2023屆廣東省新高考復習：導數(shù)解答題專項提分計劃解析版

2023屆廣東省新高考復習

專題6導數(shù)解答題專項提分計劃

1.(2022?廣東湛江?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)〃x)=lnx+2-x.

⑴當。=-2吐若/(x)在他，赤)上存在最大值，求，”的取值范圍；

(2)討論/(x)極值點的個數(shù).

【答案】(1)(4,+8);

⑵當“6-8⑼時，函數(shù)有一個極值點；當4€(0,；)時，函數(shù)有兩個極值點；

當〃e弓,+8)時，函數(shù)沒有極值點.

【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值的定義進行求解即可；

(2)根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點的定義、一元二次方程根的判別式分類討論求解即可.

(1)

因為。二一2,

所以/(X)=In-Xn/(x)=T4-1=-、?丁=1.產(chǎn)

因為函數(shù)〃x)=lnx-：-x的定義域為：(0,竹))，

所以當x>2時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當0<x<2時，單調(diào)遞增，所以當x=2時，函數(shù)有最大值，

因此要想/(x)在(0,而)上存在最大值，只需而>2n機>4,

所以加的取值范圍為(4,+?)；

(2)

/(x)=lnx+--x=>/'(%)=-g-1=-*:一,

XJCJCX

方程，一元+〃=o的判別式為△=(-1)2-4a=\-4a.

(1)當△<()時，即此時方程x2-x+a=0沒有實數(shù)根，

所以ra)<o,函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)/(X)沒有極值點；

(2)當A=0時，即l-4a=0na=一,

4

此時,，3二('-；)；0,(當x=；時取等號)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)/(X)沒有極值點；

(3)當△>()時，即l-4a>0na<!，此時方程x?-x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，

4

設(shè)兩個實數(shù)根為X”三,設(shè)占<%,則1+^^,

'22

函數(shù))(x)的定義域為；(0,+°°),顯然x,-x2=a,x,+x2=1

當=。>0時，此時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，

此時當xe(0,±)時，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當》€(wěn)區(qū),々)時，/心)〉。，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當

xe(x2,+a))Ht/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

因此當》=占時，函數(shù)有極小值點，當時，函數(shù)有極大值點，

所以當ae(0二)時，函數(shù)有兩個極值點，

當玉/2=。50時，方程有一個正實數(shù)根和一個負根，或是一個正實數(shù)和零根，

當xe(0,x。時，/外)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當xe(%,+⑼時，/'(x)<0,函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，所以

當x=x?時，函數(shù)有極大值點，

因此當ae(Ho,0］時，函數(shù)有一個極值點，

綜上所述：當ae(-8,0］時，函數(shù)有一個極值點；

當ae(0,全時，函數(shù)有兩個極值點；

當aeJ,+8)時，函數(shù)沒有極值點.

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根的判別式分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=ez+ax+a(aeR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當XN0時，/(x-l)+ln(x+l)>l,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴見解析；(2)［-2,+00).

【分析】⑴/(x)求導汽X)對。分類討論4(x)的正負得出“X)的單調(diào)性；

(2)〃x-l)+ln(x+l”l變形g(x)=e，+G+ln(x+l)_lNO,利用導數(shù)對"的值進行分類討論，得出函數(shù)

g(x)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可得出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】⑴由題知］(X)=*'+?+","X)的定義域為R,

x+

f'(x)=e'+a.

(對函數(shù)〃x)求導后，由于y=e"'恒大于0,故對。進行正負分類討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性)

當〃20時，,嚴卜)>0在口上恒成立，故/(》)在區(qū)上是增函數(shù)；

當a<0時，令_/《)=0得x=ln(-a)-l

在(-oo,ln(-a)-l)上有<0,在(in(-a)-1,+8)上有/4x)>0

/(x)在(-oojn(-a)-l)上是減函數(shù),在(ln(-a)-l,+8)上是增函數(shù)

(2)當xzO時，/(x-l)+ln(x+l)>1,BPex+ax+ln(x+l)-l>0(*).

令g(x)+G+ln(x+1)-1(r20)

貝ijg，(x)=e、+士+a(x20).

①若a々-2,由⑴知,當a=T時,〃力=〃-x-1在(-1,一)上是增函數(shù)

故有〃x)N/(T=eT"+1-1=1

即/(x)=e"-x-121,得產(chǎn)6+1+1,故有e'zl+x.

