中考數學復習專題折疊問題

2012年全國中考數學試題分類解析匯編（159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題（2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張^ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將^ABC沿著DE折疊壓平，A與A,重合，若NA=75°,則N1+N2=【】A.150°B.210°C.105°D.75°【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），三角形內角和定理。【分析】?「△A/DE是4ABC翻折變換而成，.'.NAED:NA'ED,NADE二NA'DE,ZA=ZAZ=75°O.\ZAED+ZADE=ZAzED+ZAzDE=180°-75°=105°,AZ1+Z2=360°-2X105°=150°o故選Ao（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，NA=60。，將紙片折疊，點A、D分別落在A'、D'處，且A'D'經過B,EF為折痕，當D’FCD時，的值為【】A.B.C.D.【答案】Ao【考點】翻折變換（折疊問題），菱形的性質，平行的性質，折疊的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值?！痉治觥垦娱LDC與A'D’,交于點M,???在菱形紙片ABCD中，NA=60°,.\ZDCB=ZA=60°,AB#CDoAZD=180°-ZA=120°o根據折疊的性質，可得ZAzDzF=ZD=120°,AZFDZM=180°-ZA/D/F=60°oVDzF±CD,AZDzFM=90°,ZM=90°-NFD/M=30°。VZBCM=180°-ZBCD=120°,AZCBM=180°-ZBCM-ZM=30°OAZCBM=ZMO.\BC=CMo設CF=x,D,F=DF=y,則BC=CM=CD=CF+DF=x+yo；.FM=CM+CF=2x+y,在Rt^D'FM中，tan/M=tan30°=,?'.。???。故選Ao（2012江蘇連云港3分）小明在學習“銳角三角函數”中發(fā)現，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出。角的正切值是【】A.+1B.+1C.D.【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，銳角三角函數定義，勾股定理?！痉治觥???將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，.\AB=BE,ZAEB=ZEAB=45°,???還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，.\AE=EF,ZEAF=ZEFA==°oAZFAB=°o設AB=x，則AE=EF=x,.,.°=tan/FAB=t。故選Bo（2012廣東河源3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張4ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將4ABC沿著DE折疊壓平，A與A,重合.若NA=75°,則N1+N2=【】A.150°B.210°C.105°D.75°【答案】Ao【考點】折疊的性質，平角的定義，多邊形內角和定理。【分析】根據折疊對稱的性質，NA,=NA=75°o根據平角的定義和多邊形內角和定理，得Z1+Z2=1800-ZADA/+1800-ZAEA/=3600-（ZADA/+ZAEA/）=ZA/+ZA=1500o故選A。（2012福建南平4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3,點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為【】A．B．C．D．3【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題）,正方形的性質,折疊的性質,勾股定理?！痉治觥???正方形紙片ABCD的邊長為3,，NC=90°,BC=CD=3。根據折疊的性質得：EG=BE=1,GF=DF。設DF=x,則EF=EG+GF=1+x,FC=DC—DF=3—x,EC=BC—BE=3—1=2。在Rt^EFC中，EF2=EC2+FC2,即（x+1）2=22+（3—x）2,解得：。.??DF=，EF=1+。故選B。（2012湖北武漢3分）如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處.若AE=5,BF=3,則CD的長是【】A．7B．8C．9D．10【答案】C。【考點】折疊的性質,矩形的性質,勾股定理。【分析】根據折疊的性質，EF=AE=5；根據矩形的性質，NB=90。。在Rt^BEF中，NB=90。，EF=5,BF=3,??.根據勾股定理，得。.CD二AB=AE+BE=5+4=9。故選C。（2。12湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,現將其沿EF對折,使得點C與點A重合，則AF長為【】A.B.C.D.【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題）,折疊對稱的性質,矩形的性質,勾股定理。

