例談HPM視角下的初中數(shù)學教學設(shè)計

例談HPM視角下的初中數(shù)學教學設(shè)計[摘要]HPM是基于歷史相似性原理和建構(gòu)主義理論對數(shù)學史進行研究，以期提升數(shù)學教學質(zhì)量.本文在研究相關(guān)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合實例介紹了HPM視角下初中數(shù)學教學設(shè)計的具體操作[關(guān)鍵詞]HPM；數(shù)學史；理論基礎(chǔ)；教學設(shè)計.HPM是“HistoryandPedagogyofMathematics”的簡稱，這是一個誕生于20世紀七十年代的學術(shù)領(lǐng)域，其研究目標是研究數(shù)學史，提升數(shù)學教育的質(zhì)量.HPM所研究的問題包括：數(shù)學史的課程設(shè)立；數(shù)學史的內(nèi)容關(guān)聯(lián)；數(shù)學史與數(shù)學教學的關(guān)系；數(shù)學史對教師的影響；數(shù)學史在文化滲透中的作用和地位等.由此可見，HPM的價值受到越來越多的關(guān)注，其在教學實踐中的運用也日益受到重視.HPM的理論基礎(chǔ)（一）歷史相似性原理英國學者斯賓塞指出，個體是統(tǒng)一的，歷史上知識的創(chuàng)生過程就是今天教育的就是講個體的數(shù)學認識要遵循數(shù)學歷史的發(fā)展過程，該觀點獲得克萊因、龐加萊、卡托斯等數(shù)學家的支持.他們主張學生的認識過程與數(shù)發(fā)展歷程有著嚴格的相似性，指出數(shù)學史能幫助學生解決數(shù)學學習的難題，這就是歷史相似性原理.知識的形成與人類知識的演變歷程方向.這一段論述學的從初中數(shù)學教學的角度來講，歷史相似性原理給我們提出這樣的指導：一方面，幫我們預測并解釋學生可能出現(xiàn)的學習困難；另一方面是對教學設(shè)計給予建設(shè)性的意見.當依據(jù)歷史相似性來設(shè)計教

學時，教師必須意識到學生當前的認知背景與以前的數(shù)學家大相徑庭，因此我們不能全盤照搬數(shù)學史中的知識建構(gòu)過程，而應(yīng)該結(jié)合教學需要對歷史資料進行重構(gòu).（二）建構(gòu)主義理論建構(gòu)主義認為，學生在數(shù)學、邏輯或物理等方面的認知過程都屬于持續(xù)建構(gòu)的產(chǎn)物，并且要在認知過程中經(jīng)歷同化和順應(yīng)等一系列作用，進而實現(xiàn)新的認知平衡.所有的數(shù)學學習都可以結(jié)合結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來實施，建構(gòu)主義學習理論給傳統(tǒng)的數(shù)學教學理念造成沖擊，也為HPM理論在數(shù)學教學中的運用提供了支撐.建構(gòu)主義理論指導的數(shù)學學習過程不應(yīng)該是被動吸納接受學習的過程，而應(yīng)該是學生結(jié)合已有認知和經(jīng)驗的積累主動進行建構(gòu)的過程.西方研究者在對HPM研究時發(fā)現(xiàn)，該理論對數(shù)學教學有著重要的推動作用.J·M·Keiser就在教學實驗中發(fā)現(xiàn)學生理解“角度”的概念和前人發(fā)明相關(guān)概念的過程是一致的，因此歷史上前人探索“角度”概念的有關(guān)困難也將為現(xiàn)今的教材編寫和教學設(shè)計提供指導.學生數(shù)學的學習過程是一個持續(xù)建構(gòu)的過程，數(shù)學史會將數(shù)學家探索數(shù)學規(guī)律、建立理論的過程呈現(xiàn)出來，因此，教師在教學中將相關(guān)史料滲透到數(shù)學教學中，能夠幫助學生認清概念、定理、公式等知識的形成和演變過程，進而理解數(shù)學知識的來龍去脈，這有助于他們通過對比新、舊知識的聯(lián)系來獲取對新知識更加深刻的認識.HPM視角下的教學設(shè)計案例結(jié)合對HPM理論的研究，筆者對初中數(shù)學課堂積極展開實踐，下面，筆者以“負數(shù)”的教學為例，談?wù)勛约旱慕虒W操作.