(由(1)可判斷/N1+X,此不等式為常見不等式，熟記更利于解題)

g'(x)=ex+—^—+a>(x+1)+-^—+a>2j(x+l)----+a=2+a>0

x+1x+1Vx+1

(當且僅當x+l=—!—，即x=0,且a=-2時取等號)

x+\

(根據(jù)ex>l+A-及基本不等式可知需對。和-2的大小分類討論)

.??函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，.)(到^(。卜。，；.(*)式成立.

②若。<-2,令p(x)=e、+」7+“

X+1

1h+iW-l

貝lj"(x)=，--一/1J、220，當且僅當x=0時等號成立.

(x+1)-(x+1)

函數(shù)3(x)在區(qū)間[0,+向上單調(diào)遞增.

*/0(0)=2+Q<0

=e~a+―--+a>1-4Z+——+a=1+--—>0

\-a\-a\-a

：.3x0e(O,-a),使得3卜)=0

則當Ooe/吐0(x)<0(Xo)=O,即g4x)<0.

.??函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,x。)上單調(diào)遞減

(構(gòu)造函數(shù)9(x),對其求導并根據(jù)零點存在性定理判斷g(x)的單調(diào)性)

???g(x。)<g(O)=O,即(*)式不恒成立.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是卜2,+a)).

【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)分類討論求函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于

中檔題.

3.(2022?廣東惠州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/'(x)=e'+wsinx-；x2-l(meR).

⑴當m=0吐討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式對X€恒成立，求機的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增；

⑵[T+8).

【分析】(1)求得/'(X),再求二階導數(shù)，根據(jù)二階導數(shù)的正負判斷了'(x)的單調(diào)性，從而求得其正負，即

可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)(1)中所求，對/'(x)進行適度放縮，對參數(shù)"，與-1的大小關(guān)系進行分類討論，利用導數(shù)研究

函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明.

【詳解】⑴當加=0時，〃x)=e=gx2-1,則/(x)=e、—x

令g(x)=/'(x),則g'(x)=e*-l

因為x<0時，g'(x)<0；x>0時，g'(x)>0

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(9⑼單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增

所以/'(x)=g(x"g(O)=l>O,

所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)因為療(力20對Vxe恒成立，且/(0)=e°-l=0

所以當xe0,^時，有〃x”0；當xe-y,0時，有/(x)*。

由(1)知e'-xNl,所以/'(x)=e、+〃?cosx-xNl+MCOSx

由~W，得cosxe[0』

r

①當tn>-1時，/(x)>1+mcosx>1-cosx>0,

所以函數(shù)〃x)在單調(diào)遞增

所以當xe0,y時，/(%)>./-(0)=0；當xe-y,0時，〃x)v/(0)=0

所以當機2-1時，必1(X"。對Wxe-y.y恒成立.

②當tn<-\時，令〃(x)=/'(x),則〃(x)=e，一加sinx-l

令m(x)=h'(x),則加⑴=ex-incosx

因為rw,有cosxw[0,l],所以"(x)=e*-〃zcosxne”>0

所以函數(shù)l(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，且有"(o)=e°-l=o

所以當xw-^,0)時，A'(x)<0；當xw(0,5時，/?'(x)>0

所以函數(shù)/'(x)在-、,0)單調(diào)遞減，在卜弓單調(diào)遞增

因為/'⑼=1+，"<0,7'(-、)=+y>0

所以存在x°e(-1■,())使得/"(％)=0,且xe(x°,0)時，/'(x)<0

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間仇,0)上單調(diào)遞減，即/(x°)>/(O)=O,

則有x0/(x0)<0與條件0?("？0矛盾，即機<-1不合題意.

綜上①②，可得實數(shù)m的取值范圍是[-1,+8).

【點睛】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及利用導數(shù)由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題；其中解決第

二問的關(guān)鍵是利用第一問中的結(jié)論e<-X21對導數(shù)進行放縮，同時利用零點存在定理找到當機<-1時的矛盾

點%,也是重中之重，屬綜合困難題.

4.(2022?廣東潮州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)〃x)=Inx-￡^,aeR.

⑴若函數(shù)在區(qū)間(0』內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)”的取值范圍；

⑵若f"2eR,且4<3求證：產(chǎn)

e1-e2e'+2e-

【答案】(l)(-~,3]

(2)證明見解析

【分析】⑴根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為3。：+x+4在(0,1]上恒成立問題然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出”的范圍;

五_]

(2)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為In五(上一成立問題，令”五e(0，D,即3-二<0成立，再利用函數(shù)的單

9土+2%f+2

x2

調(diào)性證明即可.

