高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)及詳解

1.已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且?,(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)數(shù)列知足,①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;②能否存在正整數(shù)m,,使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請(qǐng)說明原因.解:(I)設(shè)數(shù)列的公差為d,則由?,,得,計(jì)算得出或(舍去).;(Ⅱ)①,,,,即,,,,累加得:,也切合上式.故,.②假定存在正整數(shù)m、,使得,,成等差數(shù)列,則又,,,,即,化簡(jiǎn)得:當(dāng),即時(shí),,(舍去);當(dāng),即時(shí),,切合題意.存在正整數(shù),,使得,,成等差數(shù)列.分析(Ⅰ)直接由已知列對(duì)于首項(xiàng)和公差的方程組,求解方程組得首項(xiàng)和公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案;(Ⅱ)①把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入,而后裂項(xiàng),累加后即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;②假定存在正整數(shù)m、,使得,,成等差數(shù)列,則.由此列對(duì)于m的方程,求計(jì)算得出答案.在數(shù)列中,已知,求證:數(shù)列為等比數(shù)列;記,且數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),求的取值范圍.解:(1)證明:,又,,,故,是以3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)知道,,若為數(shù)列中的最小項(xiàng),則對(duì)有恒建立,即對(duì)恒建立當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有?;當(dāng)時(shí),恒建立,對(duì)恒建立.令,則對(duì)恒建立,在時(shí)為單一遞加數(shù)列.即綜上,分析由,整理得:.由,,能夠知道是以3為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列;由(1)求得數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和為,由為數(shù)列中的最小項(xiàng),則對(duì)有恒建立,分類分別求適當(dāng)時(shí)和當(dāng)?shù)娜≈捣秶?當(dāng)時(shí),,利用做差法,依據(jù)函數(shù)的單一性,即可求得的取值范圍.3.在數(shù)列中,已知,,,設(shè)為的前n項(xiàng)和.求證:數(shù)列是等差數(shù)列;求;(3)能否存在正整數(shù)p,q,,使,,成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,說明原因.證明:由,,獲得,則又,,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列;由(1)能夠推知:,所以,,所以,①②-②,得,,,所以假定存在正整數(shù)p,q,,使,,成等差數(shù)列.則,即由于當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列單一遞減.又,所以且q起碼為2,所以,①當(dāng)時(shí),,又,所以,等式不建立.②當(dāng)時(shí),,所以所以,所以,(數(shù)列單一遞減,解獨(dú)一確立).綜上能夠知道,p,q,r的值分別是1,2,3.分析把給出的數(shù)列遞推式,,變形后獲得新數(shù)列,該數(shù)列是以1為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列;由(1)推出的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法從而求得求;依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)獲得,從而推知p,q,r的值.4.已知n為正整數(shù),數(shù)列知足,,設(shè)數(shù)列知足求證:數(shù)列為等比數(shù)列;若數(shù)列是等差數(shù)列,務(wù)實(shí)數(shù)t的值;(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為,對(duì)隨意的,均存在,使得建立,求知足條件的全部整數(shù)的值.證明:數(shù)列知足,,?,?,數(shù)列為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,公比為2;(2)解:由(1)可得:?,,數(shù)列是等差數(shù)列,,,計(jì)算得出或12.時(shí),,是對(duì)于n的一次函數(shù),所以數(shù)列是等差數(shù)列.時(shí),,,不是對(duì)于n的一次函數(shù),所以數(shù)列不是等差數(shù)列.綜上可得;(3)解:由(2)得,對(duì)隨意的,均存在,使得建立,即有??,化簡(jiǎn)可得,當(dāng),,,對(duì)隨意的,切合題意;當(dāng),,當(dāng)時(shí),,對(duì)隨意的,不切合題意.綜上可得,當(dāng),,對(duì)隨意的,均存在,使得建立.分析依據(jù)題意整理可得,?,再由等比數(shù)列的定義即可得證;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),可得,解方程可得t,對(duì)t的值,查驗(yàn)即可獲得所求值;(3)由(2)可得,對(duì)隨意的,均存在,使得建立,即有??,議論為偶數(shù)和奇數(shù),化簡(jiǎn)整理,即可獲得所求值.已知常數(shù),數(shù)列知足,(1)若,,①求的值;②求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列中存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列,求的取值范圍.解:(1)①,,,,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,數(shù)列的前n項(xiàng)和,,明顯當(dāng)時(shí),上式也建立,;(2),即單一遞加.當(dāng)時(shí),有,于是,,若數(shù)列中存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列,則有,即,.所以不建立.所以此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),有.此時(shí)于是當(dāng)時(shí),.從而若數(shù)列中存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列,則有,同(i)能夠知道:.于是有,,是整數(shù),.于是,即.與矛盾.故此時(shí)數(shù)列中不存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),有于是此時(shí)數(shù)列中存在三項(xiàng),,挨次成等差數(shù)列.綜上可得:分析①,可得,同理可得,②,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即從第二項(xiàng)起,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的乞降公式即可得出(2),可得,即單一遞加.當(dāng)時(shí),有,于是,可得,.利用反證法即可得出不存在.當(dāng)時(shí),有.此時(shí).于是當(dāng)時(shí),.從而.假定存在,同(i)能夠知道:.得出矛盾,所以不存在.當(dāng)時(shí),有.于是.即可得出結(jié)論.6.已知兩個(gè)無(wú)量數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為,,,,對(duì)隨意的,都有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若為等差數(shù)列,對(duì)隨意的,都有.證明:;(3)若為等比數(shù)列,,,求知足的n值.