圓錐曲線的相關(guān)性

圓錐曲線的相關(guān)性我們知道直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線都可以用一個平面去截一個對尖的圓錐曲面而得到。通常把橢圓、雙曲線和拋物線（有時也包括圓）統(tǒng)稱為圓錐曲線，而橢圓、雙曲線（包括圓）又稱作有心曲線，拋物線是無心曲線。就是因為圓錐曲線都可以用一個平面去截一個對尖的圓錐曲面而得到，即它們有共同的起源，所以它們有許多相同或類似的性質(zhì)。本文重點學習和研究它們的類似之處即相關(guān)性。首先，圓錐曲線有相同的統(tǒng)一定義：都是動點M到定點F（焦點）的距離與到定直線l(準線)距離的比是一個常數(shù)e(離心率)的軌跡。當0＜e＜1時，動點M的軌跡是橢圓；當e＞1時，動點M的軌跡是雙曲線；當e=1時，動點M的軌跡是拋物線。其次，圓錐曲線還有相類似的性質(zhì)。課本中研究了它們的性質(zhì)：①對稱性，②范圍，③頂點，④離心率（雙曲線另加漸近線），這幾點都是它們所共同的性質(zhì)。lBlB1M1A1FMBA一與焦點弦有關(guān)的1．以橢圓的焦點弦為直徑的圓與對應(yīng)準線相離。2．以雙曲線的焦點弦為直徑的圓和對應(yīng)準現(xiàn)相交。3.以拋物線的焦點弦為直徑的圓盒準線相切。PPOF2F1M二與焦半徑有關(guān)的1．以橢圓焦半徑為直徑的圓與以長軸為直徑的圓相內(nèi)切。 MMF1POP1F22．以雙曲線的焦半徑為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切（內(nèi)切和外切）。以拋物線的焦半徑為直徑的圓與過頂點且與對稱軸垂直的直線相切。MMMM1PP1FOM2三焦點三角形1．雙曲線的焦點三角形（圖形上一點于兩焦點的連線）的內(nèi)切圓與實軸相切于雙曲線的頂點。2.橢圓的焦點三角形的旁切圓與長軸的切點是頂點。F1F1F2ABCMFABFABMCNN1平行的直線都相切的圓和對稱軸的切點是頂點。如圖，|AF|=|BF|=|MF|－|ＢＭ|=|ＭＦ｜－|ＭＣ|＝｜ＭＮ｜－｜ＭＣ｜＝p／２∴Ａ是拋物線的頂點。例1.設(shè)M是橢圓的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩焦點，則焦點三角形MF1F2的旁切圓的圓心P的軌跡方程是。（答案：x=ａ）例２.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩焦點，離心率e=2，A,B是右支上不同于頂點的點，M，N是AF1F2，BF1F2內(nèi)切圓的圓心。（1）證明MN//y軸；（2）若AB過F2，直線AB的傾斜角為，且sin,|MN|=,求雙曲線的方程。（答案：）四焦點三角形的面積1．Ｍ是雙曲線上的除頂點外的任一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是焦點，∠F1MF2=θ，則F2AMF1OyxΔMFF2AMF1Oyx在ΔMF1F2中，記＝，．由Ｓ=r1r2sin故只需求出r1r2.由余弦定理和雙曲線定義得:=(r1+r2)2-2r1r2(1+cos)=4a2-2r1r2(1+cos)∴r1r2=Ｓ=r1r2sin==MF2F1OyxF1F2MMF2F1OyxF1F2MxyOΔMF1F2的面積是Ｓ=b2tan.可仿照上題證明，這里證略。例3.設(shè)