2022年湖北省荊州市石首天星洲中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年湖北省荊州市石首天星洲中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則集合等于A．

B．C．

D．參考答案：C略2.把5位人員派往3個不同的城市監(jiān)督環(huán)保工作，要求每個城市至少派一位人員的不同分配方案有

（A）36種 （B）150種 （C）240種 （D）300種（參考答案：B略3.已知函數(shù),,設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則的最小值為（

）

A、11

B、10

C、9

D、8

參考答案：B略4.若全集為實(shí)數(shù)集，集合==

(

)A． B． C．

D．參考答案：D5.函數(shù)y=的反函數(shù)是------------------------（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B【測量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)與分析的基本知識.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)/反函數(shù).【試題分析】當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，故答案為B.6.下列命題中，真命題是A．，；B．，；C．“”是“”的充分不必要條件；D．設(shè)，為向量，則“”是“”的必要不充分條件參考答案：C7.函數(shù)，則的圖象只可能是參考答案：C因?yàn)楹瘮?shù)都為偶函數(shù)，所以也為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除A,D.當(dāng)時，函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以選C.8.已知橢圓過點(diǎn)（3，2），當(dāng)a2+b2取得最小值時，橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】將點(diǎn)代入橢圓方程，利用“1”代換，根據(jù)基本不等式的即可a和b的關(guān)系，利用橢圓的離心率即可求得【解答】解：由點(diǎn)在橢圓上則：，則a2+b2=（a2+b2）（+）=9+++4=13+2=25，當(dāng)且僅當(dāng)=，即=，由橢圓的離心率e===，∴橢圓的離心率，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的方程及橢圓的離心率，考查“1”代換，基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．9.在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+2a10=4，則此數(shù)列的前13項(xiàng)的和等于(

) A．8 B．13 C．16 D．26參考答案：B考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得a7=1，再由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得S13=13a7，代值計算可得．解答： 解：∵在等差數(shù)列{an}中a3+a5+2a10=4，∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，∴2a7=2，解得a7=1，∴數(shù)列的前13項(xiàng)的和S13===13a7=13×1=13，故選：B．點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．10.在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，則△ABC的面積為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知可求sinB=sinA，cosB=cosA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA，cosB，進(jìn)而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得a，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．【解答】解：∵由b=a，可得：sinB=sinA，由cosB=cosA，可得：cosB=cosA，∴（sinA）2+（cosA）2=1，解得：sin2A+cos2A=，∴結(jié)合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=，cosB=，∴A=，B=，可得：C=π﹣A﹣B=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（）2=a2+（）2﹣2α×a×cos，∴解得：a=，∴S△ABC=acsinB=（）×=．故答案為：．12.課題組進(jìn)行城市農(nóng)空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲．乙．丙三組，對應(yīng)城市數(shù)分別為．．。若用分層抽樣抽取個城市，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為

參考答案：本題考查分層抽樣的特點(diǎn)及應(yīng)用.由分層抽樣的特點(diǎn)可知丙組中應(yīng)該抽取的城市數(shù)為.13.

參考答案：14.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-6），P為橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最大值是

．參考答案：3015.已知，，那么的值是____參考答案：16.如果執(zhí)行上面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)S=

.參考答案：17.已知集合集合為整數(shù)集，則=

(

)

參考答案：A略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求正整數(shù)的最小值.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋捎谠谏鲜菧p函數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由在上恒成立，整理得：在上恒成立即可，令，當(dāng)時，，以及在上，得在上恒成立，由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.所以有，即恒成立，所以正整數(shù)的最小值為1.19.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1，2，…16．（1）求(xi，i)(i=1，2，…16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小（若|r|＜0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）．（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，．參考答案：

（ii）剔除9.22，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為20.直四棱柱中，底面是等腰梯形，，，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求與平面所成角的大小參考答案：解：(1)證明：連結(jié)AD1，在△ABD1中∵E是BD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA中點(diǎn)，∴EF//AD1又EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1∴EF∥平面ADD1A1.(2)解法1：延長D1A1至H，使A1H＝D1A1，延長DA至G，使AG＝DA，并連結(jié)HG和A1G，則A1G∥D1A∥EF∴A1G∥平面DEF，∴A1到平面DEF的距離等于G到平面DEF的距離，設(shè)為x由題意可得，DF＝BC＝AD＝1，連DB，在Rt△D1DB中，DE＝D1B又DB＝，且DD1＝，∴DE＝×＝，又EF＝AD1＝＝，在△DEF中，由余弦定理得：cos∠EDF＝＝∴sin∠EDF＝＝∴S△DEF＝××1×＝，又點(diǎn)E到平面DGF的距離d＝DD1＝

不難證明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG)∴S△DFG＝×DF×FG＝×1×＝由VE－DGF＝VG－DEF得，x·S△DEF＝d·S△DFG，∴x·＝×，∴x＝，即A1到平面DEF的距離為，設(shè)A1F與平面DEF成α角，則sinα＝＝×＝，∴α＝arcsin，即A1F與平面DEF所成角的大小為arcsin.解法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz(DG為AB邊上的高)則有A1(，－，)，F(xiàn)(，，0)，D1(0,0，)，B(，，0)，∴E(，，)，設(shè)平面DEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，由，取x＝1解得y＝－，z＝∴法向量n＝(1，－，)，∵＝(0,1，－)，設(shè)A1F與平面DEF所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，∴A1F與平面DEF所成角的大小為arcsin.21.問題：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為

；探索：（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．參考答案：（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【分析】（1）易證△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）連接CE，易證△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其關(guān)系；（3）將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BE，先證△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的長即可.【詳解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.證明如下：連接CE，如解圖1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BE，如解圖2所示，則AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可證得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－B