2023屆湖北省天門市高三年級下冊學期5月適應性考試數學試題【含答案】

一、單選題1．設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．A【分析】化簡集合，得出，利用交集即可求解結果.【詳解】由可得，，則.故選：A2．已知，i為虛數單位，則（

）A． B． C． D．B【分析】先化簡得到復數z，再利用復數的共軛復數求解.【詳解】解：因為，所以，，故選：B3．已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．C【分析】根據數量積的運算律求出，在根據向量在向量上的投影向量為計算可得.【詳解】因為，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C4．科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（

）（參考數據：，，，）A． B． C． D．A【分析】先根據圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為，而圓臺一個底面的半徑為，再根據球、圓柱和圓臺的體積公式即可求解．【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為（m），而圓臺一個底面的半徑為（m），則（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故選：A．5．中國古代數學專著《九章算術》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積.南北朝時期杰出的數學家祖沖之曾用圓內接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內接正多邊形的邊數n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據此，當n足夠大時，可以得到π與n的關系為（

）A． B． C． D．A【分析】設圓的半徑為，由題意可得，化簡即可得出答案.【詳解】設圓的半徑為，將內接正邊形分成個小三角形，由內接正邊形的面積無限接近圓的面即可得：，解得故選：A.6．已知，，，則p，q，r的大小關系為（

）A． B． C． D．D【分析】根據指、對數函數的性質，結合基本不等式分析運算.【詳解】由題意可得：，因為，即，所以，即，又因為，所以.故選：D.7．函數（，）的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．B【分析】由，得到，再由圖象近似看成平行四邊形求解.【詳解】解：由函數（，）的圖象知：，則，由圖象近似看成平行四邊形，則，解得，故選：B8．對任意的，不等式恒成立，則實數的取值集合是（

）A． B．C． D．A【分析】令，，利用導數研究函數的單調性，可將原不等式轉化為時，，當時，.利用導數研究函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，知，令，，則，所以在上單調遞增，易知，所以當時，；當時，.令，則對任意的，不等式恒成立，等價于當時，，當時，.當時，，則函數在上單調遞增，所以是的零點，即，即，即.構造函數，則，函數在上單調遞增，由，得，所以，即.令，則，函數在上單調遞增，易知，故.故選：A.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．二、多選題9．2022年6月，某學校為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強學生的國防意識，組織了一次“逐夢深藍，山河榮耀”國防知識競賽，對100名學生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，為進一步了解學生的答題情況，通過分層抽樣，從成績在區(qū)間內的學生中抽取6人，再從這6人中先后抽取2人的成績作分析，下列結論正確的是（

）A．頻率分布直方圖中的B．估計100名學生成績的中位數是85C．估計100名學生成績的80%分位數是95D．從6人中先后抽取2人作分析時，若先抽取的學生成績位于，則后抽取的學生成績在的概率是AC【分析】根據頻率之和為1可判斷A,根據中位數為面積在0.5的位置可判斷B,根據百位數的計算可判斷C，根據條件概率的計算公式可判斷D.【詳解】對于A：根據學生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得，解得，故A正確；對于B：全校學生成績的中位數為，故中位數位于之間，故中位數為，故B錯誤，對于C：全校學生成績的樣本數據的分位數約為分，故C正確．對于D：在被抽取的學生中，成績在區(qū)間，和的學生人數之比為，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的學生成績位于，則第二次抽取時，是在5個人中抽取，而此時學生成績在的個數有4個，故概率為，故D不正確，故選：AC10．已知，且，則下列結論中正確的是（

）A．有最小值 B．可以取到0C．有最大值 D．有最小值2AD【分析】根據“1”的技巧及均值不等式判斷A，由均值不等式可得判斷B，由均值不等式等號成立的條件判斷C，由重要不等式判斷D.【詳解】因為，當且僅當，即時等號成立，故A正確；因為時，，而，得出，時等號成立，故不成立，故B錯誤；因為，當且僅當，即時等號成立，而，故等號不成立，故C錯誤；由知，，當且僅當時，即時等號成立，故D正確.故選：AD11．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的，，．隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，，，下列結論正確的有（

）A． B．C． D．BC【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個選項即可．【詳解】對于A：因為，故A錯誤；對于B：因為，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：由上可得，又因為，故D錯誤，故選：BC．12．在平面直角坐標系中，，B為坐標原點，點P在圓上，若對于，存在數列，，使得，則下列說法正確的是（