解:(1)由,得,即,所以由,,能夠知道所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.故的通項(xiàng)公式為,證法一:設(shè)數(shù)列的公差為d,則,由(1)知,由于,所以,即恒建立,所以,即,又由,得,所以所以,得證.證法二:設(shè)的公差為d,假定存在自然數(shù),使得,則,即,由于,所以所以,由于,所以存在,當(dāng)時(shí),恒建立.這與“對(duì)隨意的,都有”矛盾!所以,得證.由(1)知,.由于為等比數(shù)列,且,,所以是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.所以,則,由于,所以,所以而,所以,即當(dāng),2時(shí),式建立;當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,故知足條件的n的值為1和2.分析運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,即可獲得所求;方法一、設(shè)數(shù)列的公差為d,求出,.由恒建立思想可得,求出,判斷符號(hào)即可得證;方法二、運(yùn)用反證法證明,設(shè)的公差為d,假定存在自然數(shù),使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得證;(3)運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的乞降公式,求得,,化簡(jiǎn),推出小于3,聯(lián)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的單一性,即可獲得所求值.已知數(shù)列,都是單一遞加數(shù)列,若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的次序排成一列(同樣的項(xiàng)視為一項(xiàng)),則獲得一個(gè)新數(shù)列(1)設(shè)數(shù)列,分別為等差、等比數(shù)列,若,,,求;(2)設(shè)的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)為正整數(shù),,若新數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(3)設(shè)是不小于2的正整數(shù)),,能否存在等差數(shù)列,使得對(duì)隨意的,在與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)老是若存在,請(qǐng)給出一個(gè)知足題意的等差數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說明原因.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,依據(jù)題意得,,計(jì)算得出或3,因數(shù)列,單一遞加,所以,,所以,,所以,由于,,,設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以由于是中的項(xiàng),所以設(shè),即當(dāng)時(shí),計(jì)算得出,不知足各項(xiàng)為正整數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),只要取,而等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列,中的項(xiàng),所以;當(dāng)時(shí),,此時(shí),只要取,由,得,是奇數(shù),是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,所以等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng),所以綜上所述,數(shù)列的前n項(xiàng)和,或存在等差數(shù)列,只要首項(xiàng),公差下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.即證對(duì)隨意正整數(shù)n,都有,即建立.由,所以首項(xiàng),公差的等差數(shù)列切合題意分析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,依據(jù)題意得,,計(jì)算得出或3,因數(shù)列,單一遞加,,,可得,,利用通項(xiàng)公式即可得出.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以.由于是中的項(xiàng),所以設(shè),即.當(dāng)時(shí),計(jì)算得出,不知足各項(xiàng)為正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即可得出.存在等差數(shù)列,只要首項(xiàng),公差.下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.即證對(duì)隨意正整數(shù)n,都有,作差利用通項(xiàng)公式即可得出.對(duì)于數(shù)列,稱(此中,為數(shù)列的前k項(xiàng)“顛簸均值”.若對(duì)隨意的,,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.若數(shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求x的取值范圍;若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為整數(shù),前k項(xiàng)的和為.且對(duì)隨意,,都有,試計(jì)算:.解:(1)依據(jù)題意可得,即,兩邊平方可得,計(jì)算得出;證明:由已知,設(shè),因且,故對(duì)隨意的,,都有,,,因,,,,,,,,,即對(duì)隨意的,,都有,故是“趨穩(wěn)數(shù)列”;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,同理,,因,,即,所以或所以或由于,且,所以,從而,所以,.分析由新定義可得,解不等式可得x的范圍;運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和乞降公式,聯(lián)合新定義,運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證;由隨意,,都有,可得,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得,聯(lián)合新定義和二項(xiàng)式定理,化簡(jiǎn)整理即可獲得所求值.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}知足+＜an+1an，n∈N*.1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；2）設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范圍；（3）若a1，a2，，ak（k≥3）成等差數(shù)列，且a1+a2++ak=120，求正整數(shù)k的最小值，以及k取最小值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a1，a2，，ak（k≥3）的公差.解：（1）由題意，an＜an+1＜2an，∴＜x＜3,x＜2x，x∈（2，3）.（2）∵an＜an+1＜2an，且數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，a1=1，n-1n＜2qn-1，∴q＜qn-1(q-)n-1(q-2)＜0，∴q＞0，q∴q∈（，1）.∵Sn＜Sn+1＜2Sn，當(dāng)q=1時(shí)，S2=2S1，不知足題意，當(dāng)q≠1時(shí)，＜＜2?，∴①當(dāng)q∈（，1）時(shí)，，即，∴q∈（，1）.②當(dāng)q∈（1，2）時(shí)，，即，無(wú)解，∴q∈（，1）.（3）設(shè)數(shù)列a1，a2，，ak（k≥3）的公差為d.∵an＜an+1＜2an，且數(shù)列a1，a2，，an成等差數(shù)列，∴a1=1，∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，，k-1，∴，∴d∈（-，1）.∵a1+a2++ak=120，∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，∴d=，∴∈（-，1），k∈（15，239），k∈N*，∴k的最小值為16，此時(shí)公差d=.分析【解題方法提示】剖析題意，對(duì)于（1），由已知聯(lián)合完整平方公式可