2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：好題專項(導(dǎo)數(shù))練習(xí)(附答案)

2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：精選好題專項（導(dǎo)數(shù)）練習(xí)

題組一、利川導(dǎo)數(shù)研究切線問題

1-1、（江蘇如皋中學(xué)2022~2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）己知函數(shù)〃0=z'/N+Sz/:

（1）求曲線〃x）在點（2,7（2））處的切線方程：

（2）求經(jīng)過點幺（2,-2）的曲線“X）的切線方程。

1-2、（2022~2023學(xué)年常州市八校第一學(xué)期10月階段考試高三數(shù)學(xué)）

己知函數(shù)/（x）=（l-x）e”.

（1）求曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；

（2）過點4（。,0）作曲線y=（l-x）e'的切線，若切線有且僅有1條，求實數(shù)。的值.

題組二、利用導(dǎo)數(shù)解證不等式

2-1、（江蘇淮安市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試試題）

已知函數(shù)/（x）=xer（xeR）.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；

（2）若看?！?，且/（王）=/（》2），證明：％+》2>2.

2-2、（南京師大附中2022—2023學(xué)年度高三第一學(xué)期10月檢測）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/(x)=aev-ln(x+1)-Ina.

(1)當(dāng)a=l時，討論/(x)的單調(diào)性：

(2)證明：/(x)有唯一極值點f,且/(x)>1.

2-3、(鹽城一中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級學(xué)情調(diào)研(二))已知函數(shù)/'(x)=ex(lnx+a).

(1)若/(x)是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(x)有兩個極值點X”X2,證明：Xi+X2>2.

2-4、(江蘇如皋中學(xué)2022—2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)

1.

已知函數(shù)/(X)x——sinx-—Inx+1.

22

⑴當(dāng)〃?=2時，試判斷函數(shù)/(x)在(E+<?)上的單調(diào)性;

Xx2

(2)存在%,工2e(0,+8),再#%2,/(1)=/(2),求證：X,x2<m.

2-5、(南京六校聯(lián)合體2023屆高三8月聯(lián)合調(diào)研)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=x2+(3-a)x+2(l-a)(ae7?).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若不等式〃x)Wg(x)在xe(-2,x)上恒成立，求。的取值范圍；

⑶證明不等式：(1+()11+()]+好)…[1+/)<祓(〃eN*).

2-6、(2022~2023學(xué)年第一學(xué)期蘇州市高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué))

.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-(lna>x(實數(shù)a〉0).

(1)若實數(shù)awN*，當(dāng)xe(0,+8)時，/(x)<0恒成立，求實數(shù)。的最小值;

(2)證明：(1+-)"<3.

n

題組三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點、極值點問題

3-1、(南京市八校高三年級第一次校際聯(lián)考)(12分)

已知函數(shù)f(x)=me2'+(m-2)ex-x.

(1)當(dāng)〃?=0時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

(3)若/(x)有兩個零點，求機的取值范圍.

3-2.(江蘇省高郵市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研)(12分)已知函數(shù)

/,(X)=2cosx+xsinx+ox.

(1)若曲線N=/(x)在點(0,/(0))處的切線與x軸平行.

①求實數(shù)。的值：

②證明：函數(shù)/(x)在內(nèi)只有唯一極值點；

(2)當(dāng)。時，證明：對于區(qū)間(兀,3?！硟?nèi)的一切實數(shù)，都有/(x)<o.

兀V2;

3-3、(江蘇省揚州市寶應(yīng)縣2023屆高三上學(xué)期期初檢測)

(本小題滿分12分)

3

已知函數(shù)/(力=/-](&+1)、2+3履+1,其中keR.

(1)當(dāng)1=3時,求函數(shù)在(0,3)內(nèi)的極值點;

(2)若函數(shù)/(X)在口,2]上的最小值為3,求實數(shù)大的取值范圍.

3-4、(江蘇省揚州市寶應(yīng)縣2023屆高三上學(xué)期期初檢測)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=e'(x+a),其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，aeR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=/(x-a)-x2,討論函數(shù)g(x)零點的個數(shù)，并說明理由.

題組四、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立與探索性問題

zIn(x+l)

4-1.(江蘇省海安高級中學(xué)2023屆高三期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)6'

⑴求證：函數(shù)/(X)存在唯一的極大值點；

(2)若(keR)恒成立，求上的值.

4-2、(湖南師大附中2023屆高三年級開學(xué)初試卷)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=二一?

X

(1)判斷函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,3萬)上極值點的個數(shù)并證明；

⑵函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上的極值點從小到大分別為玉,々，X3,…,z,…，設(shè)%=/(X,,).:.為數(shù)

列｛a,,｝的前〃項和.

①證明：a｛+a2<0；

②問是否存在〃eN*使得S.20?若存在，求出〃的取值范圍；若不存在，請說明理由.

4-3、(山東省"學(xué)情空間"區(qū)域教研共同體2023屆高三入學(xué)檢測)

已知函數(shù)/(x)=In(x-l)-機x(加eR),g(x)=2x+〃一2.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)-14w?e-2時，若不等式/(x)4g(x)恒成立，求J的最小值.

加+2

4-4、(湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考)(12分)

已知函數(shù)/(x)=e*-ar-cosx.

(1)若a=2,求函數(shù)/(x)的零點個數(shù)：

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+ln(x+l),是否存在a,使得g(x)在x=0處取得極小值？說明理由.

4-5、(南京市2023屆高三年級學(xué)情調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=e"-x(aGR)

(1)若a〉0,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若任意xNO,/(x)>l+^ax2,求a的取值范圍.

參考答案

題組一、利川導(dǎo)數(shù)研究切線問題

1-1、(江蘇如皋中學(xué)2022~2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)己知函數(shù)〃0=z'/N+Sz/:

(1)求曲線〃x)在點(2,7(2))處的切線方程：

(2)求經(jīng)過點N(2,-2)的曲線“X)的切線方程。

解:(1)-.-/(X)=3X2-8X+5,

.?.r(2)=i,

又???/(2)=-2,

/.曲線/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為y-(-2)=x—2,即x-y—4=0.

(2)設(shè)切點坐標為(x0,x：-4xj+5x0-4),

f'(x0)=3xg-8x0+5,

切線方程為y-(-2)=(3x8x0+5)(x-2).

又???切線過點(%,xl-4x：+5勺-4),

xQ—4xQ+5XQ—2=(3xQ—8XQ+5Xx0-2).

2

整理得(XO-2)(XO-1)=O,解得x°=2或x0=1.

當(dāng)x0=2時，f\x0)=1,此時所求切線方程為》一歹一4=0；

當(dāng)x°=l時，/'(%)=0,此時所求切線方程為y+2=0.

故經(jīng)過點幺(2,-2)的曲線/(x)的切線方程為x-y_4=0或y+2=0.

1-2、(2022~2023學(xué)年常州市八校第一學(xué)期10月階段考試高三數(shù)學(xué))

己知函數(shù)/(x)=(l-x)e，v.

(1)求曲線》=/(x)在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；

(2)過點么(。,0)作曲線y=(l-x)e'的切線，若切線有且僅有1條，求實數(shù)。的值.

【答案解析】

【要點分析】(1)對/(X)求導(dǎo)，代入X=1分別得到縱坐標及斜率，最后求出直線，得到圍成的三角形面

積；

(2)設(shè)出切點坐標，得到切線斜率，寫出切線方程y—(1—x0)e&=-飛力(》-/)，

代入A點坐標，化簡得到x；-(a+l)x0+l=O,利用△=()得到答案.

【小問1詳解】

//(x)=(l-x)ex-ex=-xe\令x=l,r(l)=-e,/(1)=0,

故曲線歹=/(x)在點處的切線方程為歹=-e(x-l),分別令x=0,^=0,

1P

則丁=6,x=\,則與兩坐標軸交點為(1,0),(0,e),三角形面積為萬-1王=5.

【小問2詳解】

設(shè)切點為—x0)e』)，由已知得_/=一》3,則切線斜率左=一玉^。，

切線方程為y_(l_x())e%=_46%(工-/)

直線過點/(a,0),則一(1-Xo)e*=-Xoe"(a-Xo),化簡得片一(“+1)/+1=0

切線有且僅有1條，即△=(a+l)2—4=0,化簡得/+2a—3=0，

即(。+3)("1)=。，解得a=-3或］.

題組二、利用導(dǎo)數(shù)解證不等式

2-1、(江蘇淮安市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試試題)

已知函數(shù)〃力=泄-*(xeR).

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(2)若玉工工2，且/(須)=/(%2)，證明：Xt+X2>2.

【答案解析】

【要點分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最值，

(2)令尸(x)=/(l+x)—/(l—x)=(l+x)-e-(i)—(l—x>ei,利用導(dǎo)數(shù)可求得尸(x)>/(0)=0,

即/(I+X)〉/'(I—X),設(shè)％<1<芻，則/(xj=/(z)=/[1+(X2-1)]>/[1-(X2-1)]=/(2-X2),

再利用函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)論

【小問1詳解】

//(x)=(l-x)e-x,令/<x)=0,解得x=1,

當(dāng)X變化時，/'(X),/(X)的變化情況如下表所示：

(-00,1)

X1(1,+00)

/'(X)+0—

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-*1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8).

