2017高考數(shù)學大一輪復(fù)習講義及配套題庫理全書課件第十二章

第十二章§12.3概率、隨機變量及其分布幾何概型內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習題型分類 深度剖析易錯警示系列思想方法 感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識 自主學習幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為

幾何概型

.幾何概型中，事件A的概率的計算公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)P(A)＝

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)

.知識梳理1答案3.要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有

無限多個

；等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.4.隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.答案(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法.這個方法的基本步驟是①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝M

作為所求概率的近似值.N答案(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(

))(6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝n

.(m判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.(

√

)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.(

√

)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(

√

)√(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).(

×

)×思考辨析答案3所求概率為1.1.(教材改編)在線段[0,3]上任投一點，則此點坐標小于1的概率為(

B

)A.1

B.1

C.1

D.12

3

4解析

坐標小于

1

的區(qū)間為[0,1]，長度為

1，[0,3]區(qū)間長度為

3，故考點自測212345解析答案12

x，則事件“－1≤log

x＋

12A.3

B.2C.13D.144

3解析

∵由－1≤log12

112

212x＋

≤1，得

≤x＋

≤2，∴0≤x≤3.2∴由幾何概型的概率計算公式得所求概率3－02－04P＝2

＝3.2.(2015·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)≤1”發(fā)生的概率為(

A

)12345解析答案A.π

B.π

C.π

D.π2

4

6

8解析

設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，陰影面積12π·12π則P(A)＝長方形面積＝1×2＝4.3.(2014·遼寧)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(B

)12345解析答案解析

由題意知，這是個幾何概型問題，S正1000S陰＝

180

＝0.18，∵S正＝1，∴S陰＝0.18.4.(2014·福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1

000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為

0.18

.12345解析答案P＝S

陰S圓＝21×2R×

2RπR2π＝1.5.(教材改編)如圖，圓中有一內(nèi)接等腰三角形.假設(shè)你在圖1中隨機撒一把黃豆，則它落在陰影部分的概率為

π

.解析

設(shè)圓的半徑為

R，由題意知圓內(nèi)接三角形為等腰直角三角形，其直角邊長為

2R，則所求事件的概率為：12345解析答案返回題型分類 深度剖析例1

(1)(2015·重慶)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為

.與長度、角度有關(guān)的幾何概型題型一解析答案3解得p≥2

或2＜p≤1，又p∈[0,5]，3＋110則所求概率為

P＝ 3＝

3

＝2.5

5

3答案23解析

方程2x

＋2px＋3p－2＝0

有兩個負根，則有Δ≥0，x1＋x2＜0，x1·x2＞0，即4p2－4(3p－2)≥0，－2p＜0，3p－2＞0，2

2

2(2)在區(qū)間[－π，π]上隨機取一個數(shù)x，求cos

x

的值介于0

到1之間的3根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為1.1概率為

3

.解析

當－π≤x≤π時，由

0≤cos

x≤1，2

2

2得－π≤x≤－π或π≤x≤π，2

3

3

2解析答案(3)如圖所示，在△ABC

中，∠B＝60°，∠C＝45°，高

AD＝

3，在∠BAC

內(nèi)作射線

AM

交

BC

于點

M，求

BM<1

的概率.解

因為∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在

Rt△ABD

中，AD＝

3，∠B＝60°，所以

BD＝

AD

＝1，∠BAD＝30°.tan

60°記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.75°

5由幾何概型的概率公式，得：P(N)＝30°＝2.解析答案引申探究21.本例(2)中，若將“cos

x

的值介于0

到1”改為“cos

x

的值介于0

到2

3”，則概率如何？解

當－π≤x≤π時，由

0≤cos

x≤2

223，得－π≤x≤－π或π≤x≤π，2

6

6

23根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為2.解析答案2.若本例(3)中“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”，求BM<1的概率.解

依題意知

BC＝BD＋DC＝1＋

1

3，P(BM<1)＝1＋

3＝3－12.解析答案思維升華求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).思維升華360°

6落在∠yOT

內(nèi)的概率為60°＝1.(1)如圖，在直角坐標系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為1

6

.解析

如題圖，因為射線

OA

在坐標系內(nèi)是等可能分布的，所以

OA跟蹤訓(xùn)練1解析答案

x－2(2)已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝x3－x>0，在集合A

中任取一個B＝x

2<x<3，故A∩B＝{x|2<x<3}.由幾何概型知，在集合A

中任取一個元素x，則x∈(A∩B)的概率為P6＝1.1元素

x，則事件“x∈(A∩B)”的概率是

6

.解析

由題意得A＝{x|－1<x<5}，解析答案，命題點1

與平面圖形面積有關(guān)的問題例

2

(2015·福建)如圖，矩形

ABCD

中，點

A

在x

軸上點B

的坐標為(1,0)，且點C

與點D

在函數(shù)f(x)＝x＋1，x≥0，1－2x＋1，x＜0的圖象上.若在矩形ABCD

內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于(

)A.1

B.16

4C.38D.12與面積有關(guān)的幾何概型題型二解析答案解析

由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四邊形ABCD＝6，S陰2＝1×3×13＝3.∴P＝2＝1.2

6

4答案

B命題點2

與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題例3(2014·重慶)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為

(用數(shù)字作答).解析答案解析設(shè)小張與小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘，根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5

分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如2圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為1×15×15＝225，2所以小張比小王至少早5

分鐘到校的概率為225P(A)＝

2

＝

9

.

答案400

32932命題點3

與定積分交匯命題的問題1解析

由題意知，陰影部分的面積

S＝?