）A．為公差為2的等差數列 B．為公比為的等比數列C． D．前n項和CD【分析】由圓的方程寫出P的參數坐標，由兩點距離公式判斷，由等比中項性質判斷為等比數列，即可依次求得的通項公式，即可逐個判斷，其中由錯位相減法求和.【詳解】對AB，由點P在圓上，則由參數方程得，則，∴.對于，存在數列，，使得，即①，②，②①得，令，則，則是以為首項，公比為的等比數列.則，AB錯；對C，，C對；對D，，，兩式相減得，.∴，D對.故選：CD.三、填空題13．已知常數，的二項展開式中項的系數是780，則m的值為________．3【分析】轉化為，利用展開式的通項公式討論計算即可.【詳解】=，設其通項為，設的通項為，要求項的系數，只有為偶數，當，此時項的系數為，當，此時項的系數為，當，此時項的系數為，當，不合題意，故項的系數為.故314．已知函數與，若曲線和恰有一個公切點，則的最小值是________．【分析】設出公切點，利用和在公切點處函數值和導函數值分別相等，得到的表達式，求出最大值即可.【詳解】，.設公切點為，則，，即.因此，其中，因為，所以為第一象限的角；不妨設，因為，所以，當且僅當時，取到最小值，所以的最小值是，且有唯一解.故答案為15．已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為________．【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內一部分圓弧，求其圓心角計算弧長即可.【詳解】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，故N點在以G為原點為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，所以長為.故答案為四、雙空題16．某同學在學習和探索三角形相關知識時，發(fā)現了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則___________；若，則的值為___________./5.75【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性質結合三角形誘導公式推得，即得答案；第二空，設，由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質結合正弦定理表示出，即可求得答案.【詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設，則，由于，不妨假設，由余弦定理知，設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以,故；本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應用，涉及到三角形垂心的性質的應用，解答時要能靈活地結合垂心性質尋找角之間的關系，應用正余弦定理，解決問題.五、解答題17．在銳角中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，已知，求：(1)A的大小；(2)的取值范圍．(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，結合和角的正弦求解作答.（2）利用正弦定理邊化角，結合已知及（1）的結論，再借助和角的正弦及三角函數的性質求解作答.【詳解】（1）在銳角中，由正弦定理及，得，而，于是，又，則，而，解得，所以A的大小是.（2）由正弦定理得，，因為為銳角三角形，有，則，從而，，因此所以.18．已知兩個正項數列，滿足，．(1)求，的通項公式；(2)用表示不超過的最大整數，求數列的前項和．(1)，(2)【分析】（1）由遞推公式列方程求出得通項公式；（2）根據高斯函數先推出得解析式，再運用錯位相減法求解.【詳解】（1）由，得，由，得，，因為是正項數列，，；（2），則當時，，所以，兩式相減得

，即，因為滿足，所以.19．如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，，.是棱PD上的點，且四面體的體積為(1)證明：；(2)若過點C，M的平面α與BD平行，且交PA于點Q，求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明見解析；(2).【分析】（1）解法一：取AB中點O，連接PO，CO.推導得到平面，平面PBC，根據體積即可得出答案；解法二：先證明平面PAB.過M作交AP于點N，證明得到平面PBC，根據體積即可得出答案；（2）解法一：建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，結合平面向量基本定理，求出平面的法向量，計算即可得出答案；解法二：建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，計算即可得出答案；解法三：通過作圖，作出二面角的平面角，構造直角三角形，即可得出答案.【詳解】（1）解法一：如圖1，取AB中點O，連接PO，CO.因為，，所以，，.又因為是菱形，，所以，.因為，所以，所以.又因為平面，平面ABCD，，所以平面.因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，所以點M到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的，所以.解法二：如圖2，取AB中點O，連接PO，CO，因為，，所以，，，又因為是菱形，，所以，.因為，所以，所以.因為平面PAB，平面PAB，，所以平面PAB.所以，.過M作交AP于點N，，所以.又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，，所以，所以N是PA的中點，所以M是PD的中點，所以.（2）解法一：由（1）知，，，.如圖3，以O為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，，.因為，設，則，因為，，，，故存在實數a，b，使得，所以，解得，所以.設平面的法向量為，則，即，取，得到平面的一個法向量.設平面與平面夾角是，又因為是平面的一個法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法二：由（1）知，，，，如圖3，以O為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，，.設平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個法向量.因為，設，則，因為，所以，所以設平面的法向量為，則，即.取，得到平面的一個法向量.設平面與平面夾角是，又因為是平面的一個法向量，則.所以平面與平面夾角的余弦值是.解法三：在平面內，過C作交AD延長線于點E，交AB延長線于點F，因為是菱形，所以.如圖4，在平面PAD內，作交EM的延長線于點，設交AP于點Q.所以，四邊形是平行四邊形，，.所以，所以，所以點Q是線段PA上靠近P的三等分點.如圖5，在平面PAB內，作，交AB于T，因為平面，所以平面，所以，因為，，在平面內，作，交BC于點N，連接QN，過A作交BC于K，在中，，，所以，所以，因為，，，且兩直線在平面內，所以平面，因為平面，所以.所以是二面角的平面角.在中，，所以.所以平面與平面夾角的余弦值是.20．人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型；有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.(1)求首次試驗結束的概率；(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.(1)(2)①；②方案二中取到紅球的概率更大.【分析】（1）根據全概率公式，解決抽簽問題；（2）利用條件概率公式計算，根據數據下結論.【詳解】（1）設試驗一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗結果為紅球”為事件，“試驗結果為白球”為事件，（1）.所以試驗一次結果為紅球的概率為.（2）①因為，是對立事件，，所以，所以選到的袋子為甲袋的概率為.②由①得，所以方案一中取到紅球的概率為：，方案二中取到紅球的概率為：，因為，所以方案二中取到紅球的概率更大.21．已知雙曲線（，）過，，，四個點中的三個點.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點，且，求證：直線經過一個不在雙曲線上的定點，并求出該定點的坐標.(1)(2)證明見解析，定點的坐標為【分析】(1)根據雙曲線的對稱性可知，在雙曲線上，而不可能在雙曲線上，從而可知也在雙曲線上，即可求雙曲線的方程；(2)分類討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立方程組，由韋達定理可用含有的式子表示、，再由得到含有的方程，把、代入化簡即可求出的值