數(shù)學(xué)建模第四章概率統(tǒng)計(jì)模型

數(shù)學(xué)建模第四章概率統(tǒng)計(jì)模型第1頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第四章概率統(tǒng)計(jì)模型

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第2頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性回歸模型概率統(tǒng)計(jì)模型第四章經(jīng)濟(jì)軋鋼模型重點(diǎn):概率統(tǒng)計(jì)模型的建立和求解難點(diǎn):概率統(tǒng)計(jì)模型的基本原理及數(shù)值計(jì)算決策模型

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院建模舉例排隊(duì)論模型

報(bào)紙零售商最優(yōu)購(gòu)報(bào)問(wèn)題

第3頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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決策問(wèn)題是人們?cè)谡?、?jīng)濟(jì)、技術(shù)和日常生活中經(jīng)常遇到的一類(lèi)問(wèn)題。它是現(xiàn)代企業(yè)管理的核心問(wèn)題，貫穿于整個(gè)企業(yè)管理的始終。本節(jié)將首先簡(jiǎn)要說(shuō)明決策的概念和分類(lèi)，然后介紹風(fēng)險(xiǎn)型和不確定型決策模型及其應(yīng)用。4.1決策模型第4頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.1.1決策的概念和類(lèi)型所謂決策，就是從多個(gè)備選方案中，選擇一個(gè)最優(yōu)的或滿意的方案付諸實(shí)施。例4.1.1（展銷(xiāo)會(huì)選址問(wèn)題）某公司為擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷(xiāo)會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、丙三地，獲利情況除了與會(huì)址有關(guān)外，還與天氣有關(guān)，天氣分為晴、陰、多雨三種，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，估計(jì)三種天氣情況可能發(fā)生概率為0.2，0.5，0.3其收益情況見(jiàn)表4.4.1，現(xiàn)要通過(guò)分析，確定會(huì)址，使收益最大。第5頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院1.決策者2.決策的備選方案或策略A1，A2，…，Am3.決策準(zhǔn)則，即衡量所選方案正確性的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)同一個(gè)決策問(wèn)題，不同的決策準(zhǔn)則將導(dǎo)致不同的方案選擇。4.事件或自然狀態(tài)N1，N2，…，Nn5.結(jié)果，即某事件(狀態(tài))發(fā)生帶來(lái)的收益或損失值決策問(wèn)題通常包含以下要素：第6頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院第7頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院決策的分類(lèi)：1.確定型決策——自然狀態(tài)只有一種，即n=1；2.風(fēng)險(xiǎn)型決策——n>1且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率Pj（j=1，2，…，n）可通過(guò)某種途徑獲得；3.不確定型決策——各種自然狀態(tài)下發(fā)生的概率既不知道，也無(wú)法預(yù)先估計(jì)。第8頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.1.2風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題

由概率論知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，概率越大，事件發(fā)生的可能性就越大?；谶@種思想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們選擇一種發(fā)生概率最大的自然狀態(tài)來(lái)進(jìn)行決策，而不顧及其他自然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可能準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定型決策問(wèn)題的一種決策方法。1．最大可能準(zhǔn)則第9頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例如4.4.1投資決策問(wèn)題若采用最大可能準(zhǔn)則可得因此方案A1最優(yōu)。應(yīng)該指出的是：如果各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比較接近，此決策方法不宜采用。第10頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變量，在每個(gè)自然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的取值，其概率為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望計(jì)算出來(lái)，視其決策目標(biāo)的情況選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。2．期望值準(zhǔn)則第11頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例如，對(duì)例4.1.1按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益值，事實(shí)上顯然，E(A1)最大，所以采取行動(dòng)方案A1最佳，即選擇甲地舉辦展銷(xiāo)會(huì)效益最大。有些實(shí)際問(wèn)題中，為了獲得收益，還必須增加一定的投資，這時(shí)，需從投資和收益兩個(gè)方面綜合考慮選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。

第12頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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決策樹(shù)法就是把各種備選方案、可能出現(xiàn)的狀態(tài)和概率以及產(chǎn)生的后果用樹(shù)狀圖畫(huà)出來(lái)（形象地稱為決策樹(shù)或決策樹(shù)圖），然后根據(jù)期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策的一種方法。

3.決策樹(shù)法第13頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院1.畫(huà)一個(gè)方框□作為出發(fā)點(diǎn)，稱為決策點(diǎn)。從決策點(diǎn)畫(huà)出若干條直線或折線，每一條代表一個(gè)行動(dòng)方案，這樣的直(折)線，稱為方案分枝。分枝數(shù)表示可能的行動(dòng)方案數(shù)。步驟如下:2.在各方案分枝的末端畫(huà)一個(gè)圓圈○，稱為狀態(tài)節(jié)點(diǎn)或方案節(jié)點(diǎn)。從狀態(tài)節(jié)點(diǎn)引出若干條直線或折線，此分枝稱為概率分枝。每條線表示一種自然狀態(tài)，在線旁邊標(biāo)出相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。第14頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院3.在各概率分枝的末端畫(huà)一個(gè)三角△，稱為末稍節(jié)點(diǎn)。把各方案在各種狀態(tài)下的益損值標(biāo)記在末稍節(jié)點(diǎn)右邊4.在決策樹(shù)上由右向左計(jì)算各狀態(tài)點(diǎn)出的數(shù)學(xué)期望值，并將結(jié)果標(biāo)在狀態(tài)節(jié)點(diǎn)上。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且雙線“＋＋”劃去淘汰掉的方案分枝，選出收益期望值最大(或損失值最小)的方案作為最優(yōu)方案，將最優(yōu)方案的期望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。第15頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院下面采用決策樹(shù)法求解展銷(xiāo)會(huì)選址問(wèn)題