(1)

解：因為〃x)=inx-若/的定義域為(0,欣),

所以/'(x)=1-3ax~+(4-3a)x+4

(x+27x(x+2)-

若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0』遞增,

則/+(4-3°卜+420在(0,1］上恒成立，

即％q+x+4在(0』上恒成立，

4

則只需3人(—+x+4)mm，

x

令g(x),+x+4,則g，(x)=_g+i=(x+2),2),

X'/fx2

當xw(O,l]時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

4

即g(x)=—+x+4在x=l時取得最小值9,

X

4

所以30v(—+x+4焉=9,

X

所以“的取值范圍為(-8,3].

(2)

，2

解：令e"=X[,e=x2,

則6=lnX|,t2=lnx2.

由且得0<玉<々,

所以占一工2<0,0〈土V1,

所以要證-^->7丁成立,

e'-e/2e“+2e'2

ln$-In/1

只需證一!——,

x,-x2玉+2X2

_%-1

即In土<士白，即In土<上一成立即可,

X2x,+2X2X2%+2

令"五e(O,l),則需證in-上1<0,

X2t+2

由(1)可知a=1時，函數(shù)/(x)在(0,1)單調(diào)遞增,

所以/(x)</(l)=0,所以Inr-號<0成立,

”fInx.-Inx,1

所以:丁>E.

【思路點睛】1,一般地，若/(x)在區(qū)間(。⑼上可導,且/'(x)>0(/'(x)<0),則在(a,b)上為單調(diào)

增(減)函數(shù)；反之，若/(x)在區(qū)間(。力)上可導且為單調(diào)增(減)函數(shù)，則/'('"0(/'(幻50開亙成立.

2,對于函數(shù)不等式的恒成立問題，可構(gòu)建新函數(shù)，再以導數(shù)為工具討論新函數(shù)的單調(diào)性從而得到新函數(shù)的

最值，最后由最值的正負得到不等式成立.

5.(2022?廣東深圳?深圳市光明區(qū)高級中學校考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e*-ax+sinx-l.

⑴當。=2時，求函數(shù)/(x)的極值點；

(2)當1v”2時,試討論函數(shù)fix)的零點個數(shù).

【答案】(l)x=O

(2)有2個零點

【分析】⑴當4=2時求出了'(X),令〃(x)=/'(x)求得〃'(X),分xw(-8,0］、x￡(0,+8)討論可得單調(diào)性

和極值點；

⑵由/'(x)=e*-a+cosx，設(shè)g(x)=/'(x),得到g'(x)=e*-sinx,分xw(0,+8),》€(wěn)(一,-可和工€(-兀,0)

三種情況討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進而求得結(jié)論.

(1)

當a=2時，/(x)=e*-2x+sinx-l,則/'(x)=e*-2+cosx,

令g(x)=ev-2+cosx,貝=e*—sinx.

x

當xe(0,+co)時，e>l,Ag'(x)>1-sinx>0,

/'(x)=g(x)在(0,4W)上單調(diào)遞增，

."./'(x)>/((0)=0,

??J(x)在(0,做)上單調(diào)遞增.

當xe(-oo,0］時，可得eJl,

/'(x)=ev-2+cosxs-1+cosxs0,

???/(x)在(-8,0］單調(diào)遞減;

綜上，函數(shù)/(x)的極值點為x=0.

⑵

當x=o時，/(0)=e°-0-l+sin0=0,.”=0是〃x)的一個零點，

令“(x)=/、’(x)=e*-a+cosx,可得力'(x)=e*-sinx.

因為lwa<2,

①當xe(0,+8)時，e，>l,.」'(x)>l-sinxN0,.?/(x)在(0,+w)單調(diào)遞增，.?./卜)>/,(0)=2-4>0,

，/(x)在(0,3)單調(diào)遞增，???/(x)>〃0)=0,此時/(x)在(0,+8)無零點.

②當xe可時，-axsn,有/(x)=e*-ax+sinx-1Ne*+兀+sinx-1>0,此時/(x)在(-co,-兀］無零

點.

③當xe(-兀,0)時，sinx<0,A'(x)=e1-sinx>0,.,./'(x)在(-兀,0)單調(diào)遞增，又尸(0)=2-a>0,

/'(-7c)=e-"-a-l<0,

由零點存在性定理知，存在唯一修?-兀,0),使得/'(x0)=0.

當xe(-7i,x(,)時，/(x)在(-兀,/)單調(diào)遞減；

當xe(%,0)時，./(x)>0,/⑺在(％,0)單調(diào)遞增；

又/(-")=尸+叫-1>0,/(xo)</(O)=O,所以/*)在(f,0)上有1個零點.

綜上,當IV”2時，/(x)有2個零點.

【點睛】函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/(x)中分離

參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通

過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各

個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

6.(2022?廣東廣州?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(x)=e、-“?(aeR).

⑴若/("在(0,+。)上是增函數(shù)，求“的取值范圍；

⑵若占,％是函數(shù)的兩個不同的零點，求證：l<X1+X2<21na-ln2.

【答案】0]

(2)證明見解析

【分析】(1)對函數(shù)"X)求導，利用導數(shù)值恒大于等于0,再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.

(2)根據(jù)給定條件可得X1=ln“+；lnx-x2=Ina+|lnx2,再分別作差、求和分析推理構(gòu)造函數(shù)，利用導

數(shù)探討最值作答.

⑴

(1)函數(shù)〃x)=e*-aW,所以/(x)=e*-^^,

①若屋0,則Vx>0都有〃力>0,所以/(x)在(0,+8)為增函數(shù)，符合題意.

②若。>0,因為在(0,+8)為增函數(shù),所以Vx>0,〃x”0恒成立,

令0（x）=2y[x-e',

即Vx>0,45恒成立,則”（x）=2e'（石++）>0,

所以函數(shù)9(力在(0,+e)上單調(diào)遞增，p(x)>9(0)=0,所以asO,

這與4>0矛盾，所以舍去.

綜上，a的取值范圍是(-8,0].

(2)

證明：芭,2是函數(shù)/⑺的兩個不同的零點，所以鏟=。北，e'?=a后,

顯然*>0,x2>0,則有玉=ln〃+；lnX],x2=InInx2,

所以X-工2=：lnx,-Inx2=』In—,

222x2

不妨令X|>X2>0,設(shè)，=±>1,

t\ntIn/

「是得*=2?_]),/-2”i)-

（r+l）lnz

要證…=可可>1,

只需證In”"二D,即in-亞R>o,令g⑺=Inf一^^~~,z>l,

t+lz+1't+l

貝iJg'（r）」-二工7=￥2%>0,所以函數(shù)g（。在（1，+8）上單調(diào)遞增，

t（r+1）z（z+l）-

所以g0）>g⑴=o,于是得』+巧>1,

又玉+/=2111。+；111（西工2），要證石+x2<2Ina-In2,

只需證;也（再工2）<Tn2,即占馬V；，

而中2='，仆,即證‘Jn'）妻vJ即[n/v〃一；即In/+；<0

4（/-1）4（r-l）4y/ty/t

令=+/>1,則"""I__1__==<o,

“t14t2t&2tyft

所以函數(shù)2）在（1,+8）上單調(diào)遞減，

所以〃（，）</!（1）=0,即有X1+X2<21na-In2,

綜上，I<%+X?<21na-ln2.

【思路點睛】利用導數(shù)證明不等式成立，可以將不等式的一邊化為0,對另一邊進行構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研

究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而證得不等式成立.

7.（2022?廣東肇慶??？寄M預測）已知函數(shù)/（x）=2x+2r.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/（x）有兩個零點芭,，求證：x,x2<l.

【答案】（1）答案見解析.

（2）證明見解析

【分析】（1）求導廣（x）=2（e：-“）,再分“V0和。>0兩種情況討論求解即可;

⑵結(jié)合⑴得0<”1時，/（X）有兩個零點，不妨設(shè)出馬是函數(shù)/（x）的兩個零點，進而得=%

ex2

汽2,

再設(shè)芭<々,t=x-x>0,進而得上?%=y<l,再等價轉(zhuǎn)化后，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式即

2]l-e2/

可.

【詳解】⑴解：函數(shù)定義域為R,/5）=2_烏=2匕：二）

當30時，/心）>0恒成立，函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增;

（半，+°°）時,/心）>0,

當a>0時,吐/'(x)<0,xe

（殍,+8）上單調(diào)遞增.

上單調(diào)遞減，在

綜上，當。V0時，函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增;

當a>0時，函數(shù)/0）在卜》,殍）上單調(diào)遞減，在（等,+[上單調(diào)遞增.

