隨機動力系統(tǒng)中的確定性性質與不變結構簡述

I隨機動力系統(tǒng)中的確定性性質與不變結構簡述隨機微分方程對于理解與運用現(xiàn)實中的復雜現(xiàn)象有著非常重要的意義，而對于隨機微分方程的研究可以通過研究其解的確定性性質將對隨機微分方程的研究轉化為對確定性偏微分方程的研究；同時也可以類比動力系統(tǒng)中的幾何不變結構，利用部分隨機微分方程解的余環(huán)性質，來研究其隨機不變結構從而更好地理解隨機微分方程。本文將簡要介紹Kolmogorov利用隨機微分方程解的概率密度函數(shù)導出其機微分方程的研究轉化為對于一類橢圓型偏微分方程的研究；同時會簡要介紹II生物，化學和物理系統(tǒng)通常會受到如外界波動，內部攪動，波動初值的影響[29,19,15,23,28]，而在對這些系統(tǒng)進行數(shù)學建模的時候由于不能很好地認識以及沒有有效的分析工具來研究這些不確定因素，它們經常會被忽略。然而，這些不確定因素對于這些系統(tǒng)的影響有時是重要而不可忽略的[4,36]，有時又會是十分有用的[18]。因此，對于這些受隨機因素影響的復雜現(xiàn)象來說，在對其進行建模時考慮隨機因素具有很重要的意義，而對于這些現(xiàn)象的建模主要是構造出相應的隨機微分方程。對于隨機微分方程有許多確定性性質可以研究其解的行為，如均值，概率密度函數(shù)，平均逃逸時間以及逃逸概率，而通過對這些內容的研究可以發(fā)現(xiàn)其實際上是滿足某一確定性偏微分方程，如隨機方程解的概率密度函數(shù)滿足FokkerPlanck類拋物方程，而平均逃逸時間以及逃逸概率滿足的是一類橢圓方程[37]。通過證明隨機微分方程可以導出滿足上述性質的隨機動力系統(tǒng)可以將動力系統(tǒng)與隨機分析的研究結果結合起來。而隨機動力系統(tǒng)實際上在是遍歷理論意義下的可測動力系統(tǒng)與光滑或拓撲動力系統(tǒng)結合的產物，這兩者分別都有很好的研與發(fā)展[2]。確定性動力系統(tǒng)有很多幾何不變結構如特征空間，來研究其對應的微分方程解的性質，而從20世紀90年代開始，關于隨機動力系統(tǒng)的研究開始得到很好的發(fā)展，對應于動力系統(tǒng)中的幾何不變結構如不變流形[6]，分形[11]，隨機吸引子[33]等相繼被提出。通過對這些幾何不變結構的研究我們得以更好地理機微分方程解的一些行為，從而對于復雜現(xiàn)象獲得更好地解釋與應用。性性質如概率密度函數(shù)來研究隨機微分方程的一些理論和方法，以及已有的確1dttn?tdttn?t第一章隨機動力系統(tǒng)中的確定性性質考慮隨機微分方程tttt00其中隨機過程{B(O):t>0}為定義在概率空間(業(yè),F,)上的布朗運動，dBtt為其廣義微分，模擬高斯白噪聲；b(t,X),((t,X)為滿足方程(1.1)解的存在tt唯一性條件的參數(shù)。對少數(shù)線性隨機微分方程可以得到其解析解，但對于大多數(shù)隨機微分方程而言，我們并不能獲得其解析表達式，但可以通過研究其概率密度函數(shù)等隨機變量的確定性性質來解決一些隨機微分方程中的一些問題。