長，又因?yàn)锳D＝BC，問題得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝DO＝BO，AD＝BC，∵△ABC的周長＝AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC，△AOB的周長＝AB+AO+BO，又∵△ABC的周長比△AOB的周長長10cm，∴AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC﹣（AB+AO+BO）＝BC＝10（cm），∵AD＝BC，∴AD的長是10cm，故答案為：10cm．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②對角線：矩形的對角線相等且互相平分，題目的難度不大，是中考常見題型．13．（3分）如圖，D、E、F是△ABC各邊中點(diǎn)，請?jiān)凇鰽BC中添加一個(gè)條件：∠A＝90°（答案不唯一），使四邊形DFAE是矩形．【分析】先根據(jù)三角形中位線定理證出四邊形AEDF是平行四邊形，進(jìn)而利用矩形的判定解答即可．【解答】解：添加條件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，故答案為：∠A＝90°（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識；證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．14．（3分）已知：如圖所示，E是正方形ABCD邊BC延長線一點(diǎn)，若EC＝AC，AE交CD于F，則∠AFC＝度．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可先求得∠E的度數(shù)，則∠AFC的度數(shù)不難求得．【解答】解：∵EC＝AC，∠ACD＝45°∴∠E＝°∴∠AFC＝90°＝°，故答案為：°．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．15．（3分）若四邊形ABCD為菱形，要使四邊形ABCD為正方形，則可以添加一個(gè)條件為∠ABC＝90°或?qū)蔷€相等等．【分析】根據(jù)正方形的判定方法即可解決問題．【解答】解：∵有一個(gè)角是90°的菱形的正方形，對角線相等的菱形是正方形，∴∠ABC＝90°或?qū)蔷€相等時(shí)，菱形ABCD是正方形，故答案為：∠ABC＝90°或?qū)蔷€相等．【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的判定方法等知識，記住正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于點(diǎn)O，若CE∥BD，BE∥AC，連接OE，則OE的長是13．【分析】由證四邊形OBEC是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，則∠BOC＝90°，然后由勾股定理得BC＝13，證平行四邊形OBEC是矩形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵CE∥BD，BE∥AC，∴四邊形OBEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝13，∵四邊形OBEC是平行四邊形，∴平行四邊形OBEC是矩形，∴OE＝BC＝13，故答案為：13．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和5，則其面積為10．【分析】由菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和5，根據(jù)菱形的面積等于對角線積的一半，即可求得其面積．【解答】解：∵菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和5，∴其面積為：×4×5＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評】此題考查了菱形的性質(zhì)．注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．18．（3分）已知∠AOB＝30°，點(diǎn)D在OA上，OD＝，點(diǎn)E在OB上，DE＝2，則OE的長是2或4．【分析】過D作DF⊥OB于F，依據(jù)∠AOB＝30°，OD＝2，可得EF＝1，分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到OE的長．【解答】解：如圖所示，過D作DF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OD＝2，∴DF＝OD＝，OF＝3，又∵DE＝2，∴Rt△DEF中，EF＝1，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；當(dāng)點(diǎn)E'在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；綜上所述，OE的長為2或4，故答案為：2或4．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，畫出圖形并分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于點(diǎn)G，EF⊥BC于點(diǎn)F，求證：四邊形DFGE是菱形．【分析】由已知條件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行線分線段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，證出四邊形DFGE是平行四邊形，再由對角線互相垂直，即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖所示：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵DG⊥AC，EF⊥BC，∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，∵AE＝ED＝DB，∴OG＝OD，OE＝OF，∴四邊形DFGE是平行四邊形，又∵DG⊥EF，∴四邊形DFGE是菱形．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、平行線分線段成比例定理；熟練掌握菱形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，AE∥BF，點(diǎn)D、C分別是AE和BF上的點(diǎn)，連接AC、BD交于點(diǎn)O，此時(shí)OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解決下列問題：（1）求證：OB＝OD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形；（3）求AM的長．【分析】（1）證△AOD≌△COB（AAS），即可得出結(jié)論；（2）先證四邊形ABCD為平行四邊形，再由勾股定理的逆定理證△AOB為直角三角形，∠AOB＝90°，則AC⊥BD，即可得出結(jié)論；（3）由菱形的面積得BC?AM＝AC?BD，即可求解．【解答】（1）證明：∵AE∥BF，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS