有限法的基礎(chǔ)知識

有限法的基礎(chǔ)知識第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元的基礎(chǔ)理論3.1加權(quán)余量法3.2里茲方法3.3虛功原理3.4最小位能原理和最小余能原理第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)知識——1.變分問題在科學(xué)研究和工程實踐中，常常需要確定某一函數(shù)的極大值和極小值，這類計算已為大家所熟悉。但是，實際中常常需要確定另一類特殊的量（即所謂泛函）的極大值和極小值問題，這就是變分法要處理的問題。舉例：最速降線問題。通俗的講泛函就是函數(shù)的函數(shù)，是變量與函數(shù)的關(guān)系。變分問題就是泛函求極值的問題。第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出的，一般地表示為未知函數(shù)u應(yīng)滿足微分方程組域可以是體積域、面積域等。同時未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件，是域的邊界。第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月由于微分方程組在域內(nèi)中的每一點都必須為零，因此就有是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。其中*式是與微分方程組完全等效的積分形式?？梢宰C明，若積分方程*對于任意的都成立，則微分方程必然在域內(nèi)任意一點都滿足。第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，假如邊界條件也同時在邊界上每一點都得到滿足，則對于任一組函數(shù)，下式應(yīng)當(dāng)成立。上式即為原微分方程的等效積分形式。問題是有限元法不是在整個求解域上假設(shè)近似函數(shù)，而是在各個單元上分片假設(shè)近似函數(shù)。第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月等效積分的“弱”形式通過適當(dāng)提高對任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)的u的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱為微分方程的等效積分“弱”形式。從形式上看“弱”形式對函數(shù)u的連續(xù)性降低了，但對實際物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真正解，原因在于微分方程往往對解提出了過分平滑的要求。第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1加權(quán)余量法

（WRM--Weightedresidualmethod）加權(quán)余量法：指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法。加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法。顯然，任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以作為權(quán)函數(shù)。按照對權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同的加權(quán)余量計算方法，主要有：配點法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法。其中伽遼金法的精度最高。第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2里茲方法里茲方法：如果微分方程具有線性和自伴隨的性質(zhì)，那么它不僅可以建立它的等效積分形式，并利用加權(quán)余量法求其近似解，而且還可以建立與之相等效的變分原理，從而得到的另一種近似求解方法。第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3虛功原理（平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式）變形體的虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱。他們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月虛位移原理虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的“弱”形式；虛位移原理的力學(xué)意義：如果力系是平衡的，則它們在虛位移和虛應(yīng)變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移（及虛應(yīng)變）上所作的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分條件。一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題。但是否適用所有的問題呢？第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月虛應(yīng)力原理虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的（即在內(nèi)部連續(xù)可導(dǎo)），則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。反之，如果上述虛力系在他們上面所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的。所以，虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件。虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問題。第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月但是必須指出，無論是虛位移原理還是虛應(yīng)力原理，他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的，所以他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問題。第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4最小位能原理和最小余能原理明確：最小位能原理建立在虛位移原理基礎(chǔ)上，而最小余能原理建立在虛應(yīng)力原理基礎(chǔ)上。最小位能原理是指在所有可能位移中，真實位移使系統(tǒng)總位能取最小值。總位能是指彈性體變形位能和外力位能之和。最小余能原理是指在所有的應(yīng)力中，真實應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取最小值?？傆嗄苁侵笍椥泽w余能和外力余能總和。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月意義一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變形能的下界，即近似的位移場在總體上偏小，也就是說結(jié)構(gòu)的計算模型顯得偏于剛硬；而利用最小余能原理求得的應(yīng)力近似解的彈性余能是精確解余能的上界，即近似的應(yīng)力解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計算模型偏于柔軟。當(dāng)分別利用這兩個極值原理求解同一問題時，我們將獲得這個問題的上界和下界，可以較準(zhǔn)確地估計所得近似解的誤差，這對工程計算具有實際意義。第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)有限元法的求解方法與步驟

4.1有限元的基本思想有限元是一種以計算機(jī)為手段，通過離散化將研究對象變換成一個與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移等參數(shù)的數(shù)值計算方法。

第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是離散化呢？所謂離散化是將一個連續(xù)體分割成若干個通過節(jié)點相連的單元，這樣一個有無限個自由度的結(jié)構(gòu)就變換成一個具有有限個自由度的近似結(jié)構(gòu)。該過程還包括對單元和節(jié)點進(jìn)行編碼以及局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系的確定。第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是單元和節(jié)點呢？在有限元法中，將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點聯(lián)接的基本構(gòu)件，如桿和梁、板和殼組成，這些基本構(gòu)件稱為單元，單元與單元之間的聯(lián)接點稱為節(jié)點。第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2有限元法在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用

根據(jù)研究對象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同，常見的有以下幾種：1.桁架桿單元：主要應(yīng)用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2.