函數(shù)/(X)在X=1處取得最大值/(1)=|,無最小值.

【小問2詳解】

令F(x)=/(l+x)-/(l-x)=(l+x)-e(l+v)-(l-x)-eA-',則F(x)=x[e'T―小""],

當(dāng)x〉0時，F(xiàn)'(x)>0,所以尸(x)在(0,+」)上單調(diào)遞增,又尸(0)=0,

所以尸(x)>b(O)=O,即/(l+x)〉/(l—x).

因為須工乙，不妨設(shè)再<1<工2，

所以/&)=/(々)=/[1+(々-1)]>/口—(々―1)]=/(2—&).

因為工2〉1，所以2-％2<1.

又由(1)可知函數(shù)/(X)在區(qū)間(一8,1)內(nèi)是增函數(shù)，

所以項〉2一刀2,即玉+馬〉2

2-2、(南京師大附中2022-2023學(xué)年度高三第一學(xué)期10月檢測)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=aex-ln(x+1)-Ina.

(1)當(dāng)〃=1時，討論/(x)的單調(diào)性：

(2)證明：/(x)有唯一極值點3且/(x)>1.

.【答案解析】)當(dāng)L=1時,f(x)=ex-\n(x+l),所以/'&)="——,x>-l.

x+1

顯然/*)在(-1,+0。)上單調(diào)遞增，又/'(0)=0,

所以一l<x<0時，f\x)<0；x>0時，f\x)>0,

因此/(x)在(—1,0)上單調(diào)遞減；在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)依題意，4>0,/(乃的定義域為(—1,物).

f'(x)=aex------=--—+令g(x)=aex(x+Y)-\,a>0,x>-1,

x+lx+lL」

顯然g(x)在[一1,物)上單調(diào)遞增，又g(—l)<0,g[1)〉0,

所以存在fe(-1,'),使得g(/)=0,且一l<x</時，g(x)<0；時，g(x)>0,

因為—j_>0,所以—l<x</時，/(x)<0；x>f時，/，(x)>0,

即/*)在(-1")上單調(diào)遞減；在。,+00)上單調(diào)遞增，

因此/(X)有唯一極小值點八

由g(f)=0得etc'-....,所以Ina+/=—ln(z+1).

z+1

1產(chǎn)

因為/'(Z)-\-ae'-ln(Z+1)-Ina-1=----\-t-1=--->0,

t+\Z+l

當(dāng)且僅當(dāng)，=0時等號成立，故/")有唯一極值點f,且

2-3、(鹽城一中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級學(xué)情調(diào)研(二))已知函數(shù)/'(x)=ev(lar+a).

(1)若/(x)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個極值點X”由，證明：XI+X2>2.

【答案解析】

【要點分析】(1)求導(dǎo)，由八x)是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)K)對任意x>0恒成立，即Inx+'+a^O恒成立,

X

構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得單調(diào)性，求出最小值，得到Q的取值范圍.

(2)設(shè)出兩個極值點，即兩個極值點是g(x)=lnx+L+a的兩個零點，要證明修+取>2,只需證工2>2-閃,

X

只需證g(X2)-g(2-xi)=g(xi)-g(2-xi)>0,設(shè)〃(x)=lnx+--ln(2-x)+—-—，xG(0,1],

xx—2

求導(dǎo)，證力(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，從而得到g(X)在(1,+00)上單調(diào)遞增，所以X2>2-R成立,

即XI+X2>2成立.

【小問1詳解】

函數(shù)的定義域為(O，+8),/'(x)=e、(hir+：+a),

若-x)是增函數(shù)，即/(x)K)對任意x>0恒成立，故Inx+'+aNO恒成立，

X

設(shè)g(X)=lnx+L+q,則g[x)=!--y=

所以當(dāng)OVxVl時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時，g(x)min=g(1)=。+1，由a+lK)得介-1,

所以。的取值范圍是[-1,+00).

【小問2詳解】

不妨設(shè)0V%]<X2，因為的，X2是/(X)的兩個極值點，

/、(1、11

所以/'(xj=e‘ln%14----FQ=0,即In%]H----FQ=O,同理----Fa=O,

<X\)X\X2

故xi,M是函數(shù)g(x)=Inx+'+Q的兩個零點，即g(/)=g(X2)=0,

X

由(1)知，g(x)min=g(1)=a+lvo,故應(yīng)有a￡(-00,-1),且OVxiVIV42,

要證明Xl+X2>2,只需證X2>2-XI，

只需證g(x2)-g(2-Xi)=g(X1)-g(2-Xi)

ln(2-xj+^^

=lnx,+—+a-+Q=lnX|+---Inf2-)H------>0,

x}—2

設(shè)/z(x)=Inxd---ln(2-x)+---XG(O,1),

x

則"廿-W1x-1x-14(1)2

------------------------------------<A0

(x-2)2x2(x-2)2X2(X-2)2-

所以〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，因為乃右(0,1),所以〃(xi)>h(1)=0,

即g(工2)-g(2-X1)>0,g(X2)>g(2-X\),

又X2>1，2-X1>1,及g(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以X2>2-X］成立，即陽+才2>2成立

2-4.(江蘇如皋中學(xué)2022~2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)

jm

已知函數(shù)/(x)=x-ysinx--Inx+1.

⑴當(dāng)加=2時，試判斷函數(shù)/(x)在(肛”)上的單調(diào)性；

Xx2

(2)存在再戶2￡(°，+8),.w《2，/(1)=/(2)，求證:Xxx2<m.

解：(1)當(dāng)機=2時，f(x)=x-ysinx-Inx+1,

則/'(x)=1--COSX--,

2x

當(dāng)XG(X,+8)時，/f(x)=l--cos=

2x2乃2乃

所以，當(dāng)加=2時，函數(shù)在(匹+如上單調(diào)遞增.

(2)證明：不妨設(shè)0</〈/，由/(芯)=/(工2)得，

1.m.1I.m..

Xj—5sinXj——In+1=——sinx2—~Inx?+1,

y(lnx2-InXi)=勺2-皿一；(sinx2-sing),

設(shè)g(x)=x-sinx,則g'(x)=l-cosx..O,故g(x)在(0,+oo)上為增函數(shù),

/.x2-sinx2>x}-sinx1,從而x2-xx>sinx2-sinxy,

y(lnx2-Ing)=X2-Xi-；(sinx2-sinx{)>^(rr2-的),

x^-x.

：.m>---￡----——

Inx2-Inxl

要證：項々v毋只要證m>J/4，

下面證明：I—>J高，即證3—>

-『x

Inx2-In占Ii

演

令，二上，則，>l,即證明--->y/t,只要證明：lnf-」=ivO,

占Intyjt

設(shè)咐)=Inr-寧，h，⑴=(>])<0，則h(t)在(1,+s)單調(diào)遞減,

當(dāng),>1時，W)<〃(1)=0,從而也"訪Z—1<0得證，即—x,“j------

m><m~.

2-5、(南京六校聯(lián)合體2023屆高三8月聯(lián)合調(diào)研)(本小題滿分12分)

己知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+2),g(x)=f+(3-a)x+2(l-a)(ae7?).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若不等式/(x)Vg(x)在^(-2,m)上恒成立，求。的取值范圍；

(3)證明不等式：+不)(1+不)…(1+不)<e?(〃GN*).

⑴解：??,/(x)=(x+2)ln(x+2)(x>-2),/(x)=ln(x+2)+l,

由/(x)>0可得xed-2,+<?)，此時/(x)是增函數(shù)，

e

由/(x)v0可得xw(-8,1-2),此時/(%)是減函數(shù)，............2分

e

所以當(dāng)x=1-2時/(x)有極小值，極小值為—無極大值............3分

ee

⑵解：由不等式/(x)<g(x)在xe(-2,4w)上恒成立得

(x+2)lii(x+2)<x2+(3-a)x+2(l-a)

BP(x+2)ln(x+2)<(x+2)(x+l-a),因為tw(-2,+oo),所以

a<x\l111(A-I2)tExc(2,l8)上恒成立............5分

1

設(shè)A(x)=x+1-ln(x+2),xe(-2,-KO),由/?'(x)=-----=0得x=-1,

x+2

所以4(x)在(-2,-1)上遞減，在(-1,+8)上遞增，

所以“(X)而n="(-1)=°即。40，

所以加勺取值范圍為(-00,0]......................7分

(3)證明:由(2)得x+l>ln(x+2)在(-L+8)上恒成立,

令x=&l，則有+,......................8分

所以ln(l+j+ln(l+：)+…+ln[l+\j<+…+，=；(『，)

即1nm(1+/卜(1+V1])...........1。分

因為〃eN",所以(蕓(1』)<；即+++

所以(1+￡)(吟)[吟>[吟卜/............12分

2-6、(2022~2023學(xué)年第一學(xué)期蘇州市高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué))

.已知函數(shù)/、(x)=ln(l+x)—(lna)-x(實數(shù)a〉0).