第16頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例4.4.1只包括一個(gè)決策點(diǎn)，稱為單級(jí)決策問(wèn)題。在有些實(shí)際問(wèn)題中將包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的決策點(diǎn)，稱為多級(jí)決策問(wèn)題，可利用同樣的思路進(jìn)行決策。例4.1.2某工程采用正常速度施工，若無(wú)壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度，有50%的可能遇到小風(fēng)暴，而使工期推遲15天；另有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：第17頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付18000元。2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對(duì)策：a）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過(guò)后）施工，支付工程延期損失費(fèi)20000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24000元；30%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18000元;有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用12000元。c）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期損失費(fèi)50000元;二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用54000元；有20%可能減小誤工期3天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用46000元；有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用38000元。試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。第18頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解

（1）據(jù)題意畫(huà)出決策樹(shù)第19頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（2）計(jì)算第一級(jí)節(jié)點(diǎn)E,F的損失費(fèi)用期望值將19800和50800標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)C,D外分別進(jìn)行方案比較：首先考察C點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較少，故它為最佳方案，同時(shí)劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標(biāo)明最佳方案期望損失費(fèi)用19800元；再考慮D外的情況，應(yīng)急措施比抽空施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分標(biāo)，在D上方標(biāo)上50000元。（3）計(jì)算第二級(jí)節(jié)點(diǎn)B的損失費(fèi)用期望值將其標(biāo)在B的上方，在第二級(jí)決策點(diǎn)A處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將14900標(biāo)在A點(diǎn)上方。第20頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.1.3不確定型決策1.樂(lè)觀準(zhǔn)則

樂(lè)觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持樂(lè)觀態(tài)度，事事都合人意，即選最大效益的最大值所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策，也稱為好中求好法。第21頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2．悲觀準(zhǔn)則

悲觀準(zhǔn)則的思想就是對(duì)客觀情況總是持悲觀態(tài)度，萬(wàn)事都不會(huì)如意，即總是把事情的結(jié)果估計(jì)的很不利，因此就在最壞的情況下找一個(gè)較好的行動(dòng)方案。也就是在每個(gè)狀態(tài)下的最小效益值中選最大值所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案作為決策，也稱為小中取大法。第22頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院3．等可能準(zhǔn)則（Laplace準(zhǔn)則）

等可能準(zhǔn)則的思想就是既然不能斷定哪種自然狀態(tài)出的可能性的大小，就認(rèn)為各自然狀態(tài)出現(xiàn)的可能性相同，即。然后按風(fēng)險(xiǎn)決策的方法進(jìn)行決策。第23頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例4.1.3某廠有一種新產(chǎn)品，其推銷(xiāo)策略有A1，A2，A3三種可供選擇，但各方案所需資金、時(shí)間都不同，加上市場(chǎng)情況的差別，因而獲利和虧損情況不同，而市場(chǎng)情況有三種：N1需求量大，N2需求量一般，N3需求量低。市場(chǎng)情況的概率并不知道，其效益值見(jiàn)表4.1.2。（1）用樂(lè)觀法進(jìn)行決策。（2）用悲觀法進(jìn)行決策。（3）用等可能法進(jìn)行決策。第24頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院市場(chǎng)情況銷(xiāo)售策略A1A2A3N1N2N35010-530250101010N

aA表4.1.2第25頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解

樂(lè)觀法：因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最大效益值為所以最大效益的最大值為

其最大值50對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案為A1，因此用樂(lè)觀法的決策結(jié)果是執(zhí)行策略A1。

第26頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解

悲觀法：因?yàn)槊總€(gè)行動(dòng)方案在各種狀態(tài)下的最大效益值為所以最大效益的最大值為

其最大值10對(duì)應(yīng)的行動(dòng)方案A3為。因此用悲觀法決策的結(jié)果是應(yīng)執(zhí)行策略A3。

第27頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解等可能法：取計(jì)算出各行動(dòng)方案的期望值為

顯然都達(dá)到最大值，這時(shí)究竟選那一個(gè)策略可由決策者的偏好決定，若是樂(lè)觀型的，可選A1，否則選A2。第28頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院從本例可以看出，對(duì)不確定型的決策問(wèn)題，采用不同的決策準(zhǔn)則所得到的結(jié)果并非完全一致。但難說(shuō)哪個(gè)準(zhǔn)則好，哪個(gè)準(zhǔn)則不好。究竟在實(shí)際問(wèn)題中采用哪個(gè)準(zhǔn)則，依決策者對(duì)各種自然狀態(tài)的看法而定。因此，為了改進(jìn)不確定型決策，人們總是設(shè)法得到各自然狀態(tài)發(fā)生的概率，然后進(jìn)行決策。

第29頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院?jiǎn)栴}報(bào)紙零售商售報(bào)：a(零售價(jià))

>b(購(gòu)進(jìn)價(jià))