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師引導學生回顧小學階段已經(jīng)接觸過的數(shù)的類型：類似于0，1，2，3，，這些我們現(xiàn)在生活中常見的數(shù)字，都是隨著人們認識的進步和需要才出現(xiàn)的.在古代，人們依次經(jīng)歷實物計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)、算籌計數(shù)等階段，但是因為使用不便，于是發(fā)明1，2，3…這樣的數(shù)字；為了表示“沒有”或“空的”，就發(fā)明了“0”；因為計算和測量中出現(xiàn)的數(shù)字并非整數(shù)，因此發(fā)明了分數(shù).由此可見，數(shù)字的產(chǎn)生和改進都是源于人們生活、生產(chǎn)中的需要.今天，我們一起再來認識一下一種更加神奇的數(shù)字——負數(shù).設(shè)計思路教師圍繞學生已經(jīng)學習過的數(shù)字，引導他們簡單回顧數(shù)字的發(fā)歷展程，有助于學生在舊知識的基礎(chǔ)上建構(gòu)新認識.（二）探索研究，形成概念1.引出負數(shù)的產(chǎn)生緣由教師提供問題引導學生個蘋果，應(yīng)該怎么分配？初中生述問題沒有絲毫難度，教師關(guān)鍵是引導學生循著以下思路進行思考：3個小孩平均分配4個蘋果，能不能讓每個人所得的蘋果數(shù)是整數(shù)？請列方程求解.學生求解：設(shè)每個小孩可分得x個蘋果，則根據(jù)題意有3x=4，解得x=.結(jié)合求解過程，學生發(fā)現(xiàn)從方程求解來看，它不存在整數(shù)解，因此為了變?yōu)橛薪?，人們對?shù)系進行了擴充，引入了分數(shù)的使用.這樣的做法探究負數(shù)的產(chǎn)生：3個小孩要平均分配4完成上每個小孩最終所得的蘋果數(shù)目并非整讓方程由無解數(shù)，因為

使得任何兩個非零整數(shù)的除法都存在解，除法運算也因此更加暢通.設(shè)計思路引導學生重新體驗分數(shù)的產(chǎn)生緣由，以此為學生接受負數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).教師安排學生繼續(xù)處理下面兩個問題：（1）張濤帶來10元錢，準備去超市買一個足球，到那兒之后發(fā)現(xiàn)足球的標價是18元/個，請問張濤還剩多少錢？（2）小李今天掙了200元，各項支出一共230元，請問小李今天凈收入多少錢？學生很快寫出兩個式子：（1）10-18；（2）200-230.寫完之后，他們都無法繼續(xù)下去，教師便啟發(fā)他們交流此彼的困難.學生指出：被減數(shù)比減數(shù)還要小，數(shù)字不夠減，如果還用小學的知識，這樣的問題是無解的，是錯誤的.教師這時便鼓勵學生，人的視野不應(yīng)該被陳舊的知識所束縛，可以仿照分數(shù)的出現(xiàn)，發(fā)明一種新的數(shù)字——負數(shù)，由此，學生便會認識到負數(shù)的意義：引入負數(shù)之后，任意大小的數(shù)字都能隨意相減，數(shù)系再一次被擴充.設(shè)計意圖結(jié)合具體的問題，創(chuàng)設(shè)情境讓學生感受到囿于原有認知的困境，進而產(chǎn)生擴充數(shù)系的需要，負數(shù)的概念由此引入便水到渠成，學生的認知上沒有任何違和感.2.負數(shù)的表示教師提供問題，引導學生學習負數(shù)的表示方法.問題：今年初春，哈爾濱的平均氣溫為零下5℃，北京的平均氣溫是2℃，上海的平均氣溫為5℃.請問上海的平均氣溫比北京的氣溫高多少？上海的氣溫比哈爾濱的氣溫高多少？

學生用減法來處理上述問題：上海氣溫-北京氣溫=5-2=3（℃）；上海氣溫-哈爾濱氣溫=5-5=0（℃）.問題來了，哈爾濱和上海的氣溫相差為0，莫非兩地溫度一樣？這肯定是錯誤的，那問題出在哪里呢？教師讓學生進行討論，他們在討論中很快發(fā)現(xiàn)問題的所在，兩個5℃的含義不同，必須進行區(qū)分.那怎么辦呢？此時學生對負數(shù)的表示產(chǎn)生了心理需求.設(shè)計思路教師以問題為引導，在問題處理中醞釀沖突，由此激起學生對負數(shù)表示方法的學習需求，強化了他們的學習動機.為滿足學生的需求，教師開始講解：數(shù)學上一般將大于0的數(shù)字定義為正數(shù)，而將小于0（零以下）的數(shù)字定義為負數(shù)，在其前方添加一個負號“-”以示區(qū)別，例如正數(shù)“1”變成負數(shù)就是“-1”，當然有時候為了強調(diào)正數(shù)，也在正數(shù)前方加一個“+”號.設(shè)計思路教師對歷史上負數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程進行重構(gòu)，以不露痕跡的方式融入教學，讓學生在看似隨意的過程中體驗負數(shù)的建構(gòu).教師進一步補充：運用“+”“-”來區(qū)分正負數(shù)是屬于近代數(shù)學的表示方法，據(jù)史料記載，早在1700多年前，我國魏晉時代的數(shù)學家劉徽就提出了正負數(shù)的表示方法：“今兩算得失相反，要令正負以名之.”這就是說，為了對計算出來相反意義的數(shù)字進行區(qū)分，可以用正數(shù)與負數(shù)的方式進行表述.當時，他是以算籌的顏色表征正負的：“正算赤，負算黑”，即正數(shù)用紅色算籌表征，負數(shù)則用黑色算籌進行表征.設(shè)計思路介紹中國古代負數(shù)的表示方式，讓學生感受前人的智慧，由此激活學生的求知欲.

（三）例題講解，活化認知教師提供例題：某天的天氣預報顯示，與今天相比，上海明天的氣溫會增加2℃；北京明天的氣溫會下降1℃；天津今明兩天的溫度沒有變化.請寫出上海、北京、天津