rPlanck{b(t{b(t,X)}n，((t,X)為n〉m矩陣函數(shù){((t,X)}n，B為m維標準布朗運動iti=1ti,jti,j=1ttit定的函數(shù)f:n)1可知f(X)=jf(x)p(t,x)dx,ntndf(X)=jf(x)?p(t,x)dx,而另一方面由伊藤公式知iidf(Xt)=xibi+Tr((H(f)(T)dt+xi,k(ikdBtkii=「|xb?f+1x(((T)?2f]|dt+x(?fdBk|Lii?xi2i,ji,j?xi?xj」|i,kik?xitii?x2i,ji,j?x?xdf=(xii?x2i,ji,j?x?xiij即2?ti?xi2i,j?x?xi?ti?xi2i,j?x?xi,ji?xi2i,j?x?xi,j?tddff==fdtdtii?x2i,ji,j?x?x(xii?x2i,ji,j?x?xiijnii?x2i,ji,j?x?x=j(xb?fnii?x2i,ji,j?x?xiijdtnLixiiijdtnLixiiijxixjij」|n?t=jf(x)?p(t,n?tiij記A*p=_x?(bp)+1x?2(GGT)p)iij212??0rPlanck過數(shù)值模擬的方式去獲得其數(shù)值解并應用到實際問題中去。因此，方程解的存在唯一性就顯得尤為重要。在介紹方程(1.3)在特定邊界條件下的存在唯一性定算子的概念對A*有ijA*p=xi,j?xi(GGT)i,j?xjp_xjbj+xi?xi(GGT)i,j.?xjp+xi,j?xx(GGT)ij_xi?xibipij可知A*為橢圓算子。i,ji,jijii3Dn上，方程(1.3)滿足吸收邊界條件?p(t,x)=A*p(t,x)?t(1.5)?D0定理1.1假設算子A*為在有界區(qū)域D上的一致橢圓算子，則有btxxGtxx的二階導數(shù)在區(qū)域D上有界并且THD000002.若b(t,x)關于x的一階導數(shù)與G(t,x)關于x的二階導數(shù)以及初值p在區(qū)域D0按指數(shù)y一致H?lder連續(xù)并且在Cy(D)上有界，則方程(1.4)存在唯一解p=C2,y(D)關于(1)的證明可以參考[13，7.1]中的定理3,4,5；關于(2)的證明可以參考[14,Ch.3]中的定理9。?p(t,x)=A*p(t,x)?t(1.6)20定理為了描述與理解方程(1.1)解曲線的一些幾何方面的性質，我們引入初次離曲線的離開時間為T(O)inf{t>0:X=x,X=?D}.D0tDu(x)T(O).D4記假設A為橢圓算子，b,(為滿足方程(1.1)解的存在唯一性條件的參數(shù)。下面間可以通過解一個確定性偏微分方程得到。定理1.2算子A滿足一致橢圓算子條件(1.4)，則滿足方程(1.1)的從x=D開始的解曲線的平均離開時間u(x)滿足橢圓偏微分方程D更進一步有(1)如果區(qū)域D有C2,y邊界并且b,(=Cy(D)對y=(0,1)，則平均離開時間u存在唯一并且在C2,y(D)上；(2)如果b,(局部可積并且在D上有界，則方程(1.8)的解u存在唯一并且在1.3逃逸概率逃逸概率描述的是從區(qū)域D內開始的解曲線從邊界?D上某一個特定部分T離開的概率。這個概念可以幫助我們理解復雜系統(tǒng)的許多概念。比如在分子生物學中[34]，兩個長螺旋DNA單鏈分子相遇并變?yōu)殡p鏈分子的概率可以通過解決特定的逃逸概率問題來獲得答案。定義初次離開時間Dct其中Dc是D在n中的補集，X為方程(1.1)的解。t當方程(1.1)的解X關于t幾乎處處連續(xù)時，從x=D中開始的解曲線到達tDc時會同時到達?D，因此T=T。記T為?D的子集，稱從x=D中開始的Dc?D5t即p(x)={X=T}.?D圖1對于逃逸概率p(x)可以通過解一個確定性偏微分方程來獲得。接下來的定理所描述的逃逸概率也適合如圖1這樣環(huán)形的情形，其中T既可以在內邊界上DT該定理的證明可以參考[30,定理9.2.14]。