【分析】設AF=xcm,則DF=(8-x)cm,???矩形紙片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,現將其沿EF對折，使得點C與點A重合，.\DF=D'F,在Rt^AD’F中，?「AF2=AD/2+D/F2,即x2=6?+（8—x）2,解得：x=。故選B。（2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2,將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【】A．8B．4C．8D．6【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題）,折疊的對稱性質,正方形的性質,勾股定理。【分析】如圖，???正方形ABCD的對角線長為2,即BD=2,NA=90°,AB=AD,ZABD=45°,.??AB:BD-cosNABD=BD-cos45°=2。.\AB=BC=CD=AD=2o由折疊的性質：A/M=AM,D/N=DN,A'D/=AD,???圖中陰影部分的周長為A/M+BM+BC+CN+D/N+A’D/=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故選Co（2012四川內江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為【】【答案】Do【考點】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質?！痉治觥扛鶕匦魏驼郫B的性質，得A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF,則陰影部分的周長即為矩形的周長，為2（10+5）=30。故選Do（2012四川資陽3分）如圖，在^ABC中，NC=90°,將^ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN〃AB,MC=6,NC=,則四邊形MABN的面積是【】A．B．CA．B．C．D．【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，相似三角形的判定和性質，【分析】連接CD,交MN于E,???將4ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，.??MN，CD,且CE=DE°?'.CD=2CE。VMN#AB,ACD±ABoA^CMN^^CABoAo???在4CMN中，NC=90°,MC=6,NC=,AAoA。故選Co（2012貴州黔東南4分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知AB=6,△ABF的面積是24,則FC等于【】A．1B．2C．3D．4【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形與AB=6,4ABF的面積是24,易求得BF的長，然后由勾股定理，求得AF的長，根據折疊的性質，即可求得AD,BC的長，從而求得答案：???四邊形ABCD是矩形，ANB=90°,AD=BCoVAB=6,ASaabf=AB^BF=X6XBF=24oABF=8o由折疊的性質：AD=AF=10,ABC=AD=10oAFC=BC-BF=10-8=2o故選Bo（2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將^ABE沿BE折疊后得到AGBE,延長BG交CD于F點，若CF=1,FD=2,則BC的長為【】A．B．C．D．【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題）,矩形的性質和判定,折疊對稱的性質,全等三角形的判定和性質,A．B．C．D．【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題）,矩形的性質和判定,折疊對稱的性質,全等三角形的判定和性質,勾股定理?！痉治觥窟^點E作EMLBC于M,交BF于N。??四邊形ABCD是矩形，...NA=NABC=90°,AD=BC,?,/EMB=90°,??.四邊形ABME是矩形。...AE;BM,由折疊的性質得：AE=GE,ZEGN=ZA=90°,AEG=BMoVZENG=ZBNM,AAENG^ABNM（AAS）oANG=NMo二E是AD的中點，CM=DE,.AE=ED=BM=CMoVEM#CD,ABN：NF=BM：CMo.BN=NFo.NM=CF=o.NG=oVBG=AB=CD=CF+DF=3,ABN=BG-NG=3-oABF=2BN=5.o故選Bo（2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2,BC=3,則△FCB,與^B/DG的面積之比為【】A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】Do【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥吭OBF=x，則由BC=3得：CF=3-x,由折疊對稱的性質得：B/F=Xo???點B/為CD的中點，AB=DC=2,.B‘C=1o在Rt^B,CF中，B,F2=B/C2+CF2,即，解得：，即可得CF=oVZDB/G=ZDGB/=90°,ZDB/G+ZCB/F=90°,AZDGB/=ZCB/Fo.,.RSDB,GsRSCFB'o根據面積比等于相似比的平方可得：。故選Do（2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點E,沿AE將AABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【工A.B.C.D.2【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，正方形的判定和性質，相似多邊形的性質?！痉治觥???矩形ABCD中，AF由AB折疊而得，.ABEF是正方形。又?.?AB=1,.AF=AB=EF=1o設AD=x，則FD=x-1o???四邊形EFDC與矩形ABCD相似，???，即。解得，（負值舍去）。經檢驗是原方程的解。故選B。