>c(退回價(jià))售出一份賺a-b；退回一份賠b-c

每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多賣(mài)不完退回賠錢(qián)購(gòu)進(jìn)太少不夠銷(xiāo)售賺錢(qián)少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量等于每天收入的期望4.2報(bào)紙零售商最優(yōu)購(gòu)報(bào)問(wèn)題第30頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院建模設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率p(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c第31頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院求解將r視為連續(xù)變量第32頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院結(jié)果解釋取n使

a-b~售出一份賺的錢(qián)b-c~退回一份賠的錢(qián)0rfnf1f2第33頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢(qián)與賠錢(qián)之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。結(jié)論實(shí)例：如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量r服從正態(tài)分布N（100,102），則不難計(jì)算查表得到n=102時(shí)長(zhǎng)期平均收益最大。第34頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例4.2.1

某商店擬出售甲商品，已知每單位甲商品成本為50元，售價(jià)為70元，如果售不出去，每單位商品將損失10元。已知甲商品銷(xiāo)售量r服從參（即平均銷(xiāo)售量為6單位）的泊松分布，問(wèn)該商店訂購(gòu)量應(yīng)為多少單位時(shí)，才能使平均收益最大？第35頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解該商店每單位盈利為70-50＝20;

每單位損失為50-40＝10，即a=70，b=50，c=40,故今記，而，查泊松分布表得而F（6）的數(shù)值更接近于0.667，所以訂貨量應(yīng)為6個(gè)單位。第36頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院軋制鋼材兩道工序粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度粗軋鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定整根報(bào)廢隨機(jī)因素影響精軋問(wèn)題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景4.3經(jīng)濟(jì)軋鋼模型第37頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為l，粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為切掉多余部分的概率整根報(bào)廢的概率記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作x~N(

,2)存在最佳的

使總的浪費(fèi)最小0f(概率密度)xPP′P′P第38頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報(bào)廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)=+每次軋制鋼材的平均浪費(fèi)量每次軋制獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度其中表示的概率，第39頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院每次軋制（包括粗軋、精軋）的平均浪費(fèi)量與每次軋制獲得成品鋼的平均長(zhǎng)度之比最小為標(biāo)準(zhǔn)。目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求

使J1最?。ㄒ阎猯,）第40頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院求解由于l是常數(shù)，故等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)為記其中求z使J(z)最?。ㄒ阎┠繕?biāo)函數(shù)

第41頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院求解第42頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院計(jì)算實(shí)例：

=l/=25z*=-2.19*=（-z*）=5.438即將鋼材的均值調(diào)整到5.438m時(shí)浪費(fèi)最少設(shè)要軋制長(zhǎng)為l=5.0m的成品鋼材，由粗軋?jiān)O(shè)備等因素組成的方差精度=0.2m

，問(wèn)需要將鋼材長(zhǎng)度的均值調(diào)整到多少才使浪費(fèi)最少？首先做出及的圖形第43頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月某個(gè)農(nóng)戶辛勤勞動(dòng)積累了一萬(wàn)元，他決定將這一萬(wàn)元用來(lái)發(fā)展生產(chǎn)，他了解了三個(gè)發(fā)展方向：（1）將這一萬(wàn)元存入投資銀行，由投資銀行安排資金的利用，他可以獲得利息，年利率為10%；（2）辦養(yǎng)雞場(chǎng)。如果順利，他可以贏得5000元，如果不順利，他將損失1000元，他有80%的把握辦好養(yǎng)雞場(chǎng)；（3）養(yǎng)貂。如果順利，他可以贏得10000元，如果不順利，他將損失3000元。養(yǎng)貂順利的機(jī)會(huì)為60%。他猶豫不決，希望用決策分析的方法幫助他分析各種可能的結(jié)果。

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院習(xí)題：

第44頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院習(xí)題：

為了生產(chǎn)某種產(chǎn)品，設(shè)計(jì)了兩個(gè)基建方案一是建大廠，二是建小廠，大廠需要投資300萬(wàn)元，小廠需要投資160萬(wàn)元，兩者使用期都是10年。估計(jì)在此期間，產(chǎn)品銷(xiāo)路好的可能性是0.7，銷(xiāo)路差的可能性是0.3。若銷(xiāo)路好，建大廠每年收益100萬(wàn)元，建小廠每年收益40萬(wàn)元；若銷(xiāo)路差，建大廠每年損失20萬(wàn)元，建小廠每年收益10萬(wàn)元，試問(wèn)應(yīng)建大廠還是建小廠？進(jìn)一步，將投資分為前三年和后七年兩期考慮，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，前三年銷(xiāo)路好的概率為0.7，而如果前三年的銷(xiāo)路好，則后七年銷(xiāo)路好的概率為0.9，如果前三年的銷(xiāo)路差則后七年的銷(xiāo)路肯定差，在這種情況下，建大廠和建小廠哪個(gè)方案好？若先建設(shè)小廠，如銷(xiāo)路好，則三年以后考慮擴(kuò)建，擴(kuò)建投資需要140萬(wàn)元，擴(kuò)建后可使用七年，每年的益損值與大廠相同，這個(gè)方案與建大廠方案比較，優(yōu)劣如何？第45頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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在現(xiàn)實(shí)生活中，變量與變量之間經(jīng)常存在一定的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，可分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是確定性的關(guān)系，這種關(guān)系通常用函數(shù)來(lái)表示。另一類(lèi)是非確定性關(guān)系，變量之間的這種非確定性關(guān)系通常稱為相關(guān)關(guān)系。