假設粒子最初按概率密度f(x)分布在區(qū)域D上，那么粒子在從除T之外的其他邊界上的位置離開前通過T離開區(qū)域D的概率P如下[27]P=jp(x)f(x)dx.D6第二章隨機動力系統(tǒng)中的不變流形動力系統(tǒng)中的幾何不變結構對于理解動力系統(tǒng)行為有著十分重要的意義，例如線性動力系統(tǒng)里的穩(wěn)定與不穩(wěn)定特征空間，非線性動力系統(tǒng)中的穩(wěn)定與不穩(wěn)定不變流形。而研究這些幾何不變結構的重要基礎是常微分方程中所謂的“流性質(flowproperty)”[31][9]。我們接下來先介紹確定性動力系統(tǒng)中的幾何不變結構接著再引入隨機動力系統(tǒng)中與之對應的幾何結構。2.1確定性動力系統(tǒng)中的不變流形定義2.1(動力系統(tǒng))稱映射:nn為n上的動力系統(tǒng)如果其滿足間記(x)(t,x)，則有t0t+sts0其中xnf:nn滿足Lipschitz條件，即0[31,Sec.2.2-2.4]，根據(jù)[31,Sec.2.5]中的定理知，方程[2.2]的解(t,x)在0區(qū)間I(x)上滿足0(x)=Id,=.00t+sts接下來討論動力系統(tǒng)間的等價關系?？芍哂成銱為連續(xù)雙射，且其逆tt.2稱兩動力系統(tǒng)1,2拓撲等價，如果存在同胚映射H:nn滿足ttHttH對任意的t都成立。tttt。7如果方程(2.2)的解在n上存在唯一，則Q(t,x)滿足動力系統(tǒng)的流性質0(2.1)。如果解Q(t,x)對某一初值x不滿足全局存在唯一性，那么通過對時間000解都對t=存在唯一的動力系統(tǒng)Qt0t與原動力系統(tǒng)在n上拓撲同胚[31,Sec.3.1]。對方程(2.2)，稱x*=n為平衡點如果有f(x*)=0，而該方程在平衡點對應的線性方程為x與原動力系統(tǒng)在n上拓撲同胚[31,Sec.3.1]。對方程(2.2)，稱x*=n為平衡點如果有f(x*)=0，而該方程在平衡點對應的線性方程為0Df(x*)為f(x)在x*點的Jacobian矩陣。如果Df(x*)的特征值都有非零實部，那么稱x*為方程(2.3)的雙曲平衡點，否則稱其為非雙曲平衡點。接下來的定理探討在雙曲平衡點附近方程(2.3)的解與方程(2.2)的解的拓撲關定理2.1(Hartman-Grobman定理)記f=C1(n)，Q為滿足非線性方程(2.2)t的動力系統(tǒng)。若x*為方程(2.3)的雙曲平衡點，則存在同胚映射H:U)V，其HHQx=eAtH(x),t=Itx即，在雙曲平衡點x*附近，方程(2.3)的解與方程(2.2)的解拓撲同胚。t0t0的連通度量空間，滿足：U與n中的開集同胚；{的連通度量空間，滿足：U與n中的開集同胚；aaaa豐氣并且ha豐氣并且h:U)B,h:U)B是同胚映射，B=n，那么aabaabbh(UU)與h(UU)為n的子集，映射h=hh-1:h=hh-1:h(UU))h(UU)abbabaab可微，并且對任意的x=h(UU)abbabaabbab8例2.1記M{(x,f(x)):x=1}其中f(x)可微?？芍狹為一維可微流形，其開覆蓋為U=M，h:(x,f(x)))x。更一般的，對Lipschitz連續(xù)或Ck的映射y11y:H+)H-定義2.5(不變流形)稱不變集M為動力系統(tǒng)Qt的不變流形，如果M可以被如yH)H-Lipschitz連續(xù)且H+中H-=n。yM為光滑不變流形。對n中的線性系統(tǒng)0可知其穩(wěn)定特征空間Es由含負實部的A的特征值所對應的特征向量張成；其不穩(wěn)定特征空間Eu由含正實部的A的特征值所對應的特征向量張成；其中心特征空間Ec由含零實部的A的特征值所對應的特征向量張成。