(2)解：由(1)知，若函數(shù)/(x)有兩個零點不多，

則a>0,且/(殍)=ln“+l<0,即0<a<［時，/(x)有兩個零點，

不妨設(shè)再，%是函數(shù)/(x)的兩個零點，

則京=-2x?忘=一2々，兩式相除得』)=￡,

不妨設(shè)3Vx2,設(shè)，=々一芭>0,

2，x^-t.ttttQ21Z2e2/

所以e-=k=1一f，七=中，%=中一=中，玉以=77^￥.

人,人21v1vIvIIe1

?e2/1

所以，要證再只需證7；一汴<］，即證：e4,-2e2,-?e2,+l>0,/>0,

(l-e-)

設(shè)g(f)=e"-2e"-f2e2，+i,

則g'(f)=4e"-4e"-2(t+*)e*=4e"e2'_1^(

令夕=e"-x-l,x>0,則y'=爐一1,

所以，當x?0,+8)時，y=eY-l>0,y=e'—x—l單調(diào)遞增，

所以歹=。丫7-1>0,在(o,+8)恒成立，即e'>x+l,x>0,

令〃(/)=e2Jl—；9+￡2),

11Q

則〃(r)=2e2'_5(l+2f)>2(2f+l)-5(l+2f)=3f+5>0,

所以，/?(，)在f?0,+8)上單調(diào)遞增，

所以，咐)>萬(0)=0,

所以g'⑺>0在fe(0,欣)上成立，即g⑺在fe(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(f)>g(o)=o,即以-2e"-de2'+l>0,f>0.

所以，士*2<1.

t2e21

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)王〈馬，設(shè)”/-玉>0,進而將得到』仁二『7,2,

再結(jié)合要證結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為證明e”-2e2，T2e2、l>0,f>0,再利用導數(shù)證明不等式即可.

8.(2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(同=4.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a,b是兩個不相等的正數(shù),且a+lnb=b+lna,證明:a+b+\nab>2.

【答案】⑴/(x)在(e,0),(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,叱)上單調(diào)遞增.

(2)證明見解析

【分析】(D先求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，令導數(shù)為0,解出x,然后在定義域范圍內(nèi)分析即可.

(2)利用分析法證明，變形要證明的式子，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)進行證明.

【詳解】⑴〃x)=?的定義域為(f,0)U(0,+oo),

(>1)尸

/'(x)=

X2

令/'(x)=0,得：x=l,

當x變化時/'(x)J(x)的關(guān)系如下表:

X(f,0)0(0,1)1(1,+00)

/'(X)-無意義-0+

/(X)無意義/

/(X)在(9,0),(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：要證a+6+lnab>2,

只需證：(。+Inb)+他+\na)>2

根據(jù)〃+1m=力+m〃，只需證：h+\na>\

不妨設(shè)a<b,由〃+Inb=6+Ina得：a-\na=b-\nb；

兩邊取指數(shù)，e"F"=e"F〃，化簡得：

ah

令：g(x)=(，則g(a)=g(，)，g(x)=*?—=^(x)，

根據(jù)⑴得g(x)在(e,0),(0,1)上單調(diào)遞減；

在(1,+8)上單調(diào)遞增(如下圖所示),

由于g(M在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增,

要使g(a)=g(6)且小6,

則必有0v4V1,6>1,即0<Q<1<6

由0V4vlvb得：b>1,1—Ina>1.

要證6+lna>l,只需證：b>\-\na,

由于g(x)在(1,+向上單調(diào)遞增，要證：b>l-lna,

只需證：g(*)>g(l-lna),

又g(a)=g(b),只需證：g(a)>g(l-lna),

只需證：e"e'-|M_:,

)—"

a1-lna1-\na

<,

只需證：e(l-lna)>e,

只需證：匕也>二，

ee

只需證：匕墨-5>0,

即證匕呵一e-“>0,

e

=1lnX-e~\(0<x<l),y>(l)=0,<P(a)=11na

ee

只需證：<P(X)>0,(0<X<1),

,/\1_x11S—吠

0(x)=---+e=---+—=------

exexeex-e

令秋x)=ex-ex,

i

A(l)=O,/I'(x)=e-e<O,(O<x<l),/I(r)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以碎)>〃(1)=。，

所以“(x)=-三三<0

ex-e

所以。(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以夕(x)>>⑴=0

所以>(“)>0

所以：a+b+\nab>2.