回歸分析就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它就是通過(guò)大量的試驗(yàn)或觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究各個(gè)領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用?；貧w分析一般分為線性回歸分析與非線性回歸分析。本節(jié)著重介紹線性回歸分析，它是兩類(lèi)回歸分析中較為簡(jiǎn)單的一類(lèi)，也是應(yīng)用得較多的一類(lèi)。

4.4線性回歸模型第46頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.4.1數(shù)學(xué)模型例4.4.1（水泥凝固時(shí)放出熱量問(wèn)題）

某種水泥在凝固時(shí)放出的熱量y（卡/克）與水泥中下列4種化學(xué)成份有關(guān)。x1：3CaO·Al2O3的成份（%）x2：3CaO·SiO2的成份（%）x3：4CaO·Al2O3·Fe3O3的成份（%）x4：2CaO·SiO2的成份（%）現(xiàn)記錄了13組數(shù)據(jù)，列在表4.4.1中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試研究y與x1，x2，x3，x4四種成份的關(guān)系。

第47頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院表4.4.1

編號(hào)x1(%)x2(%)x3(%)x4(%)y(卡/克)172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4第48頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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為了研究方便，我們考慮一個(gè)變量受其它變量影響時(shí)，仍把這變量稱為因變量，記為Y，其它變量稱為自變量，記為X，這時(shí)相關(guān)關(guān)系可記作Y=f（x）+ε其中f（x）為當(dāng)X=x時(shí)，因變量Y的均值，即f（x）=E（Y|X=x）稱f（x）為Y對(duì)X的回歸函數(shù)，ε為Y與f（x）的偏差，它是一個(gè)隨機(jī)變量，并假定E（ε）=0。第49頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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回歸函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，即Y=f（x1，x2，…，xm）+ε其中f（x1，x2，…，xm）=E（Y|X1=x1，X2=x2，…Xm=xm）為m元回歸函數(shù)，統(tǒng)稱為多元回歸函數(shù)。

若回歸函數(shù)f（x1，x2，…，xm）中的m=1,且是一元線性函數(shù)，則稱為是一元線性回歸；m>1且是多元線性函數(shù)，則稱為是多元線性回歸；若回歸函數(shù)f（x1,x2，…，xm）是非線性函數(shù)，則稱為是非線性回歸。第50頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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例如，在水泥凝固時(shí)放出熱量問(wèn)題中，可建立線性回歸模型其中E（ε）=0，D（ε）=σ2，b0，b1，，b2，b3，b4和σ2是未知參數(shù)，為了估計(jì)這些參數(shù)，將表4.4.1的值代入模型第51頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院其中，x1，x2，…，xm是自變量，b0為常數(shù)，b1，b2，…，bm為回歸系數(shù)，b0，b1，b2，…，bm皆為未知，統(tǒng)稱b0，b1，b2，…，bm為回歸參數(shù)，一旦回歸參數(shù)確定，則多元線性回歸模型就完全確定，一般假定隨機(jī)誤差ε～N（0,σ2）得線性模型一般地，多元線性回歸模型可表示為第52頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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為了得到回歸參數(shù)的估計(jì)值，就要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)，假設(shè)對(duì)變量的n（n>m）次獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)為（yi，xi1，xi2，…，xim）,i=1～n,則這些觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)滿足上式，即有

第53頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院則多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型式可以寫(xiě)成矩陣形式

若記第54頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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為了獲得參數(shù)β的估計(jì)，我們采用最小二乘法，即選擇β，使

達(dá)到最小。將Q（β）對(duì)β求導(dǎo)數(shù)并令其為零，得

1．回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)4.4.2模型參數(shù)估計(jì)第55頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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此方程稱為正規(guī)方程，其中X為n×（m+1）階矩陣，一般假定rank（X）=m+1，由線性代數(shù)理論可知，L=XTX為滿秩矩陣，它的秩rank（L）=m+1，則正規(guī)方程有唯一解，記作

即

我們可以證明上式中的為參數(shù)向量β的最小二乘法估計(jì)量。

記，則第56頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院在實(shí)際工作中，常稱為經(jīng)驗(yàn)線性回歸方程。第57頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2．最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)

首先假定

（1）是β的線性無(wú)偏估計(jì)量（2）的協(xié)方差矩陣為（3）是β的最小方差線性無(wú)偏估計(jì)其中

第58頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.4.3多元線性回歸模型的檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)從上面的參數(shù)估計(jì)過(guò)程可以看出，對(duì)于一批觀察數(shù)據(jù)不論它們是否具有線性關(guān)系，總可以利用最小二乘法建立起多元線性回歸方程但是Y與x1，x2，…，xm

是否確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系呢？回歸方程的效果如何呢？這就要進(jìn)行“整個(gè)回歸效果是否顯著”的檢驗(yàn)。

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有關(guān)系，回歸模型沒(méi)有意義，于是我們要檢驗(yàn)是否成立。

第59頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院若H0成立，則x1，x2，…，xm對(duì)y沒(méi)有影響；反之，若H0不成立，則x1，x2，…，xm對(duì)y有影響，此時(shí)y與x1，x2，…，xm的線性關(guān)系顯著，也稱為整個(gè)回歸效果顯著。