這三個特征空間都是對非線性常微分方程(2.2)所導出的線性方程(2.3),x*=n為其平衡點，對滿足方程(2.2)的動力系統(tǒng)Q定義其關于平衡點在鄰域U上的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形tloctt)-t)-wtloctlocx9AAUUklklklnFxyGxy)為f?(x)分別在k,l上的投影。ababS為kk矩陣且其特征值的實部都小于a，U為ll矩陣且其特征值的實部大于b。如果F(x,y),G(x,y)都是C1連續(xù)并且滿足1.在k中存在一個包含原點的開集與唯一的C1函數(shù):kl滿足ss(0)0,D(0)0并且Ws(0,0){(x,(x))kl}為滿足方程(2.5)的動力系統(tǒng)的局部不變流形；2.在l中存在一個包含原點的開集與唯一的C1函數(shù):lk滿足uu(0)0,D(0)0并且Wu(0,0){((y),y)kl}為滿足方程(2.5)的動 的偽指數(shù)二分性，可知klkl在局部不變流形上{(x,(x)):x}，方程(2.5)等價于如下的積分方程000假設性質(2.6)成立，令t則可得000如果要求a0b那么稱Ws為局部穩(wěn)定流形Wu為局部不穩(wěn)定流形，若沒locloclocloc對于平衡點原點不是雙曲平衡點的情況，即方程(2.2)對應在原點附近對應的線性方程(2.3)中Df(0)有k個特征值有負實部，l個特征值有正實部，m個特征值有0實部且klmn。對于非線性系統(tǒng)(2.2)而言，其穩(wěn)定，不穩(wěn)(Ec)。定理2.3(局部穩(wěn)定，不穩(wěn)定，中心流形定理)考慮滿足方程(2.2)的動力系統(tǒng)，f在包含原點的區(qū)域D上Cr連續(xù)，原點為其平衡點，且Df(0)有k個特征t系統(tǒng)(2.3)有穩(wěn)定(Es)，不穩(wěn)定(Eu)，中心特征空間(Ec)。那么1.存在m維Cr局部中心流形Wc(0)與中心特征空間Ec在原點正交；2.存在l維Cr局部不穩(wěn)定流形Wu(0)與不穩(wěn)定特征空間Eu在原點正交；3.存在k維Cr局部穩(wěn)定流形Ws(0)與穩(wěn)定特征空間Es在原點正交；t2.2隨機動力系統(tǒng)中的不變流形隨機動力系統(tǒng)中的幾何不變結構同確定性動力系統(tǒng)中的一樣，是理解方程解的性質的重要工具，并且確定性動力系統(tǒng)中的一些幾何結構可以推廣到隨機定義2.5(可測動力系統(tǒng))稱概率空間(,F,)中的一組映射:為可測動t0對任意的t,s；tsts3.(,t)為可測函數(shù)。tttAtt不變測度。由于性質ttlim1jT(9(AB))dt=(A)(B),對任意的A,B=FtT)wT0一t其t所有不變集的概率為0或1。當測度保持動力系統(tǒng)9為遍歷的，稱其概率測度t接下來介紹概率空間(業(yè),F,)上的可測動力系統(tǒng)9的一個遍歷定理。t記f:業(yè))1為一可測函數(shù)，定義其對某一O=業(yè)的“平均值”如下n)wn0tn)wn一nt記ftn)士wn0n+tf(O)=lim1jnf(9O)dt=lim1j0f(9O)dt存在}n)wn0tn)wn一nt定理2.4(遍歷定理)9概率空間(業(yè),F,)中的可測動力系統(tǒng)，f:業(yè))1為tftt不變函數(shù)，即f(9O)=f(O)對任意的t=，O=業(yè)都成立。并且對所有的tfsn)wt0sn)wt一ts推論2.5(Birkhoff-Chintchin定理)當9為測度保持的時tt0st一ts準概率空間對定義在(業(yè),F,)上的Brown運動B考慮映射tttBC),(t)B(),tt(,)1maxntn|1(t)2(t)|.12n12n1max|(t)(t)|ntn12可知該度量導出的收斂為一致收斂。