（2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB,將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN,連結CN.若4CDN的面積與4CMN的面積比為1：4,貝U的值為【】A．2B．4C．D．【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題）,折疊的性質,矩形、菱形的判定和性質,勾股定理?！痉治觥窟^點N作NGLBC于G,由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質，可得四邊形AMCN是菱形，由^CDN的面積與ACMN的面積比為1：4,根據等高三角形的面積比等于對應底的比，可得DN：CM=1：4,然后設DN二x,由勾股定理可求得MN的長,從而求得答案：過點N作NGLBC于G,??四邊形ABCD是矩形，.?.四邊形CDNG是矩形，AD〃BC。.?.CD;NG,CG=DN,ZANM=ZCMNO由折疊的性質可得：AM=CM,ZAMN=ZCMN,AZANM=ZAMNo.AM=ANo.AM=CM,??.四邊形AMCN是平行四邊形?！窤M=CM,??.四邊形AMCN是菱形。二△CDN的面積與4CMN的面積比為1：4,.DN：CM=1：4。設DN=x,則AN=AM=CM=CN=4x,AD=BC=5x,CG=Xo.BM=x,GM=3x。在Rt^CGN中，，在Rt^MNG中，，。故選D。（2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，NA=70°,將平行四邊形折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN,則NAMF等于【】A．70°B．40°C．30°D．20°【答案】Bo【考點】翻折變換（折疊問題）,平行四邊形的性質,平行線的性質,平角的定義。【分析】二?四邊形ABCD是平行四邊形，.ABaCD。???根據折疊的性質可得：MN〃AE,NFMN二NDMN,，AB〃CD〃MN。VZA=70°,AZFMN=ZDMN=ZA=70°o.??NAMF=180°—NDMN—NFMN=180°—70°—70°=40°。故選B。（2012青海西寧3分）折紙是一種傳統的手工藝術，也是每一個人從小就經歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協調能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段．在折紙中，蘊涵許多數學知識，我們還可以通過折紙驗證數學猜想.把一張直角三角形紙片按照圖①?④的過程折疊后展開，請選擇所得到的數學結論【】A.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等B.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半C直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題）?！痉治觥咳鐖D②，???△CDE由4ADE翻折而成，.?.AD=CD。如圖③，?「△DCF由4OBF翻折而成，???BD二CD。???AD二BD=CD,點D是AB的中點。?，.CD=AB,即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故選Co二、填空題（2012上海市4分）如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,BC=1,點D在AC上，將4ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，如果ADLED,那么線段DE的長為▲.【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題）,折疊對稱的性質,銳角三角函數定義,特殊角的三角函數值,三角形內角和定理,等腰三角形的判定和性質?！痉治觥慷?在Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,BC=1,???將4ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，...NADB二NEDB,DE=AD。VAD±ED,AZCDE=ZADE=90°,.\ZEDB=ZADB=o.\ZCDB=ZEDB-ZCDE=135°-90°=45°oVZC=90°,AZCBD=ZCDB=45°o.\CD=BC=1oADE=AD=AC-CD=。（2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰4ABC中，AB=AC,NBAC=50°.NBAC的平分線與AB的中垂線交于點O,點C沿EF折疊后與點O重合，則NCEF的度數是▲.【答案】50°o【考點】翻折變換（折疊問題），等腰三角形的性質，三角形內角和定理，線段垂直平分線的判定和性質?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質得出NOBC=40°,以及NOBC=NOCB=40°,再利用翻折變換的性質得出EO=EC,NCEF=NFEO,進而求出即可：連接BO,VAB=AC,AO是NBAC的平分線，...AO是BC的中垂線。.??BO=COo,?，NBAC=50°,NBAC的平分線與AB的中垂線交于點O,.\ZOAB=ZOAC=25°o?.?等腰^ABC中，AB=AC,ZBAC=50°,AZABC=ZACB=65°oAZOBC=65°-25°=40°oAZOBC=ZOCB=40°o二?點C沿EF折疊后與點O重合，???EO=EC,NCEF=NFEOo.\ZCEF=ZFEO=（1800-2X400）^2=50°o（2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，將4ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B,處，又將4CEF沿EF折疊，使點C落在EB,與AD的交點C,處.