(1)若實數(shù)aeN*，當(dāng)xe(0,+8)時，/(x)<0恒成立，求實數(shù)。的最小值；

(2)證明：(1+-)"<3.

n

【答案解析】

【要點分析】(1)由題意，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，由。的取值范圍，逐一檢驗，可得答案；

(2)由(1),令a=3,根據(jù)單調(diào)性，整理不等式，結(jié)合對數(shù)運算，可得答案.

【小問1詳解】

因為/(x)=ln(l+x)-(lna)-x,求導(dǎo)得廣(力=———Ina.

1+x

由于xe(0,+oo),」一e(0,l),又因為aeN*，

1+x

當(dāng)a=l時，r(x)=—>0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0舍去；

1+x

當(dāng)a=2時，令/'(x)=—)——ln2=0,得》=-----1>0,當(dāng)xe(0,」一—1)時，/'(x)〉0,/⑴在

1+xIn2In2

(0,J——1)上單調(diào)遞增，此區(qū)間上/(x)>/(0)=0舍去；

In2

當(dāng)aN3時，由于」一e(0,l),lna>l,/''(%)=—一一Ina恒小于零，/*)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

1+x1+x

/(x)</(0)=0,滿足題意.

綜合上述，實數(shù)。的最小值為3.

【小問2詳解】

由(1),當(dāng)a=3時，/(x)<0恒成立，即ln(l+x)-(1n3)-x<0,于是ln(l+x)<(ln3>x.

x=-ln(l+-)<(ln3)--rtln(l+-)<ln3ln(l+-)n<In3(l+-)n<3

取〃，有〃"，所以?，即〃，所以〃

題組三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點、極值點問題

3-1、(南京市八校高三年級第一次校際聯(lián)考)(12分)

已知函數(shù)/(x)=/ne2*+(機-2)e*-x.

(1)當(dāng)機=0時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)討論/(X)的單調(diào)性；

(3)若/(x)有兩個零點，求機的取值范圍.

【解】：

(1)當(dāng)加=0時,f(x)=-2ex-x,:.f(Q)=-2e°-0=-2

f'(x)=-2ex-1A-=/z(0)=-2e°-l=-3..................1分

所以曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為：y-(-2)=-3(x-0)

即3x+y+2=0...................2分

(2)/(x)的定義域為(—8,+8),

f(x)=2me2x+(m-2)ex—1=(mex-1)(21+1)..................3分

(i)若〃?<0,則/(x)<0,所期(%)在(-co,48彈■調(diào)遞減.................4分

(“)若加》0,則由r(x)=0得x=-Inm.

當(dāng)xG(-co,-Inm)0寸，f(x)<0；當(dāng)xw(—In〃],+8,寸，f(x)>0.

所以/(x)在(-單調(diào)遞減，在(-lnm,+8)單調(diào)遞增...................6分

(3)(i)若加40,由(1)知，至多有一個零點...............7分

(ii)

若加>0,由(1)知，當(dāng)x=-ln〃?時，/(x)取得最小值，最小值為f(-ln〃z)=l-Inm.

tn

①當(dāng)加=1時，由于/(一lnm)=l-'+ln〃7=0,故/(x)只有一個零點；..........8分

m

②當(dāng)me(l,+oo)時，由于1一」"+him>0,即/(一In/n)>0,故f(x)沒有零點；.......9分

m

③當(dāng)me(0,1)時，1一」-+m加<0,即/'(-In加)<0.

m

又/(-2)=me-4+(陽一2)e-+2>—2e2+2>0,故/(x)在(-oo,-Inm)有一個零點.

設(shè)正整數(shù)〃。滿足〃o>ln(3-l),則

m

W

/(〃o)=e"°(m+加一2)-〃o>-/?0>2°-H0>0.

由于ln(---l)>-ln/n,因此/(x)在(-In加,+oo)有一個零點.............12分

m

綜上，加的取值范圍為(0,1).

3-2、（江蘇省高郵市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）（12分）已知函數(shù)

/（X）=2cosx+xsinx+ox.

（1）若曲線y=/（X）在點（0,/（0））處的切線與X軸平行.