該度量導出的Borel集B(C(,1))記為其域，可知B為可測映射，故B為隨機變量，記其導出的概率測度為P:P(A)P(B1(A))，A為C(,1)中的Borel集。于是可以得到概率空間BBBBt(C(,1),B(C(,1),P)上定義隨機過程BB:C(,1)1B()(t)ttBt1Bt1tkkt1tk1k11k即B與B具有相同的概率分布tt我們稱(C(,1),B(C(,1),P)為標準概率空間，仍將其記作(,F)。Bt((s))(s)(ts)(t)t,s.tt02.對任意的t,s；tsts3.(,t)為可測函數(shù)并且,對任意的t[2，附錄A].ttB()B()B()sttstt態(tài)空間X，時間集=或，概率空間(,F,,())上的連續(xù)隨機動力系統(tǒng)tttt足余環(huán)性質(0,)Id;sstsxtsx只在幾乎處處的意義下對固定的st,s成立以及在與t,s相關的零測集上不成立。而根據(jù)[2,Sec1.3],我們可以構造一個完美余環(huán)與原粗糙余環(huán)不可分辨即集合{:(t,)(t,),對某一t}的概率測度為0。因此，接下來我們只討論完美余環(huán)的性質。12t1212122211222t11下面給出隨機動力系統(tǒng)的幾個例子例2.2考慮線性隨機方程dXdBXxtt0可知其解映射為(t,,x)B()x,可知(0,,x)x,并且ttss)的解映射是否為余環(huán)，我們有如下的定理xnbxnb?bi=Ck,6i=1i?xbitt乘積遍歷定理為我們提供了線性余環(huán)中對應于線性動力系統(tǒng)的特征空間與v定理2.6(乘積遍歷定理)記C(t,O)為n中在概率空間(業(yè),F,)，時間t=，可測驅動流9上的線性隨機動力系統(tǒng)，并且滿足可積條件tsuplnCtOLsuplnCtOL業(yè))Ftt1.“漸進幾何均值”的極限E(O),...,E(O)，記其維數(shù)為d(O)=dimE(O),i=1,...,p(O)，并且n=p(O)1iipOpOpOiittititiiiit4.對任意的O=業(yè)，極限lim1lnC(t,O)x=入當且僅當x=E(O)\{0}t)士wtiiiiiseledetsLyapunov12p()定理的證明可以參考[2，Sec.3.3-3.4]。ttt線性隨機動力系統(tǒng)(t,)，其由某一線性隨機方程的解映射給出，可知其iisupln(t,)supln(t,)0t10t1其中為矩陣范數(shù)。而由于所有的矩陣范數(shù)都等價，因此可以選擇任意的矩陣積性條件。3.有兩種方式來確定線性隨機動力系統(tǒng)(t,)的Lyapunov指數(shù)與其對應的fC2,,f,...,fC3,,mdfjfiC3,0b1mbi1j1ixbj假設原點為f,...,f0mAf(0),0imixidxf(x)dtmf(x)dBi,tt0ti1ittyt0ti1itdBi,tt那么存在可測映射h:nn滿足1.h(,):nn為n上的同胚映射，并且h(,0)0,；15()h(,x)h()()ttt。定義2.10(隨機集合)一組集合MM(),稱為n中隨機動力系統(tǒng)的隨機集，如果其滿足n；2.V:x1V()xinfd(x,y1V()xyMt定義2.12(隨機不變流形)如果隨機動力系統(tǒng)的不變集M()可以表示成如下形式LipschitzMLipschitz；如果*(,)對任意的 對于形如方程(1.1)的隨機微分方程，為了方便研究其解的幾何性質，需要將其轉化如下的形式dtttA()utnUt)。tttt非一致偽雙曲性)線性隨機動力系統(tǒng)U(t,o)被稱為有非一致雙曲性，t