但要注意，即使整個(gè)回歸效果是顯著的，y也可能只與某幾個(gè)xi關(guān)系密切（相應(yīng)的bi顯著不為零），而與另幾個(gè)xi關(guān)系不密切（相應(yīng)的bi為零）。這就是說(shuō)，多元線性回歸除了首先要檢驗(yàn)“整個(gè)回歸是否顯著”外，還要逐個(gè)檢驗(yàn)每一個(gè)bi是否為零，以便分辨出哪些xi對(duì)y并無(wú)顯著影響，最后，還要對(duì)各個(gè)bi作出區(qū)間估計(jì)。第60頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院1．回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（1）回歸顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）若H0為真（回歸平方和）（殘差平方和）其中（離差平方和）（復(fù)相關(guān)系數(shù)）故拒絕H0，否則就接受H0第61頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（2）單個(gè)回歸系數(shù)為零的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）若H0i為真其中（剩余標(biāo)準(zhǔn)差或估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差）為中第i個(gè)對(duì)角線元素。故拒絕H0i，否則就接受H0i第62頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2．回歸系數(shù)的置信區(qū)間對(duì)bi的區(qū)間估計(jì)由于因而bi的置信區(qū)間為

其中第63頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院3．預(yù)測(cè)a）點(diǎn)預(yù)測(cè)求出回歸方程對(duì)于給定自變量的值，用來(lái)預(yù)測(cè)稱為的點(diǎn)預(yù)測(cè)。第64頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院b）區(qū)間預(yù)測(cè)

y0的95%預(yù)測(cè)區(qū)間近似為

其中第65頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院1．多項(xiàng)式回歸分析模型4.4.4多元線性回歸分析模型的推廣

多項(xiàng)式回歸模型的一般形式為：令則模型就變成為多元線性回歸模型：第66頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院多項(xiàng)式回歸還有許多推廣的形式：

①②③④⑤

上述模型的共同特點(diǎn)是未知參數(shù)都是以線性形式出現(xiàn)，所以都可以采用恒等變換化為多元線性回歸模型。第67頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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廣義線性回歸模型的一般形式為：

其中：是一個(gè)不含未知數(shù)參數(shù)的一元函數(shù)，且有反函數(shù)：的不含未知參數(shù)的多元函數(shù)。2．廣義線性回歸模型第68頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院廣義線性回歸模型的回歸系數(shù)的確定：達(dá)到最小。此時(shí)也就是令即廣義線性回歸模型化為多元線性回歸模型。則用最小二乘法求出的估計(jì)使得第69頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.4.5建立線性回歸模型的步驟2.估計(jì)參數(shù)1.建立理論模型3.進(jìn)行檢驗(yàn)a）標(biāo)準(zhǔn)誤差b）判定系數(shù)R2c)復(fù)相關(guān)系數(shù)d）回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）e)總體回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）4．進(jìn)行預(yù)測(cè)第70頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.4.6Matlab和Mathematica求解

1）求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)、并檢驗(yàn)回歸模型：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)1．Matlab命令回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)殘差用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)R2、F值、與F對(duì)應(yīng)的概率p置信區(qū)間

顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）第71頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2）畫(huà)出殘差及其置信區(qū)間：rcoplot（r，rint）其中b，X，Y分別為：bXY第72頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2．Mathematica命令

在Mathematica中鍵入命令<<Statistics\LinearRegression.m按Shift+Enter鍵，即可調(diào)入線性回歸軟件包。輸入：第73頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院水泥凝固時(shí)放出熱量問(wèn)題在Matlab編輯器中輸入以下程序：3．實(shí)際問(wèn)題的求解>>x1=[7111117113122111110]';>>x2=[26295631525571315447406668]';>>x3=[615886917221842398]';>>x4=[6052204733226442226341212]';>>y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]';>>x=[ones(13,1)x1x2x3x4];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

;第74頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院disp('回歸系數(shù)估計(jì)值')bdisp('回歸系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間')bintdisp('殘差平方和')r'*rdisp('相關(guān)系數(shù)的平方')stats(1)disp('F統(tǒng)計(jì)量')stats(2)disp('與統(tǒng)計(jì)量F對(duì)應(yīng)的概率p')stas(3)執(zhí)行后輸出回歸系數(shù)估計(jì)值b=62.40541.55110.51020.1019-0.1441回歸系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間bint=-99.1786223.9893-0.16633.2685-1.15892.1792-1.63851.8423-1.77911.4910殘差平方和ans=47.8636相關(guān)系數(shù)的平方ans=0.9824F統(tǒng)計(jì)量ans=111.4792第75頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院從計(jì)算結(jié)果可知，回歸方程查表得：易見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)一步可得所以回歸效果是高度顯著的。第76頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例4.4.2據(jù)觀察，個(gè)子高的人一般腿都長(zhǎng)，今從16名成年女子測(cè)得數(shù)據(jù)如下表4.4.2，希望從中得到身高與腿長(zhǎng)之間的回歸關(guān)系。如果某位女子測(cè)得身高為167cm，請(qǐng)估計(jì)其腿長(zhǎng)為多少？

表4.4.2第77頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解

（1）由表4.4.2給出的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖：>>x=[143145146147149150153154155156157158159160162164];>>y=[8885889192939395969897969899100102];>>plot(x,y,'*')圖4.4.1散點(diǎn)圖由圖4.4.1可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，這說(shuō)明變量與之間的關(guān)系大致可以看做是直線關(guān)系。第78頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（2）輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析及檢驗(yàn)：>>x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';>>X=[ones(16,1)x];>>Y=[8885889192939395969897969899100102]';>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05)