則BC：AB的值為▲o【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，矩形的性質，平行的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值?！痉治觥窟B接CC‘,.?'將4ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B,處，又將4CEF沿EF折疊，使點C落在EB,與AD的交點C,處，.\EC=ECz,AZECzC=ZECCz,VZDC/C=ZECC/,AZEC/C=ZDC/C.???CC,是NEC'D的平分線。VZCB/C/=ZD=9G°,C/C=C/C,AACB/C/^ACDC/（AAS）oACB/=CDo又，?》8,二AB,.?.B,是對角線AC中點，即AC=2AB°...NACB=30°。AtanZACB=tan3G°=oABC：AB=。（2012浙江臺州5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的A’處，連接A,C,則NBA/C二▲度.【答案】?！究键c】折疊問題，折疊的對稱性質，正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理，平角定義?！痉治觥坑烧郫B的對稱和正方形的性質，知△ABE04A,BE,???NBEA,=，4A'DE是等腰直角三角形。設AE二A‘E=A,D=x，則ED=o設CD=y，則BD=oXVZEDA/=ZA/DC=45o,A△EDA/^^A/DCoAZDA/C=ZDEA/=+45o=o.,.NBA/C=18Oo—=o（2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C,D分別落在點C',D'處，C'E交AF于點G.若NCEF=70°,則NGFD’=▲°.【答案】40o【考點】折疊問題矩形的性質，平行的性質?！痉治觥扛鶕郫B的性質，得NDFE二ND'FEo?「ABCD是矩形，.??AD〃BCo.NGFE=NCEF=70°,NDFE=1800—NCEF=110°o..ZGFD'=ZD'FE—ZGFE=110°—70°=40（2012江蘇鹽城3分）如圖，在4ABC中，D,、E分別是邊AB、AC的中點，NB=50現將4ADE沿DE折疊，點A落在三角形所在平面內的點為A1,則NBDA1的度數為▲°【答案】80?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質，三角形中位線定理，平行的性質。【分析】二切、E分別是邊AB、AC的中點，??.DE〃BC（三角形中位線定理）。???NADE=NB=50°（兩直線平行，同位角相等）。又「/ADE二NA1DE（折疊對稱的性質），.??NA1DA=2NB。.\ZBDA=180°-2ZB=80°o1（2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tan/DCF的值是▲.【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），翻折對稱的性質，矩形的性質，勾股定理，銳角三角函數定義?！痉治觥???四邊形ABCD是矩形，??.AB=CD,ND=90°,,?,將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，.,.CF=BC,?.?,...o.?.設CD=2x,CF=3x,/.oAtanZDCF=o（2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2,將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為▲【答案】8o【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質，正方形的性質，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，???正方形ABCD的對角線長為2,即BD=2,NA=90°,AB=AD,ZABD=45°,.AB=BD?cosNABD=BD?cos45°=2o.AB=BC=CD=AD=2o由折疊的性質：A'M=AM,D'N=DN,A'D’=AD,.圖中陰影部分的周長為A/M+BM+BC+CN+D/N+A/D/=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8o（2012湖南岳陽3分）如圖，在Rt^ABC中，NB=90°,沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB=3,BC=4,貝UBD二▲.【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題）。1052629【分析】如圖，點E是沿AD折疊，點B的對應點，連接ED,.\ZAED=ZB=90°,AE=AB=3,???在Rt^ABC中，NB=90°,AB=3,BC=4,**o.\EC=AC-AE=5-3=2o設BD=ED=x,則CD=BC-BD=4-x,在Rt^CDE中，CD2=EC2+ED2,即：（4-x）2=x2+4,解得：x=o*BD=。（2012四川達州3分）將矩形紙片ABCD,按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形8￡0艮若BC=6,則AB的長為▲.【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質，菱形和矩形的性質，勾股定理?！痉治觥吭OBD與EF交于點0。???四邊形BEDF是菱形，*0B=0D=BDo???