【點睛】函數(shù)與導數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，

難度相當大，主要考向有以下幾點：

1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(含參數(shù))或判斷函數(shù)(含參數(shù))的單調(diào)性；

2,求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；

3、求函數(shù)的極值(最值)；

4,求函數(shù)的零點(零點個數(shù))，或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；

5、證明不等式；

解決方法：對函數(shù)進行求導，結(jié)合函數(shù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，

在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù),

對新函數(shù)求導再結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性等解決.

9.(2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃x)=2x-alnx.

⑴當"1時，求函數(shù)P=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)〃x”(a+2)x-xe*恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為5+8),單調(diào)遞區(qū)間為(0,；

(2)ae[0,e]

【分析】(1)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)通過構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)找最值的方法解決恒成立問題，求解實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】⑴函數(shù)"X)的定義域是(0,成),

當”=1時，/*)=2—一，

X

令八x)>0得所以函數(shù)/(x)在；,+4上單遞遞增；

令"x)<0得所以函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為；，+8),單調(diào)遞區(qū)間為卜,；.

(2)/(x”(a+2)x-xe'恒成立，等價于xe、-aln(xe、”0恒成立,

令f=g(x)=xe*(x>0),

因為g'(x)=(x+l)e，>0恒成立，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,即f>0,

所以f(x)>(a+2)x-xe*恒成立，等價于f-alnf>0恒成立

令3)=f-aIn壯>0),問題等價于h(t)>Q恒成立

①若〃=0時，M，)=f>0恒成立，滿足題意;

②若a<0時，則所以〃e"=ea-alne"=e0-1<0,不滿足題意;

I7

③若。>0時，因為以/)=1-：令，0)=0,得，=a,

，e(0,a),h'(t)<0,Zz(f)單調(diào)遞減，，e(a,+8),h'(t)>0,力⑴單調(diào)遞增，

所以力⑺在公。處取得最小值%)=。(1-Ina),

要使得3”0,恒成立，只需〃(a)=a(l-Ina)N0,

解得0<a<e

綜上：ae[0,e]

【解法二】/(x)2(”+2)x-xe*恒成立，等價于xe*-a(x+Inx)W0,

令h(x)=xex-a(x+Inx)(x>0)

〃'(x)=(x+-a[1+-j=(x+l/eJ—

kx)Vx

①若a=0時,”(x)=(x+l)e>>0,所以力⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,

/?(o)=o,即滿足xe"-Q(x+lnx)N0,

②若"0時，則-。>0,h'(x)>o,所以〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由h(x)=xe'-a(x+Inx)=x(e*-a)-4lnx,

函數(shù)y=x(e'-a)(a<0)在(0,小)上單調(diào)遞增，值域為(0,+8)；函數(shù)尸F(xiàn)nx("0)在(0,”)上單調(diào)遞增,

值域為

所以上。>0,使得〃(與)<0,不滿足題意.

③若a>0時,令"(x)=0,；.a=xe',

令k(x)=e'--,則Mx)在(0,+<?)上單調(diào)遞增，

X

函數(shù)v=在(0,+8)上單調(diào)遞增，值域為(1,+8)；函數(shù)y=?a>0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，值域為(0,+少)；

則我w(0,+oo),左(*=0；xe(0,瓦)，k(x)<0,；xe(x0,+oo))k(x)>0,

所以加e(0,+oo),〃(％)=0,a=x°e\

xe(O,A^),h'(x)<0,6(x)單調(diào)遞減，xe(x0,+oo),"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

v

只需”(x)min=力卜)=群*-。(Xo+lnxo)=xoe°^-x0-lnx0>0即可，

l-x0-lnx0sO,/.x0+lnx01,

a〃?(x)=x+lnx(x>0),/n'(x)=l+~>0,二加(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，

x

xv

w(l)=1,二x(,e(0,l]時，x0+Inx0<1,y=xe,/=(x+l)e>0,

所以y=xe'在(0,1]上單調(diào)遞增，xe'e(0,e],

V,>

即a=xoee(0,e],

綜上：?e[0,e]

【點睛】1.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶?/p>

成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、

極(最)值問題處理.

2.利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論

和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3..證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這

種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

10.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=2xlnx-/-〃?x+l.

(1)若加=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若用<0,0<6<。，證明：21n小

a-ba-b

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+e),無單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)證明見解析.

【分析】⑴求外)的導數(shù)/'(x),令秋x)=/'(x),求分*根據(jù)析x)正負判斷f(x)單調(diào)性,根據(jù)/'(X)單

調(diào)性判斷/'(X)正負，從而判斷兀0單調(diào)性；

-、卬…a+b4ab八d?a+ba+ba-b人a+b.皿?,.八,

(2)將21n-----<-----^一加化為21n------<------------------m,令工=---->1,貝!j2xlnx-x~2+1+加工v0(x>l),

a-ba—ba-ba—hQ+6a-b

根據(jù)(1)中40單調(diào)性即可證明.