;>>b,bint,stats輸出結(jié)果：b=-16.07300.7194bint=-33.70711.56120.60470.8340stats=0.9282180.95310.00001.7437即；；的置信區(qū)間為[-33.7071，1.5612]，的置信區(qū)間為[0.6047，0.8340]；第79頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院可知回歸方程成立。（3）殘差分析，作殘差圖：

>>rcoplot(r,rint)從殘差圖可以看出，除第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差區(qū)間均包含零點(diǎn)，說(shuō)明回歸方程能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個(gè)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn)。第80頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（4）預(yù)測(cè)及作圖

>>z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'*',x,z,'r')得各數(shù)據(jù)點(diǎn)及回歸方程的圖形如圖4.4.3?？梢钥闯觯挥械诙€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)離回歸直線距離較遠(yuǎn)。圖4.4.3第81頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院當(dāng)身高為167cm>>x=167;>>z=b(1)+b(2)*xz=104.0588可以預(yù)測(cè)腿長(zhǎng)為104.0588cm第82頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.4.7“最優(yōu)”回歸的選擇所謂“最優(yōu)”回歸方程有兩方面的含義：一方面回歸方程中要將有顯著作用的自變量毫無(wú)遺漏的包含進(jìn)來(lái)；另一方面希望自變量的個(gè)數(shù)盡可能的少。一般選擇“最優(yōu)”回歸有如下幾種不同的方法。（2）“只出不進(jìn)”法（3）“只進(jìn)不出”法（4）“有進(jìn)有出”法——逐步回歸法（1）全部比較法第83頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院日常生活中經(jīng)常遇到排隊(duì)等候服務(wù)的現(xiàn)象，顧客到達(dá)的時(shí)間和服務(wù)員進(jìn)行服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的。例如超級(jí)市場(chǎng)一般都是有顧客挑選商品，然后攜帶著采購(gòu)的商品在收款臺(tái)前排隊(duì)結(jié)算。我們經(jīng)常看到開(kāi)始排隊(duì)的人數(shù)不多只需要一兩個(gè)收款臺(tái)工作，但隨著顧客的增多，排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)延長(zhǎng)，為了使排隊(duì)的人數(shù)（等待時(shí)間）基本保持在某一水平，市場(chǎng)就會(huì)增開(kāi)收款臺(tái)。否則等待的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)就會(huì)影響顧客的數(shù)量，從而影響市場(chǎng)的收益，當(dāng)然增開(kāi)收款臺(tái)也是要增加成本的。

我們知道，排隊(duì)的長(zhǎng)度（或等待時(shí)間）不僅與顧客的人數(shù)有關(guān)，也與收款臺(tái)的數(shù)目及收款的速度有關(guān)。那么，它們之間究竟呈怎樣的關(guān)系呢？收款臺(tái)的數(shù)目設(shè)置多少最好呢？

4.5排隊(duì)論模型第84頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.5.1排隊(duì)論的基本概念

排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，在排隊(duì)論中，判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)通常有：（1）排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)——排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記為L(zhǎng)，相應(yīng)的排隊(duì)系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為L(zhǎng)q（2）等待時(shí)間——指一顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中等待服務(wù)的時(shí)間，其期望值記為Wq，逗留時(shí)間是指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中停留的時(shí)間，即從進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)到服務(wù)完畢的整個(gè)時(shí)間。其期望值記為W第85頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（3）忙期——從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑止這段時(shí)間長(zhǎng)度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)工作的時(shí)間長(zhǎng)度。另外還有，服務(wù)設(shè)備利用率，顧客損失率等一些指標(biāo)。排隊(duì)論中的排隊(duì)系統(tǒng)有下列三部分組成：a）輸入過(guò)程，即顧客來(lái)到服務(wù)臺(tái)的概率分布。

b）排隊(duì)規(guī)則，即顧客排隊(duì)和等待的規(guī)則，排隊(duì)規(guī)則一般有即時(shí)制和等待制兩種。c）服務(wù)機(jī)構(gòu)，其主要特征為服務(wù)臺(tái)的數(shù)目，服務(wù)時(shí)間的分布。第86頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.5.2單通道等待制排隊(duì)問(wèn)題對(duì)于單通道等待制排隊(duì)問(wèn)題主要討論輸入過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，單服務(wù)臺(tái)的情形。1．模型假設(shè)（1）