四邊形ABCD是矩形，.?.NC=90°o設CD=x,根據折疊的性質得：OB=OD=CD=x,即BD=2x,在Rt^BCD中，BC2+CD2=BD2,即62+x2=（2x）2,解得：x=o*AB=CD=o（2012貴州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF,若AB=3cm,BC=5cm,則重疊部分^DEF的面積為▲cm20【答案】。【考點】折疊問題，折疊的性質，矩形的性質，勾股定理?！痉治觥吭OED=x，則根據折疊和矩形的性質，得A,E=AE=5—x,A,D=AB=3。根據勾股定理，得，即，解得。/.（cm2）。（2012河南省5分）如圖，在Rt^ABC中，NC=9Oo,NB=3Oo,BC=3,點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DELBC交AB邊于點E,將NB沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當AAEF為直角三角形時，BD的長為▲【答案】1或2。（2012內蒙古包頭3分）如圖，將4ABC紙片的一角沿DE向下翻折，使點A落在BC邊上的A,點處，且DE〃BC,下列結論：①ZAED=ZC；②；③BC=2DE；④。其中正確結論的個數是▲個?！敬鸢浮??！究键c】折疊問題，折疊對稱的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角的關系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質?！痉治觥竣???DE〃BC,??.根據兩直線平行，同位角相等，得NAED=NC0??.①正確。②???根據折疊對稱的性質，A/D=AD,A,E二AE。??DE〃BC,??.根據兩直線分線段成比例定理，得。???。??.②正確。③連接AA,,二?根據折疊對稱的性質，A,A,關于DE對稱。AA;±DEO:DE〃BC,.，?AA」BC。A/D=AD,.ZDAA‘=ZDA'A。NDBA‘=ZDA/Bo.BD;A‘Do.BD;AD。.DE是^ABC的中位線。.BC=2DE。.?.③正確。④:DE〃BC,MABCMADE。??由③BC=2DE,??.。??根據折疊對稱的性質，△ADE04A,DEoAo??，即。.??④正確。綜上所述，正確結論的個數是4個。（2012黑龍江綏化3分）長為20,寬為a的矩形紙片（10<a<20）,如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止.當n=3時，a的值為▲.【答案】12或15?！究键c】翻折變換（折疊問題）,正方形和矩形的性質,剪紙問題,分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥扛鶕僮鞑襟E,可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當10<a<20時，矩形的長為20,寬為a，所以，第一次操作時，所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20—a,ao第二次操作時，由20—a<a可知所得正方形的邊長為20—a,剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20－a，a－（20－a）=2a－20o??（20—a）—（2a—20）=40—3a,???20—a與2a—20的大小關系不能確定，需要分情況進行討論。第三次操作時，①當20—a>2a—20時，所得正方形的邊長為2a—20,此時，20—a—（2a—20）=40—3a，??此時剩下的矩形為正方形，.??由40—3a=2a—20得a=12。①當2a—20>20—a時，所得正方形的邊長為20—a，此時，2a—20—（20—a）=3a—40，??此時剩下的矩形為正方形，.??由3a—40=20—a得a=15。故答案為12或15。（2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長方形ABCD的一邊，使點C落在AB邊上的點F處，若AD=8,且△AFD的面積為60，則^DEC的面積為▲【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質，折疊對稱的性質，勾股定理?！痉治觥???四邊形ABCD是矩形，...NA;NB=90°,BC=AD=8,CD=AB。?二△AFD的面積為60,即AD?AF=60,解得：AF=15。**o由折疊的性質，得：CD=CF=17o*AB=17o*BF=AB-AF=17-15=2o設CE=x，則EF=CE=x,BE=BC-CE=8-x,在Rt^BEF中，EF2=BF2+BE2,即x2=22+（8—x）2,解得：x=，即CE=，.'.△DEC的面積為：CD?CE=X17Xo三、解答題1.（2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11,0）,點B（0,6）,點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點0、P折疊該紙片，得點B,和折痕0P.設BP=t.（I）如圖①，當NB0P=30。時，求點P的坐標；（II）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB,上，得點C,和折痕PQ,若AQ=m,試用含有t的式子表示m；（III）在（II）的條件下，當點C,恰好落在邊0A上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）.【答案】解：（I）根據題意，N0BP=90°,0B=6o在Rt^OBP中，由NB0P=30°,BP=t，得0P=2to?「0P2=0B2+BP2,即（2t）2=62+t2,解得：t]=,t2=一（舍去）.???點P的坐標為（，6）o（1口?.?△0B/P、4QC/P分別是由△0BP、4QCP折疊得到的，.?.