(1)

/⑴的定義域為(0,+"),

由于加=0,貝ij/(x)=2xlnx-f+1,/'(力=2111工+2-2,

令力(力=/3,則/(x)=：-2=^^,

當0<x<l時，/(x)>0,/'(X)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當x>l時，用燈<0,/'(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

則/'(x)v/'⑴=21nl+2-2=0.

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(。,+助，無單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)

方法一：欲證21n”|一"?，

a-ba-b

l士、十cia+b(a+Z?)2-(a-hf

只要證21n------<二一二7A~4一加

八女a(chǎn)-b(a+b)(a-b)，

口.、十?a+ba+ba-b

艮證21n------<------------------m.

a—ha—ba+b

令x=-----由于a>6>0,則x>l.

a-b

故只要證21nxvx-'一加，即證2R瓜丫一工2+\+mx<0(x>1).

x

由(1)可知，g(x)=2xlnx-?+1在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞減，

故x>l時，g(x)<g(l)=0,BP2xlnx-x2+l<0.

由于mvO,x>l,則加xvO.

2x\rvc-x2+l+/nr<0成立.

cia+b4ab

：.2In----<f---r-m.

a-ba2-b2

方法二：由⑴得/'(x)=2hu+2-2x-加在(0,1)上單調(diào)遞增，

當機<0時，/'(1)=-加>0,

f'^e2J=2^y-lj+2-2e2-m=-2e2<C,

則訓,w(O,l),使/'(/)=0,即2ht%+2-2x0-m=O,則機=21n.%+2-2%.

當Ovxvx。時,/'(x)<0,7(x)在(O,x0)上單調(diào)遞減;

當x0<x<l時，/白)>0,/(x)在(玉”1)上單調(diào)遞增.

貝=為。]口/_工02_〃?X0+[=況Inx0T^lnx0+2-2r0”

=(%-1》〉。，

「?2xlnx-x2-wx+1>0,

令^——=x,由于0V6VQ,則Ovxvl,

a+b

貝I1近電q一+1>0,

a+ba+b\a+hja+b

.xpm/口~a+bAab

整理得21n----<——-y-m.

a-ba-p

【點睛】本題第一問關(guān)鍵是二次求導，依次通過導數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性；第二問的關(guān)鍵是注意到

要證的不等式可以化為21n塔■〈當-匕二鄉(xiāng)-機，令x=*>i,則化為21nx<x-L-,〃，即

a-ba—ba+ba-bx

2x\nx-x2+\+mx<0(x>1),結(jié)合(1)中函數(shù)單調(diào)性即可證明得到結(jié)論.

11.(2022?廣東廣州?校聯(lián)考三模)已知拋物線C:x2=-2py(p>0)的焦點為尸，且尸與圓加：》2+(尸盯=1

上點的距最小值為4.

（1）求拋物線C的方程.

（2）若點P在圓M上，PA,PB是拋物線C的兩條切線，A、8是切點，求,AB面積的最大值.

【答案］⑴》2=_”

⑵20指

【分析】（1）求出拋物線的焦點廠的坐標，利用圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于P的等式，可求得P的值，由此可

得出拋物線的方程；

⑵設(shè)點力（再,必）、B&M、尸（線,人），利用導數(shù)求出切線4、尸8的方程，可求得直線月8的方程，

將直線"的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出|/用以及點P到直線"的距離，求出“48

面積的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.

（1）

解：拋物線C的焦點為巾,-。圓"的圓心為“（0,4）,半徑為1,|叫=4+3

所以，且尸與圓M上點的距最小值為|MF|-l=3+5=4,解得2=2,

因此，拋物線。的方程為犬=-4），.