顧客源無(wú)限，顧客單個(gè)到來(lái)且相互獨(dú)立，顧客流平穩(wěn)，不考慮出現(xiàn)高峰期和空閑期的可能性。（2）排隊(duì)方式為單一隊(duì)列的等待制，先到先服務(wù)。隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制。（3）顧客流滿足參數(shù)為的泊松分布，其中是單位時(shí)間到達(dá)顧客的平均數(shù)。第87頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（4）各顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其中表示單位時(shí)間內(nèi)能服務(wù)完的顧客的平均數(shù)。（5）顧客到達(dá)的時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。滿足以上條件的模型在排隊(duì)論中記為模型，其中s為服務(wù)員的數(shù)量。s=1就為單服務(wù)臺(tái)的情形。第88頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2．模型的分析與建立——時(shí)刻t時(shí)排隊(duì)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率在時(shí)間間隔內(nèi)：有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為有一個(gè)顧客離開(kāi)的概率為多于一個(gè)顧客達(dá)到或離開(kāi)的概率為，可忽略。第89頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院在時(shí)間間隔內(nèi)有n個(gè)顧客的狀態(tài)可由下列四個(gè)互不相容的事件組成：（1）t時(shí)刻有n個(gè)顧客，在內(nèi)沒(méi)有顧客到來(lái)，也沒(méi)有顧客離開(kāi)，則概率為（2）t時(shí)刻有n個(gè)顧客，在內(nèi)有一個(gè)顧客到來(lái)，同時(shí)也有一個(gè)顧客離開(kāi)，則概率為第90頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院（3）t時(shí)刻有n-1個(gè)顧客，在內(nèi)有一個(gè)顧客到來(lái)，沒(méi)有顧客離開(kāi)，則概率為（4）t時(shí)刻有n+1個(gè)顧客，在內(nèi)沒(méi)有顧客到來(lái)，有一個(gè)顧客離開(kāi)，則概率為第91頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院因此，在時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客得概率為滿足：令第92頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院考慮特殊情形：當(dāng)n=0時(shí)，即在時(shí)刻時(shí)系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客的狀態(tài)，同理，它由以下三個(gè)互不相容的事件組成：（1）t時(shí)刻沒(méi)有顧客，在內(nèi)沒(méi)有顧客來(lái)，則概率為（2）t時(shí)刻沒(méi)有顧客，在內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)，接受完服務(wù)后又離開(kāi)，則概率為（3）t時(shí)刻有一個(gè)顧客，在內(nèi)該顧客離開(kāi)，沒(méi)有顧客來(lái)，則概率為第93頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院令得到系統(tǒng)狀態(tài)應(yīng)服從的模型：第94頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院3．模型求解當(dāng)時(shí)，隊(duì)長(zhǎng)有穩(wěn)定的分布，即pn(t)與t無(wú)關(guān)，此時(shí)上述方程和初始條件可化為由此可解差分方程得第95頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院由概率性質(zhì)知，將上式代入時(shí)可得令，這時(shí)就表示相同時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)與能被服務(wù)的平均數(shù)之比，它是刻畫(huà)服務(wù)效率和服務(wù)機(jī)構(gòu)利用程度的重要標(biāo)志，稱為服務(wù)強(qiáng)度。第96頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院下面我們就可以計(jì)算出系統(tǒng)的一些重要運(yùn)行指標(biāo)

（1）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)）L：（2）排隊(duì)等待服務(wù)的顧客平均數(shù)Lq:（3）系統(tǒng)中顧客平均排隊(duì)等待的時(shí)間Wq:（4）顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間W:第97頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.5.3關(guān)于增加服務(wù)員問(wèn)題首先討論兩個(gè)服務(wù)員且他們的服務(wù)效率相同的情形:服務(wù)強(qiáng)度為:平均隊(duì)長(zhǎng):若顧客只排成一隊(duì)，最前面的顧客到空閑的服務(wù)員處接受服務(wù),即模型。整個(gè)服務(wù)過(guò)程的平均服務(wù)率為平均逗留時(shí)間:第98頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院最后給出模型:平均隊(duì)長(zhǎng):服務(wù)強(qiáng)度為:其中p0為所有服務(wù)員空閑的概率平均逗留時(shí)間:第99頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院例4.5.1（病人候診問(wèn)題）某單位醫(yī)院的一個(gè)科室有一位醫(yī)生值班，經(jīng)長(zhǎng)期觀察，每小時(shí)平均有4個(gè)病人，醫(yī)生每小時(shí)平均可診5個(gè)病人，病人的到來(lái)服從泊松分布，醫(yī)生的診病時(shí)間服從指數(shù)分布。試分析該科室的工作狀況。即求該科室內(nèi)排隊(duì)候診病人的期望，病人看一次病平均所需的時(shí)間，醫(yī)生空閑的概率等等第100頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院解由題意從而排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率為該科室平均有病人數(shù)為：該科室內(nèi)排隊(duì)候診病人的平均數(shù)為：第101頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院看一次病平均所需時(shí)間為：排隊(duì)等待看病的平均時(shí)間為：診所的醫(yī)生空閑的概率，即診所中沒(méi)有病人的概率為：第102頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院設(shè)科室應(yīng)設(shè)置m個(gè)座位，m應(yīng)滿足：所以該科室至少應(yīng)設(shè)20個(gè)座位。P（醫(yī)務(wù)室病人數(shù)）如果滿足99%以上的病人有座，此科室至少應(yīng)設(shè)多少個(gè)座位？第103頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院如果該單位每天24小時(shí)上班，病人看病1小時(shí)因耽誤工作單位要損失30元，這樣工作單位平均每天損失多少元？每天平均有病人數(shù)人病人看病所花去的總時(shí)間為小時(shí)因看病平均每天損失元第104頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院如果該科室提高看病速度，每小時(shí)平均可診6個(gè)病人，單位每天可減少損失多少？可減少多少個(gè)座位？為保證99%以上的病人有座，應(yīng)設(shè)座位數(shù)比原來(lái)減少了9個(gè)。這樣單位每天的損失費(fèi)為元單位每天平均可減少損失元第105頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.6建模舉例

