幾何圖形問題【 學霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學 學科素養(yǎng)能力提升

專題13幾何圖形問題一、數(shù)正方體個數(shù)【典例】如圖是由若干個大小相同的小正方體所搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9【解答】解：綜合三視圖可知，這個幾何體的底層有4個小正方體，第二層有1個小正方體，第三層有1個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數(shù)是4+1+1＝6個．故選：A．【鞏固】由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最多是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、正方體的展開與折疊【學霸筆記】正方體的11種不同的展開圖“一四一”型“一三二”型“階梯”型【典例】如圖，是一個幾何體的表面展開圖．（1）該幾何體是；（2）依據(jù)圖中數(shù)據(jù)求該幾何體的體積．【解答】解：（1）由展開圖得這個幾何體為長方體，故答案為：長方體．（2）表面積：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（米2），體積：3×2×1＝6（米3），答：該幾何體的表面積是22平方米，體積是6立方米．【鞏固】如圖是一個正方體的展開圖，標注了字母A，C的面分別是正方體的正面和底面，其他面分別用字母B，D，E，F(xiàn)表示．已知A＝kx+1，B＝3x﹣2，C＝1，D＝x﹣1，E＝2x﹣1，F(xiàn)＝x．（1）如果正方體的左面與右面所標注字母代表的代數(shù)式的值相等，求出x的值；（2）如果正面字母A代表的代數(shù)式與對面字母代表的代數(shù)式的值相等，且x為整數(shù)，求整數(shù)k的值．三、疊放的幾何體求表面積或體積【典例】棱長為a的正方體，擺成如圖所示的形狀．（1）如果這一物體擺放三層，試求該物體的表面積；（2）依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下20層，求該物體的表面積．（3）依圖中擺放方法類推，如果該物體擺放了上下n層，求該物體的表面積．【解答】解：（1）6×（1+2+3）?a2＝36a2．故該物體的表面積為36a2；（2）6×（1+2+3+…+20）?a2＝1260a2．故該物體的表面積為1260a2；（3）6×（1+2+3+…+n）?a2＝3n（1+n）a2．故該物體的表面積為3n（1+n）a2．【鞏固】將一個棱長為整數(shù)的正方體木塊的表面涂紅色，然后分割成棱長為1的小正方體，若各個面未染色的小正方體有2197個，則只有兩個面染色的小正方體有個．鞏固練習1．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方塊的個數(shù)，能正確表示該幾何體的主視圖的是（）A． B． C． D．2．如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標數(shù)據(jù)計算這個幾何體的體積為（）A．12π B．18π C．24π D．30π3．如圖所示的正方體，如果把它展開，可以是下列圖形中的（）A． B． C． D．4．一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置上的小正方塊的個數(shù)，請你畫出從正面與左面看到的這個幾何體的形狀圖．5．（1）如圖1，一個正方體紙盒的棱長為4厘米，將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的周長．（2）如圖2，一個長方體紙盒的長、寬、高分別是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）將它的一些棱剪開展成一個平面圖形，求這個平面圖形的最大周長，畫出周長最大的平面圖形．6．請在下面的五個方框中畫出5種不同的正方體的展開圖（經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后能夠重合的，算作一種）．7．如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規(guī)律．（1）第1個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個．第3個幾何體中只有2個面涂色的小立方體共有個．（2）設第n個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)為M，請用含字母n的代數(shù)式表示M；（3）求出前100個幾何體中只有2個面涂色的小立方體的塊數(shù)的和．8．（1）在如圖（1）所示的正方體表面展開圖中的三個空白正方形內(nèi)各填入一個質(zhì)數(shù)，使該圖復原成正方體后，三組對面上的兩數(shù)之和都相等．（2）圖（2）是由四個如圖（1）所示的正方體拼成的長方體，其中有陰影的面上為合數(shù)，無陰影的面上為質(zhì)數(shù)，并且整個表面上任意兩個相鄰正方形內(nèi)的數(shù)都不是圖（1）所示的正方體相對面上的兩數(shù)．已知長方體正面上的四個數(shù)之和為質(zhì)數(shù)，那么其左側(cè)面上的數(shù)是（填具體數(shù)）．（3）如果把圖（2）中的長方體從中間等分成左右兩個小長方體，它們各自表面上的各數(shù)之和分別為S左和S右，那么S左與S右的大小關(guān)系是S左S右．9．六盒磁帶按“規(guī)則方式”打包，所謂“規(guī)則方式”是指每相鄰兩盒必須以完全一樣的面對接，最后得到的包裝形狀是一個長方形．已知磁帶盒的大小為abc＝11×7×2（單位cm）．（1）請畫出示意圖，給出一種打包方式，使其表面積最?。唬?）若不給出a、b、c的具體尺寸，只假定a≥b≥c，3問能否按照已知的方式打包，使其表面積最小？并說明理由．10．十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：（1）根據(jù)上面多面體的模型及表格中的數(shù)據(jù)：多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446長方體8612正八面體6812你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是；（2）一個多面體每個頂點處都有3條棱，多面體的棱數(shù)比頂點數(shù)大10，