①求實數(shù)a的值：

713兀、

內(nèi)只有唯一極值點；

[22J

（2）當(dāng)時，證明：對于區(qū)間（兀，2兀]內(nèi)的一切實數(shù)，都有/（x）＜0.

兀k2J

解：（1）①由題意得，/'（0）=0

：/'(x)=—sinx+xcosx+a,/、'(x)=-sin0+0cos0+a=0即a=02'

②證明：由①可知，/'(x)=xcosx-sinx,則(/'(x)y=-xsinx

X

（3吟

\乙）

-+

(7"))，

極小值/

八X）

]J=一1<0/(兀)=一兀<0,/管J=1>0

由零點定理結(jié)合單調(diào)性可知，存在唯一的,使得/(x0)=0

X

x(3吟

J,x°jo

，(x)-+

/（X）極小值/

（兀3兀、

.??函數(shù)/（X）在內(nèi)只有唯一極值點玉），且取得極小值故原命題得證6

2J

I3兀3兀)

（2）證明：要證對于區(qū)間［陽晝內(nèi)的一切實數(shù)，都有/（x）＜0,即證/（x）1rax＜O,xe

3兀、

由⑴可知，/'（X）在7M上單調(diào)遞增，且/、'（x）=—sinx+xcosx+a

二/'（兀）=_兀+。,/"（，、

=1+。

7

?：a<-,f'(n)=-7i+a<0

Tt

以下，對/匕=1+。的正負進行分類討論:

\27

(3兀、

1、當(dāng)/'—=1+。(0,即Q4—1時,

\2J

3TI}（3兀、

由，（X）在兀甸上單調(diào)遞增，則r（x）＜/'丁=。+1＜0.

(3c7

.?J(x)在上單調(diào)遞減，，/（x）＜/（兀）=-2+取4-2+兀?￡=（）,命題得證;

71

,/3兀、八2

2、當(dāng)了51+。>0,即一1<〃(一時,

771

由（1）②可知:

X

(71、%(3c

0,

1，/CTJ

?。?+

/（X）極小值/

/(兀)=一2+”兀<0

2f3

綜上，當(dāng)a＜一時，對于區(qū)間71,-71內(nèi)的一切實數(shù)，都有/（x）＜0.12'

兀I2

3-3、（江蘇省揚州市寶應(yīng)縣2023屆高三上學(xué)期期初檢測）

（本小題滿分12分）

3

已知函數(shù)/（切=/-5住+1）/+3履+1,其中左eR.

（1）當(dāng)1=3時,求函數(shù)/（x）在（0,3）內(nèi)的極值點；

（2）若函數(shù)〃x）在［1,2］上的最小值為3,求實數(shù)4的取值范圍.

解：（1）由題意得：當(dāng)左=3時，/（X）=X3-6X2+9X+1,則/'（》）=3》2—12丫+9=3（》一1）@一3）,

令/'（x）=o得m=1,%2=3

列表如下：

X0(0,1)1（1，3）3

/"（X）4-0—0

/(x)1單調(diào)遞增5單調(diào)遞減1

故/（X）在（0,3）內(nèi)的極大值點為x=l,無極小值點.

（3）/f（x）=3x2-3（%+l）x+3Zz=3（x-l）（x-A）

①當(dāng)左41時，Vxe［l,2］,/（x）20函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞增所以

35

“X）min=/（1）=1—,"+1）+3左+1=3即左=3（舍）；

②當(dāng)左N2時,Vxe［l,2］，r（x）40函數(shù)/（x）在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞減所以

/（x）min=/（2）=8—6（%+l）+3h2+l=3,符合題意；

③當(dāng)1＜左＜2時當(dāng)xe［1㈤時，/"（X）＜0,/（x）區(qū)間在［1,左）單調(diào)遞減當(dāng)x《（比,2］時，/"（x）＞0,

/（X）區(qū)間在化2］單調(diào)遞增所以/（%濡=/（左）=/一］（左+1）左2+3左2+1=3化簡得：

/一3"2+4=0,即優(yōu)+1)(左一2)2=0所以4=7或左=2(都舍);

注：也可令g(左)=-3k2+4,1<左<2則g'(x)=3k2-6k-3左(左一2)<0則g(左)=k3-3k2+4?在

左e(l,2)單調(diào)遞減所以0<g(A)<2,不符合題意；

綜上所述：實數(shù)左取值范圍為左N2.

3-4.(江蘇省揚州市寶應(yīng)縣2023屆高三上學(xué)期期初檢測)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=e*(x+a),其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a&R.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=/(x-a)—x2,討論函數(shù)g(x)零點的個數(shù)，并說明理由.