⑵

解：對函數(shù)了=-《求導得了=-，設(shè)點&國,"）、、尸（X"。），

42

所以，直線P/的方程為yf=4（x-xj,即陽x+2必+2y=0,

同理可知直線PB的方程為x2x+2y2+2y=0,

,,xnx+2y,+2yn=0

因為點P為直線尸PB的公共點，貝IJ°'「/n,

島9+2%+2%=0

所以，點A、B的坐標滿足直線方程/x+2y+2%=0,

所以，直線N8的方程為x°x+2y+2%=0,

叱士1°x+2y+2%=02

聯(lián)乂彳，可得x-2房-4%=0,

x2=-4y

由x；+(%-4『=1可得3，%<5,所以A=4x；+16%>0,

由韋達定理可得再+=2x0,=-4%,

所以，|明=+字.J(X|+々)2_4再々=J(4+x；)(x；+4%),

|x；+4y\

點P到直線AB的距離為d=1,?0()|,

&+4

Ii2

所以,5曠,3=5網(wǎng)4=]1；+%))2,

令/=片+4%=儀+12%-15=-(%-6)2+21412,20],

所以，A218面積的最大值為:x20癡=20J?.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

12.(2022?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=(x-l)e，-ax(aeR且。為常數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(力的極值點個數(shù)；

⑵若/(021門-^+1對任意的"(0,+8)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵awl

11八

【分析】⑴求得/'("=把、-。分〃W——、——<a<0aNO三種情況討論，作出函數(shù)V=。與函數(shù)

ee

A(x)=xev的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù);

(2)由參變量分離法可知awe*-21對任意的xe(O,+8)恒成立，利用導數(shù)結(jié)合隱零點法求出函數(shù)

X

產(chǎn)(x)=e'-國=它在其定義域上的最小值，即可得出實數(shù)。的取值范圍.

(1)

解：函數(shù)/(x)的定義域為R,則/'(x)=m*-a.

令g(x)=xe*-a,則g'(x)=(x+l)e*,由g1x)=0,可得尸-1,列表如下:

9-1)-1(-L+OO)

g'(x)-0+

1

g(x)減----a增

極小值e

所以，g(x)min=g(T)=T-%

①當」-ONO時即當aw」時，對任意的xeR,/(x)20且尸(x)不恒為零，

ee

此時函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(X)無極值點；

②當時，令/((x)=xe",則"(x)=(x+l)e*,由〃(x)=0,可得尸-1,列表如下:

e

X(9,-I)-1(-1+OO)

A'(x)-0+

力⑴減增

極小值e

且當x<0時,h[x)=xsx<0；當x>0時，h(x)=xex>0.

作出函數(shù)〃(x)與函數(shù)y=。的圖象如下圖所示：

(i)當時，直線N=a與函數(shù)〃(力的圖象有兩個交點,

e

設(shè)這兩個交點的橫坐標分別為々、x"且芭

由圖可知，當XVX[或1＞與時，f(x)=xex-a＞0；當王＜》＜超時，f\x]=xQx-a＜0.

此時，函數(shù)/(X)有.2個極值點;

(ii)當aNO時，由圖可知，直線>=〃與函數(shù)A(x)的圖象有一個交點，設(shè)其橫坐標為%,且與N0,

當xvx。時，,r(x)=xe'-a<0；當x〉/時，,f'(x)=xe，-a>0.

此時函數(shù)/(X)只有1個極值點.

綜上所述，當a*-1時，函數(shù)/(x)無極值點；

e

當」<a<0吐函數(shù)/(x)有2個極值點；

e

當aNO時，函數(shù)/(x)只有1個極值點.

(2)

解：不等式/(x”lnx-e*+l對任意的xw(O,+8)恒成立，

等價于xex-lnx-l>ax對任意的xe(0,+oo)恒成立，

所以，awe、-電四對任意的xe(O,+8)恒成立，

X

令尸(x)=e、-曲五L其中x?0,+<?),則F(x)=e，+嗎=、%：叫

XXX

令0(x)=x2ex+Inx,其中xe(0,+00),則“(x)=(x2+2x)ex+->0對任意的XG(O,+OO)恒成立,

所以，函數(shù)3(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

因為=2_]<03(l)=e>0,故存在te使得/(/)=de'+lnf=O,

當Ovxvf時,F(x)<0,此時函數(shù)尸(x)單調(diào)遞減,

當x>/時，F(xiàn)(x)>0,此時函數(shù)尸(X)單調(diào)遞增，

所以，尸(xL="f)=e‘一曲>，

因為“e」ln,，則汨=-早=一13”，因為/egl),則-lnfe(0,l),

因為函數(shù)〃(x)=xe，在(O,+e)上單調(diào)遞增，

由汨=-lnf.e-'"可得〃⑴=〃(-ln/),故f=—lnr,可得e'=；,

所以，F(xiàn)(x)=F(/)=ef-ln/+1=--=1,li^a<\.

、/min'f,{1

【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，