4.6.1機(jī)票預(yù)售問(wèn)題在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，航空公司為爭(zhēng)取理多的客源而開(kāi)展的一個(gè)優(yōu)質(zhì)服務(wù)項(xiàng)目是預(yù)訂票業(yè)務(wù)。公司承諾，預(yù)先訂購(gòu)機(jī)標(biāo)的乘客如果未能按時(shí)前來(lái)登機(jī)，可以乘坐下一班機(jī)或退票，無(wú)需附加任何費(fèi)用。當(dāng)然也可以訂標(biāo)時(shí)只訂座，登機(jī)時(shí)才付款，這兩種辦法對(duì)于下面的計(jì)論是等價(jià)的。第106頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院設(shè)某種型號(hào)的飛機(jī)容量為n，若公司限制預(yù)定n張機(jī)票，那么由于總會(huì)有一些訂了機(jī)票的乘客不按時(shí)來(lái)登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員飛行而利潤(rùn)降低，甚至虧本，如果不限制訂票數(shù)量呢，那么當(dāng)持票按時(shí)前來(lái)登機(jī)的乘客超過(guò)飛機(jī)容量時(shí)，必然會(huì)引起那些不能登機(jī)飛走的乘客（以下稱被擠掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以補(bǔ)救，也會(huì)導(dǎo)致受損和一定的經(jīng)濟(jì)損失，如客員減少，擠掉以后班機(jī)的乘客，公司無(wú)償供應(yīng)食宿，付給一定的賠償金等。這樣，綜合考慮公司的經(jīng)濟(jì)利益，必然存在一個(gè)恰當(dāng)?shù)挠喥睌?shù)量和限額。

第107頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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假設(shè)飛機(jī)容量為300，乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)而未乘上飛機(jī)的賠償費(fèi)是機(jī)票價(jià)格的10%，飛行費(fèi)用與飛機(jī)容量、機(jī)票價(jià)格成正比（由統(tǒng)計(jì)資料知，比例系數(shù)為0.6，乘客不按時(shí)前來(lái)登機(jī)的概率為0.03），請(qǐng)你1）建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，給出衡量公司經(jīng)濟(jì)利益和社會(huì)聲譽(yù)的指標(biāo)，對(duì)上述預(yù)定票業(yè)務(wù)確定最佳的預(yù)定票數(shù)量。2）考慮不同客源的不同需要，如商人喜歡上述這種無(wú)約束的預(yù)定票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受較高的票價(jià)，而按時(shí)上下班的雇員或游客，會(huì)愿意以若不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)則機(jī)票失效為代價(jià)，換取較低額的票價(jià)。公司為降低風(fēng)險(xiǎn)，可以把后者作為基本客源。根據(jù)這種實(shí)際情況，制定更好的預(yù)訂票策略。

第108頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.6.2模型的假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明1.模型的假設(shè)

①假設(shè)預(yù)訂票的乘客是否按時(shí)前來(lái)登機(jī)是隨機(jī)的。②假設(shè)已預(yù)訂票的乘客不能前來(lái)登機(jī)的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。③假設(shè)飛機(jī)的飛行費(fèi)用與乘客的多少無(wú)關(guān)。第109頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院2.符號(hào)說(shuō)明n：飛機(jī)的座位數(shù)，即飛機(jī)的容量；g：機(jī)票的價(jià)格；f：飛行的費(fèi)用；b：乘客準(zhǔn)時(shí)到達(dá)機(jī)場(chǎng)而未乘上飛機(jī)的賠償費(fèi)；m：售出的機(jī)票數(shù)；k：已預(yù)訂票的乘客不能前來(lái)登機(jī)的乘客數(shù)，即遲到的乘客數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量；pk：已預(yù)訂票的m個(gè)乘客中有k個(gè)乘客不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)的概率；p：每位乘客遲到的概率；Pj（m）：已預(yù)訂票前來(lái)登機(jī)的乘客中至少擠掉j人的概率，即社會(huì)聲譽(yù)指標(biāo)；S：公司的利潤(rùn)；ES：公司的平均利潤(rùn)。

第110頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院4.6.3問(wèn)題的分析及數(shù)學(xué)模型1問(wèn)題的分析賠償費(fèi)：b=0.1g，飛行費(fèi)用：f=0.6ng，每位乘客遲到的概率：p=0.03，已預(yù)訂票的m個(gè)乘客中，恰有k個(gè)乘客不能按時(shí)前來(lái)登機(jī)，即遲到的乘客數(shù)k服從二項(xiàng)分布B（m，p），此時(shí)，第111頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院當(dāng)m-k≤n時(shí)，說(shuō)明m-k個(gè)乘客全部登機(jī)，此時(shí)利潤(rùn)

S=（m-k）g–f當(dāng)m-k>n

時(shí)，說(shuō)明有n個(gè)乘客登機(jī)，有m-k-n個(gè)乘客沒(méi)有登上飛機(jī)，即被擠掉了，此時(shí)利潤(rùn)

S=ng–f-(m–k-n)b

根據(jù)以上的分析，利潤(rùn)S可表示為：第112頁(yè)，課件共121頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

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數(shù)學(xué)建模理學(xué)院遲到的乘客數(shù)k=0,1,2,…,m-n-1時(shí)，說(shuō)明有m-k-n個(gè)乘客被擠掉了；

遲到的乘客數(shù)k=m-n，m-n+1，…，