△0B/PS0BPjQC/PSQCPo/.Z0PBz=Z0PB,ZQPCz=ZQPCoVZ0PBz+Z0PB+ZQPCz+ZQPC=180°,*Z0PB+ZQPC=90°oVZB0P+Z0PB=90°,*ZB0P=ZCPQo又?「NOBP=NC=90°,???4OBPs^PCQ。.一由題意設BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,則PC=11—t,CQ=6—m.?.oA(0<t<11)o(III)點P的坐標為(，6)或(，6)o【考點】翻折變換(折疊問題)，坐標與圖形性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質。【分析】(I)根據題意得，NOBP=90°,OB=6,在Rt^OBP中，由NBOP=30°,BP=t，得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。(II)由AOB/P、AQC’P分別是由△OBP、AQCP折疊得到的，可知△OB’P^AOBP,△QC’P^^QCP,易證得△OBPs^PCQ,然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。(I)首先過點P作PELOA于E,易證得△PC’Es^C,QA,由勾股定理可求得C,Q的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值：過點P作PELOA于E,.NPEA:NQAC，=90°o..ZPCzE+ZEPCz=90°oVZPC/E+ZQC/A=90°,AZEPC/=ZQC/Ao.??△PC/Es^C/QAo..?oVPCz=PC=11—t,PE=OB=6,AQ=m,C/Q=CQ=6—m,*.o.o???，即，???，即。將代入，并化簡，得。解得：。???點P的坐標為(，6)或(，6)o2.(2012海南省11分)如圖(1),在矩形ABCD中，把NB、ND分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.(1)求證：△AND04CBM.(2)請連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？(3)P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結PQ、CQ、MN,如圖(2)所示，若PQ=CQ,PQ〃MN0且AB=4,BC=3,求PC的長度.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD是矩形，...ND;NB,AD=BC,AD〃BC。.\ZDAC=ZBCAo又由翻折的性質，得NDAN二NNAF,NECM二NBCM,；?NDAN二NBCM。.,.△ANDSCBM(ASA)o(2)證明：:△AND04CBM,.?.DN;BMo又由翻折的性質，得DN=FN,BM=EM,.FN二EM。又NNFA=NACD+NCNF=NBAC+NEMA=NMEC,...FN〃EMo.?.四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質，得NCEM=NB=9Oo,.?.在^EMF中，NFEM>NEFMo.??FM>EMo.?.四邊形MFNE不是菱形。(3)解：:AB=4,BC=3,.AC=5o設DN二x，則由"adc=S.and+“nac得3x+5x=12,解得x=，即DN=BM=o過點N作NHLAB于H,則HM=4—3=1o在△NHM中，NH=3,HM=1,由勾股定理，得NM=o:PQ〃MN,DC〃AB,.四邊形NMQP是平行四邊形。.NP=MQ,PQ=NM=o又:PQ=CQ,.CQ=o在ACBQ中，CQ=,CB=3,由勾股定理，得BQ=1o???NP=MQ=o.PC=4——=2o【考點】翻折問題，翻折的性質，矩形的性質，平行的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥?1)由矩形和翻折對稱的性質，用ASA即可得到△AND^^CBMo(2)根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。(3)設DN=x，則由Saadc=Saand+S△ac可得DN=BM=o過點N作NHLAB于H,則由勾股定理可得NM=，從而根據平行四邊形的性質和已知PQ=CQ,即可求得CQ=o因此，在^CBQ中，應用勾股定理求得BQ=1。從而求解。(2012廣東省9分)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8.把^BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C,處，BC,交AD于點G；E、F分別是C/D和BD上的點，線段EF交AD于點H,把△FDE沿EF折疊，使點D落在D,處，點D/恰好與點A重合.(1)求證：△ABG^^C'DG；(2)求tan/ABG的值；(3)求EF的長.【答案】(1)證明：???△BDC,由4BDC翻折而成，.\ZC=ZBAG=90°,CzD=AB=CD,ZAGB=ZDGCz,AZABG=ZADEo在△ABG^^C/DG中，?:/BAG=NC,AB=CzD,ZABG=ZADC/,.,.△ABG"C,DG(ASA)o(2)解：：?由(1)可知△ABG04C/DG,?'.GD=GB,.'.AG+GB=AD。設AG=x，則GB=8-x,在^4486中，?「AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8-x)2,解得x=o.o(3)解：?:△AEF是ADEF翻折而成，.EF垂直平分ADo.HD=AD=4oVtanZABG=tanZADE=oAEH=HDX=4Xo?「EF垂直平分AD,AB，AD,.HF是4ABD的中位線。.HF=AB=X6=3o.EF=EH+HF=o【考點】翻折變換(折疊問題)，翻折變換的性質，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數定義，三角形中位線定理?！