解方程組【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題25解方程組一、換元法解方程組【典例】閱讀材料：小明在解方程組時(shí)，采用了“整體代換”的解法，方法如下：將方程②變形為，即③，將方程①代入③得，把代入①，解得，∴方程組的解為.（1）試用“整體代換”法，解方程組；（2）已知x、y滿足方程組，求的值.【解答】（1）由②得，即，將①代入③，得，把代入①得，∴原方程組的解為；（2）原方程組可化為，由①+②×2，得，即.【鞏固】解方程組.【解答】設(shè)，則原方程組可化為，解得，即，∴原方程組的解為.二、絕對值方程組【典例】解下列方程組（1）； （2）.【解答】（1）若，則原方程組為，解得，矛盾；若，則原方程組為或，解得.（2）由可得，，可得，將代入，解得，，∴原方程組的解為.【鞏固】解下列方程組（1）； （2）【解答】（1）當(dāng)時(shí)，原方程組可化為，無解；當(dāng)時(shí)，原方程組可化為，解得（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，原方程組可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程組可化為，解得無解；綜上，原方程組的解為.（2）由得，，將①代入得，解得，將代入，得，，方程無解，解方程②得，∴原方程組的解為.三、方程組解的情況【學(xué)霸筆記】1. 關(guān)于x、y的方程組的解的討論，若c、d、n均不為0，則：（1）若，則方程有唯一一組解；（2）若，則方程有無數(shù)組解；（3）若，則方程無解；2. 對于系數(shù)含有字母的二元一次方程組的解的討論，基本思想是把對方程組的解的討論轉(zhuǎn)化為一元一次方程的解的討論.【典例】關(guān)于x，y的方程組x+ay+1=0bx-2A．a(chǎn)＝0，b＝0 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝1 C．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝2，b＝1【解答】解：由關(guān)于x，y的方程組x+ay+1兩式相減得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0，∵方程組有無數(shù)組解，∴1﹣b＝0，a+2＝0，解得：a＝﹣2，b＝1．故選：B．【鞏固】已知關(guān)于x，y的方程組ax+分別求出當(dāng)a為何值時(shí)，方程組（1）有唯一一組解；（2）無解；（3）有無窮多組解．【解答】解：由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③將③代入②得，（a﹣2）（a+1）x＝（a﹣2）（a+2），④（1）當(dāng)（a﹣2）（a+1）≠0，即a≠2且a≠﹣1時(shí)，方程④有唯一解x=a+2a+1，將此x值代入③有y（2）當(dāng)（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）≠0時(shí)，即a＝﹣1時(shí)，方程④無解，因此原方程組無解；（3）當(dāng)（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）＝0時(shí)，即a＝2時(shí)，方程④有無窮多個(gè)解，因此原方程組有無窮多組解．鞏固練習(xí)1．對于實(shí)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算：x※y＝ax+by﹣xy，其中a、b是常數(shù)，等式右邊是通常的加減乘除運(yùn)算．已知：2※1=-2，（﹣3）※2=82，則aA．6﹣22 B．6+22 C．4+2 D．4﹣3【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：2a+b-解得：a=-則原式＝（-2）※2＝2+4+22=6+2故選：B．2．若x=1y=-2，x=-2y=1是方程mx+nyA．0 B．﹣2 C．﹣12 D．12【解答】解：∵x=1y=-2，x=-2y=1∴m﹣2n＝6，﹣2m+n＝6．∴m＝﹣6，n＝﹣6．∴m﹣n＝﹣6﹣（﹣6）＝0．故選：A．3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=4k+12x+y=5-k的解滿足x【解答】解：方程組x+2①+②得，3x+3y＝3k+6，即x+y＝k+2，又x+y＝5，所以k+2＝5，即k＝3，故答案為：3．4．對于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，定義有序?qū)崝?shù)對（a，b）與（c，d）之間的運(yùn)算“△”為：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果對于任意實(shí)數(shù)u、v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）為．【解答】解：∵（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），∴（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx），∵（u，v）△（x，y）＝（u，v），∴ux+vy=uuy+vx=v∵對于任意實(shí)數(shù)u、v，該方程組都成立，∴x＝1，y＝0，故答案為x＝1，y＝0．5．解方程組：（1）x+2（2）y3【解答】解：（1）整理得：8x①﹣②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入①得：8﹣9y＝﹣19，解得：y＝3，則方程組的解為x=1y=3；（2①×6﹣②得：﹣19y＝﹣114，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x﹣12＝﹣19，解得：x＝﹣7，則方程組的解為x=-6．對于有理數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x*y＝ax+by+5，其中a，b為常數(shù)．已知1*2＝9，（﹣3）*3＝2，求a，b的值．【解答】解：由題意得：a+2解得：a=2答：a為2，b為1．7．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x-y=（1）求x，y的值；（2）求a2+b2﹣2ab的值．【解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組3x-y=∴可得新方程組3x解這個(gè)方程組得x=1（2）把x＝1，y＝﹣2代入2ax+得2a解得：a=2∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝1．8．（1）求方程15x+52y＝6的所有整數(shù)解．（2）求方程x+y＝x2﹣xy+y2的整數(shù)解．（3）求方程1x【解答】解：（1）觀察易得一個(gè)特解x＝42，y＝﹣12，原方程所有整數(shù)解為x=42-52（2）原方程化為（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，由此得方程的解為（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．（3）∵1x＜1x+1y+1z≤3x，即1x＜即1y＜13≤2y，由此得y＝4，或5或6，同理當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3或4，由此可得1≤x≤y≤z時(shí)，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4組，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15組：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，39．已知：4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），求代數(shù)式5x【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），∴4x解關(guān)于x、y的二元一次方程，得x=3zy=210．當(dāng)a，b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b＝6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，b2+（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為完美點(diǎn)．（2）已知關(guān)于x，y的方程組x+y=6x-y=2m，當(dāng)m為何值時(shí)，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)B（【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，b2+1＝3，可得b＝∵2a﹣b≠6，∴A（2，3）不是完美點(diǎn)．（2）∵x+y=6∴x=33+m＝a﹣1，可得a＝m+4，3﹣m=b2+1，可得b＝4﹣∵2a﹣b＝6，∴2m+8﹣4+2m＝6，∴m=1∴當(dāng)m=12時(shí)，點(diǎn)B（x，11．我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整數(shù)，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解決下列問題：（1）[﹣4.5]＝，＜3.5＞＝．若[x]＝5，則x的取值范圍是；若＜y＞＝﹣2，則y的取值范圍是．（2）如果[x+12]＝3，求滿足條件的所有正整數(shù)（3）已知x，y滿足方程組3[x]+2＜y＞【解答】解：（1）由題意得：[﹣4.5]＝﹣5，＜3.5＞＝4．故答案為：﹣5，4；∵[x]＝5，∴x的取值范圍是5≤x＜6；∵＜y＞＝﹣2，∴y的取值范圍是﹣3≤y＜﹣2；故答案為：5≤x＜6，﹣3≤y＜﹣2；（2）根據(jù)題意得：3≤x+1解得：5≤x＜7，則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6．（3）解方程組得：[x]=-故x的取值范圍為﹣1≤x＜0，y的取值范圍為2≤y＜3．12．閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組17x+②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③③×17得：17x+17y＝17．④①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．所以這個(gè)方程組的解是x=-1y=2．（（2）規(guī)律探究：猜想關(guān)于x，y的方程組ax+(a+4)y=a+8bx+(b+4)y=b+【解答】解：（1）1996x+②﹣①得：20