解：(1)因為/(x)=e"(x+a),所以/'(x)=e*(x+a+l).

由/'(x)〉0,得x>-"1；由/'(x)<0,得—

所以/(x)的增區(qū)間是(一。一1,+“)，減區(qū)間是(一力,一。一1).

(2)g(x)=/(x-a)-x2=xex~a-x2=x^ex~a-x).

由g(x)=0,得x=0或eX-a_x=0.

設(shè)〃(x)=*"-x,又〃(0)=0-"。0,即x=0不是〃(x)的零點，

故只需再討論函數(shù)〃(x)零點的個數(shù).

因為Z/(x)=-1,

所以當(dāng)時,單調(diào)遞減；當(dāng)xe(a,+e)時，l(x)>0,//(x)

單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=a時，力卜)取得最小值〃(4)=1一”.

①當(dāng)〃(a)〉0,即"1時，無零點；

②當(dāng)〃(a)=0,即@=1時,，7(x)>0,〃(x)有唯一零點；

③當(dāng)人(。)<0,即。〉1時，因為〃(0)="°>0,

所以6(x)在(—8,4)上有且只有一個零點.

令x=2a,貝I]〃(2a)=e"-2a.

設(shè)夕(a)=/?(2a)=e"-2a(a〉l),則°'(a)=e"-2〉0,所以夕(a)在(1,+力)上單調(diào)遞增,

所以Vae(l,+e),都有e(a)N°(l)=e-2>0,所以"(2a)=°(a)=e"—2a>0.

所以〃(x)在(a,+e)上有且只有一個零點，

所以當(dāng)a>1時，/(x)有兩個零點

綜上，當(dāng)a<l時，g(x)有一個零點；

當(dāng)a=l時，g(x)有兩個零點：

當(dāng)。>1時，^(力有三個零點.

題組四、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立與探索性問題

zInOc+l)

4-1、(江蘇省海安高級中學(xué)2023屆高三期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)砂.

(1)求證：函數(shù)/(X)存在唯一的極大值點；

(2)若“X)4氣(左eR)恒成立，求左的值.

【答案解析】

【要點分析】(1)求導(dǎo)可得ra卜鼠口TMx+1),再令g(x)=W-ln(x+l),根據(jù)g(x)的單調(diào)性

與零點存在性定理證明即可；

(2)將題意轉(zhuǎn)化為帖卻-"《0,設(shè)〃(0=蛇土11一日，求導(dǎo)要點分析單調(diào)性，結(jié)合〃(0)=0求

evex

解即可.

【小問1詳解】

證明：因為/耳=皿；+1)，故/⑴=7^一.("+1)，令g(x)=￡—ln(x+l),易得g(x)在

(T,+8)上為減函數(shù)，且g(0)=l>0,g⑴=；—ln2J-；見2=忖1<0,故g(x)在(0,1)上有

唯一零點七.

故在(-1,3)上g(x)>0,/(X)上單調(diào)遞增;在(x°,+oo)上g(x)<0,/(X)上單調(diào)遞減，故函數(shù)/(X)

存在唯一的極大值點％.

【小問2詳解】

/(x)V履(左eR)恒成立即H(：+1)_丘40,設(shè)〃⑺Jn(x：l)_米,則。(0)=0

21

—ln(x+l)ln(x+l)一

x+l(x+1)2,易得

^(X)=X±1__-------k'〃"(x)=---------

cv~

2

9(x)=ln(x+l)-在定義域(T,+8)上為增函數(shù)，且夕(l)=ln2—；<0,

x+l(X+l),

7

^(2)=ln3-->0,故9(x)在(1,2)上有唯一零點%.

故在(-l,x°)上〃〃(x)<0,〃'(x)單調(diào)遞減;在(如+8)上乂(x)>0,〃'(力單調(diào)遞增.

又〃(0)=1-左，且〃(0)=0,若0恒成立，則x=0為極大值點,此時為'(0)=1-左=0,解得左=1,

此時在(—1,0)上"(x)〉0,〃(x)單調(diào)遞增，在(o,+e)上”(x)<0,%(x)單調(diào)遞減，故=°

恒成立.

故％=1.

4-2.(湖南師大附中2023屆高三年級開學(xué)初試卷)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(X)=—?

X

(1)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3不)上極值點的個數(shù)并證明；

⑵函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上的極值點從小到大分別為%,％2,天，…,X”，…，設(shè)％=/(與)，S.為數(shù)

列｛%｝的前〃項和.