剛架桿單元：用于梁及剛架結(jié)構(gòu)分析；3.三角形平面單元：主要用于彈性力學(xué)中平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的有限元分析；第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4.三棱圓環(huán)單元：用于軸對稱問題的有限元分析；5.等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。其特點是能簡化復(fù)雜結(jié)構(gòu)的單元劃分工作，又能滿足同樣精度的要求時大大減少使用的單元數(shù)，成功地解決許多二維和三維彈性力學(xué)問題。第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3有限元法求解問題的基本步驟1.結(jié)構(gòu)離散化對整個結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節(jié)點相連；

2.求出各單元的剛度矩陣

是由單元節(jié)點位移量求單元節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣[K]是由整體節(jié)點位移向量求整體節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為，此即為總體平衡方程。

第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月確定總體剛度矩陣的方法有三種：

1）直接利用總體剛度系數(shù)的定義在求出整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得總體剛度矩陣。此方法旨在簡單情況下才能采用。2）集成法將整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣進(jìn)行迭加而得。這里所說的迭加不是簡單的相加，而是將下角標(biāo)相同的總體剛度系數(shù)相加，然后按總碼的順序?qū)μ柸胱?/p>

第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3）利用節(jié)點間的剛度系數(shù)直接寫出總體剛度矩陣總體剛度矩陣對角線上的剛度系數(shù)等于在節(jié)點i匯交的幾個單元的剛度系數(shù)之和；非對角線上的剛度系數(shù)等于聯(lián)結(jié)節(jié)點i與節(jié)點j間幾個單元的剛度系數(shù)之和。

第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4.引入支撐條件，求出各節(jié)點的位移節(jié)點的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零，另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。

第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)有限元法求解實例

下面通過一維單元的簡單實例說明具體過程。

例1一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為和，長度分別為和，彈性模量分別為和，如圖1-1所示。求出這兩段的應(yīng)力和應(yīng)變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N

第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月圖1-11

①2②3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月解：1）離散化把這根階梯軸看成是由兩個單元組成的，節(jié)點選在截面積突變處，兩個單元的連接處是一個節(jié)點，該階梯軸的兩端視為另外兩個節(jié)點，所以整個結(jié)構(gòu)共有三個節(jié)點。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個節(jié)點位置的位移量分別記為、、。在整個結(jié)構(gòu)中節(jié)點載荷及節(jié)點位移均用大寫字母標(biāo)記，其角標(biāo)為節(jié)點在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡稱總碼。

第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2）求單元剛度矩陣下面分析某等截面單元（e）。當(dāng)兩端分別承受兩個軸向力和作用時的位移情況。根據(jù)材料力學(xué)的知識可知，在兩端節(jié)點i、j處的位移量和與軸向力和的關(guān)系式為第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月注意在分析單元剛度矩陣時，載荷F和位移等參數(shù)的上角標(biāo)為該單元的編碼，下角標(biāo)為該單元內(nèi)節(jié)點的局部編碼。上兩式可寫成：或簡寫為：第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月式中—為單元剛度矩陣或單元特性矩陣，其階數(shù)等于單元中所包含的節(jié)點數(shù)；

—為單元節(jié)點力向量（列陣）；

第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

——為單元節(jié)點位移向量（列陣），也為單元自由度列陣；將單元剛度矩陣改寫成矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式，則

第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（1-5）矩陣中任意一個元素都稱為單元剛度系數(shù)，它表示該單元內(nèi)除節(jié)點j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i處所引起的載荷Fi。

第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3)總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫出

該階梯軸上三個節(jié)點位移和三個節(jié)點軸向力分別組成該整體結(jié)構(gòu)節(jié)點位移向量和節(jié)點軸向力

同理，這兩向量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為或

第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點總數(shù)。[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i處所引起的載荷Fi。

第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月求出總體剛度矩陣時進(jìn)行總體分析的主要任務(wù)是一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要有兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元剛度矩陣求總體剛度矩陣。下面分別說明。第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)剛度系數(shù)的定義，當(dāng)本結(jié)構(gòu)中的節(jié)點2和節(jié)點3位移量均為零時，要使節(jié)點1產(chǎn)生單位位移，在節(jié)點1處所需施加的載荷為，此即為K11；當(dāng)節(jié)點1、3固定，節(jié)點2產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點1處所引起的載荷為，此即為K12；

（1）直接法求總體剛度矩陣[K]

第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)節(jié)點1、2固定，節(jié)點3產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點1處不會引起載荷，因此K13=0；當(dāng)節(jié)點1、3固定，節(jié)點2產(chǎn)生單位位移時，要在節(jié)點2施加的載荷為，此即為K22；還可以按此方法依次寫出其余各總體剛度系數(shù)。

第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，總體剛度矩陣為

這種方法具有概念清晰的特點，但是在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時運(yùn)算極其復(fù)雜，因而限制了它的應(yīng)用。

第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元剛度矩陣出發(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫出各單元的剛度矩陣。由式（1-4），當(dāng)單元(e)分別為(1)和(2)時，兩個單元的剛度矩陣分別為

第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月注意雖然結(jié)構(gòu)的總變形是由兩個單元變形的迭加，但是總體剛度矩陣[K]并不是兩個單元剛度矩陣和的簡單迭加。

在進(jìn)行這項工作之前，一定要分清節(jié)點的兩種編碼方式：一種為節(jié)點的局部編碼，單元（e）的兩個局部碼分別為和；另一種為節(jié)點總碼，即對結(jié)構(gòu)中全部節(jié)點進(jìn)行統(tǒng)一的編碼。在本例中，階梯軸的三個節(jié)點總碼分別記為1、2、3。

第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月該階梯軸兩種編碼的對應(yīng)關(guān)系為

局部碼

總碼

1223一定要注意，在單元剛度矩陣中各元素按局部碼排列，而總體剛度矩陣[K]中，各元素按總碼排列。

第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月集成[K]的步驟為：

（1）將原單元剛度矩陣中的各系數(shù)總碼進(jìn)行標(biāo)記，則

第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）將角標(biāo)相同的系數(shù)相加，并按總碼的順序排列，則總體剛度矩陣為總體剛度方程為：

從上式可以看出，用兩種方法獲得的總體剛度矩陣相同。

第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）引入支撐條件，計算節(jié)點位移

上式中的未知量仍不能求出，因為[K]是一個奇異矩陣，必須引入支撐條件。在本