痉治觥?1)根據翻折變換的性質可知NC=NBAG=90°,C/D=AB=CD,NAGB=NDGC/,故可得出結論。(2)由(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,設AG=x，則GB=8-x，在Rt^ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，從而得出tan/ABG的值。(3)由4AEF是ADEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=AD=4,再根據tan/ABG的值即可得出EH的長，同理可得HF是4ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結果。(2012廣東深圳8分)如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F,連接AF、CE.⑴求證：四邊形AFCE為菱形；⑵設AE=a,ED=b,DC=c.請寫出一個a、b、。三者之間的數量關系式.【答案】（1）證明：?.?四邊形ABCD是矩形，.?.AD〃BC,?,.NAEF二NEFC。由折疊的性質，可得：NAEF二NCEF,AE=CE,AF=CF,AZEFC=ZCEFO.??CF=CE°.'.AF=CF二CE=AE。.?.四邊形AFCE為菱形。（2）解：a、b、。三者之間的數量關系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質，得：CE=AEo:四邊形ABCD是矩形，.?.ND=90°o?AE=a,ED=b,DC=c,.CE=AE=aO在RSDCE中，CE2=CD2+DE2,.a、b、。三者之間的數量關系式可寫為：a2=b2+c2o【考點】翻折變換（折疊問題）,矩形的性質,折疊的性質,平等的性質,菱形的判定,勾股定理。【分析】（1）由矩形ABCD與折疊的性質，易證得4CEF是等腰三角形，即CE=CF,即可證得AF二CF二CE二AE,即可得四邊形AFCE為菱形。（2）由折疊的性質，可得CE二AE二a,在Rt^DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、。三者之間的數量關系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）（2012廣東珠海9分）已知，AB是。。的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B）,把^AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在。。上.（1）當P、C都在AB上方時（如圖1）,判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2）,（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；（3）當P、C都在AB上方時（如圖3）,過C點作CD,直線AP于D,且CD是。。的切線，證明：AB=4PD.【答案】解：（1）PO與BC的位置關系是PO〃BC。（2）（1）中的結論PO〃BC成立。理由為：由折疊可知：△APO04CPO,，NAPO:NCPO。XVOA=OP,AZA=ZAPOoAZA=ZCPOo又?「NA與NPCB都為所對的圓周角，...NA=NPCB°?'.NCPO二NPCB。.??PO〃BC。(3)證明：:CD為圓O的切線，.OCLCD。XVAD±CD,AOC#ADoANAPO=NCOPo由折疊可得：NAOP二NCOP,.NAPO:NAOP。又???OA=OP,.??NA:NAPOo.NA;NAPO二NAOPo.^APO為等邊三角形。.??NAOP=60°oXVOP#BC,ANOBC=NAOP=6G°o又?.?OC=OB,???4BC為等邊三角形。.NCOB=60°o.??NPOC=18G°-(NAOP+NCOB)=6O°o又?.?OP=OC,.4POC也為等邊三角形。.NPCO=6O°,PC=OP=OCoXVNOCD=9O°,ANPCD=3O°o在Rt^PCD中，PD=PC,又?.?PC=OP=AB,.PD;AB,即AB=4PDo【考點】折疊的性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，平行的判定和性質，切線的性質，全等三角形的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質。(2012福建龍巖12分)如圖1,過4ABC的頂點A作高AD,將點A折疊到點D(如圖2),這時EF為折痕，且ABED和4CFD都是等腰三角形，再將ABED和4CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH(如圖3),我們稱矩形EFGH為AABC的邊BC上的折合矩形.(1)若AABC的面積為6,則折合矩形EFGH的面積為；(2)如圖4,已知4A8^在圖4中畫出AABC的邊BC上的折合矩形EFGH；(3)如果AABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a,那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對角線長為.【答案】解：(1)3o(2)作出的折合矩形EFGH：(3)2a；【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質，勾股定理?！痉治觥浚?）由折疊對稱的性質，知折合矩形EFGH的面積為4ABC的面積的一半，（2）按題意，作出圖形即可。（3）由如果4ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a。根據勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為。（2012福建