①證明：q+。2<0；

②問是否存在〃WN*使得E,20?若存在，求出"的取值范圍；若不存在，請說明理由.

，、八/、xcosx-sinx

【答案解析】⑴/'(x)=-----；-----，設(shè)g(x)=xcosx-sinx,

又g'(x)=-xsinx，(1分)

當(dāng)XG(0,乃］時，:sinx〉。，g'(x)<0,g(x)在(0,萬)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,

，g（x）在（0,乃）上無零點；....................（2分）

當(dāng)xe（萬,2何時，?.?sinxcO,g'（x）＞0,g（x）在（肛21）上單調(diào)遞增,

g（乃）=-71＜0,g（2萬）=2萬＞0,

g（x）在（肛2%）上有唯一零點；...............（3分）

當(dāng)xw（2萬,3萬］時，?.?sinx〉0,g'（x）＜0,g（x）在（2匹3萬）上單調(diào)遞減，

g（2］）＞0,g（3萬）＜0,

g（x）在（2萬,3乃］上有唯一零點.....................（4分）

綜上，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,3如上有兩個零點且在零點左右函數(shù)符號發(fā)生改變，

故函數(shù)f{x}在區(qū)間（0,3萬）內(nèi)恰有兩個極值點.....................（5分）

⑵①由⑴知/（X）在xe（0,乃］無極值點；在xe（萬,2萬］有極小值點，即為f；在xe（2萬,3萬］有極大

值點，即為Z，

同理可得，在（3肛4句有極小值點日，在（〃1,（〃+1）加有極值點相，

由x“cosx“-sinx”=0得x“=tanx“，...............（6分）

x2＞^））二tan＞tan芭=tan（X|+萬），-.^（^）＜0,g|—|=1，g（27）＞0,g（且］＜0，

由函數(shù)y=tanx在單調(diào)遞增得々>/+%,

、...、sinx.sinx2

/.a]+a2-j(X1)+j(x2)=-——L'=cosX]+cosx2,

由y=cosx在(2萬,單調(diào)遞減得cosX2<cos(x,+%)=-cos^,

at+a2=f(xt)+/(x2)<0....................(8分)

②同理刀2“_]e卜2〃-1)%，2〃一],刀2”€(2〃萬，2“乃+],

-71.

2〃乃+—>x2n>x2n_]+萬>2n兀,

由y=COSX在[2〃4,2/7,T+yl(77EN)上單調(diào)遞減得COS乙〃<~C0SX2n-\，

。2”+?2?-1=/(》2“)+/U2?-1)=cosx2?+COSX2.T<0，且%“=/(X2.)〉0，a2n-i=/(/，一)<。，

當(dāng)〃為偶數(shù)時，從q=/（$）開始相鄰兩項配對，每組和均為負值,

即S,=［/區(qū)）+/（￡）］+［/卜）+/（匕）］+…+"（X”T）+/（￡）］＜。，結(jié)論成立;?一（1。分）

當(dāng)〃為奇數(shù)時，從q=/（西）開始相鄰兩項配對，每組和均為負值，還多出最后一項也是負值,

即，=［/&）+/（*2）］+［/5）+/（項）］+…+［/（k）+/（%）］+/8）＜0,結(jié)論也成立，

綜上，對一切〃eN*,S,,＜0成立，故不存在〃wN*使得S.20.......（12分）

4-3、（山東省"學(xué)情空間"區(qū)域教研共同體2023屆高三入學(xué)檢測）

已知函數(shù)/（X）=ln（x-l）-mx（〃？wR）,g（*）=2x+〃一2.

（1）討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性：

M—3

（2）當(dāng)——2時，若不等式/（x）4g（x）恒成立，求一的最小值.

【答案解析】

【要點分析】（1）對/（X）求導(dǎo)，通過分類討論判斷了（X）的單調(diào)性

（2）/回《8（》）0〃＞）-8^）40恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出/（x）-g（x）的最大值

以絲9）=Tn（m+2）—加-〃-1,通過對上式變形可以得到‘二32Tn（/〃+2）-〃7-4,最后構(gòu)造函

加+2修+2m+2

數(shù)/（。=山］；12,利用導(dǎo)數(shù)判斷/?）的單調(diào)性，求出/（/）的最大值即為所求

【小問1詳解】

/(x)=ln(x-1)-mx.(x>1),

x-\x-l

（I）當(dāng)加《0時:/'（工）〉0,/（工）在（1,+00）上單調(diào)遞增,

(II)當(dāng)機>0時，令1一團(％-1)>0,則x<，+l,

m

令1一陽(x-l)<0,則x>2