(42

2－x

)dx＝

4x3–

x

|3

2

11

53＝

，S矩形ABCD531×412所以所求概率

P＝

S

＝ ＝

5

.例4

(2015·福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等

5

于

12

.解析答案思維升華求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華(1)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取出兩個數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為(

)A.1－π

B.1－π8

4C.1－π

D.1－3π2

4跟蹤訓(xùn)練2解析答案解析

由函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點，可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為

Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面積SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函數(shù)f(x)有零點，所構(gòu)成的區(qū)域為M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3，故P(A)＝S

M＝4π2－π3SΩ

4π2π4＝1－ ，所以選B.答案

Bx≤0，(2)(2014·湖北)由不等式組y≥0，y－x－2≤0確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組x＋y≤1，x＋y≥－2確定的平面區(qū)域為Ω2，在Ω1

中隨機取一點，則該點恰好在

Ω2

內(nèi)的概率為(

)A.1

B.18

4C.34D.78解析答案解析

如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD，2

2易知C(－1，3)，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P＝S四邊形OACDS△OAB＝2－12

84＝7.答案

D(3)如圖，矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲線f(x)＝sin

x和余弦曲線g(x)＝cos

x在矩形

ABCD內(nèi)交于點F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是()A.1＋

2πB.1＋

22π1C.π1D.2π解析答案解析

根據(jù)題意，可得曲線

y＝sin

x

與

y＝cos

x

圍成的區(qū)域的面積為π4π

(sin

x－cosx)dx＝(－cos

x－sin

x)2π4＝1－––

2

22

2＝1＋

2.由幾何概型概率公式得該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是1＋2π2

故選B..又矩形ABCD的面積為2π，答案

B例5

在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1

內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離正解析

V

＝23＝8，V半球2

3

3＝1×4π×13＝2π，V正

8×312V半球＝

2π

＝

π

，12故點P

到O

的距離大于1

的概率為1－π

.1－

π大于1的概率為

12

.與體積有關(guān)的幾何概型題型三解析答案思維升華求解與體積有關(guān)問題的注意點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.思維升華3＝1·S△ABD16·AA

＝1·S矩形ABCD16長方體·AA

＝1V

，故所求概率為6＝

.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，1則此動點在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為

6

.解析

因為VA-

A1BDA1

-

ABD=

V

1

VA-A

BD

1V長方體跟蹤訓(xùn)練3解析答案返回易錯警示系列典例

(12分)在長度為1的線段上任取兩點，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率.易錯分析

不能正確理解題意，無法找出準確的幾何度量來計算概率.易錯警示系列18.混淆長度型與面積型幾何概型致誤易錯分析解析答案返回溫馨提醒規(guī)范解答解

設(shè)x、y表示三段長度中的任意兩個.因為是長度，所以應(yīng)有0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)對應(yīng)著坐標系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點的三[4分]角形內(nèi)的點，如圖所示.要形成三角形，由構(gòu)成三角形的條件知x＋y>1－x－y，1－x－y>x－y，1－x－y>y－x，返回溫馨提醒解析答案所以x<1，y<1，且x＋y>1，2

2

2故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件.[8分]4因為陰影部分的三角形的面積占大三角形面積的1，4故這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為1.[12

分]返回溫馨提醒解決幾何概型問題的易誤點：不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導(dǎo)致錯誤.利用幾何概型的概率公式時，忽視驗證事件是否具有等可能性，導(dǎo)致錯誤.溫馨提醒返回思想方法 感悟提高區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結(jié)果和點對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式.(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可；方法與技巧若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關(guān)的幾何概型.準確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵；幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.失誤與防范返回練出高分1.(2014·湖南)在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15C.2D.15

5解析

在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則

X≤1，即－2≤X≤1

的5概率為P＝3.(

B

)A.4

B.35

5解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

154A.12B.1C.23

5D.354則－1≤x≤2，故所求概率為2－(－1)34－(－1

＝5.)2.在區(qū)間[－1,4]內(nèi)取一個數(shù)

x，則

2x－x2≥1的概率是(

D

)2

1解析

不等式

2x-x

≥

，可化為

x2－x－2≤0，解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A.1

B.1

C.1

D.23.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(

C

)6

3

2

3解析

如圖，當BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，△ABD為鈍角三角形.所以△ABD

為鈍角三角形的概率為1＋2＝1.6

2解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

154.設(shè)不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D

內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2

的概率是(πA.4

B.π－224－πC.π

D.6

4解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域

D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域.4易知該陰影部分的面積為4－π.因此滿足條件的概率是4－π，故選D.D

)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A.1

B.1

C.1

D.12

3

4

6解析

根據(jù)題意由定積分的幾何意義可得如圖所示陰影部分的面積為

S023323＝?1(

x－x2)dx＝

x

－

x

|3

1

01

13＝

，所以點M

取自陰影部分的概率為SS正方形OABC131×13＝

＝1.5.從如圖所示的正方形OABC區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x，y)，則點M取自陰影部分的概率為(

B

)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15圓柱 半球2

3

3解析

V

＝2π，V

＝1×4π×13＝2π，V圓柱3V半球＝1，3故點P

到O

的距離大于1

的概率為2.6.有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為2

3

.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1314

152∴所求的概率為P＝1.x2

y27.在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個數(shù)，記為m

和n，則方程m2＋n2＝11表示焦點在

x

軸上的橢圓的概率是

2

.x2

y2解析

∵方程m2＋n2＝1

表示焦點在

x

軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

158.隨機地向半圓0<y< 2ax－x2(a

為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x

軸的夾角4小于π的概率為

.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A的面積由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝半圓的面積＝21

14πa

＋2a212πa22

π＝1＋1.答案1＋12

π解析

半圓域如圖所示：4設(shè)A表示事件“原點與該點的連線與x

軸的夾角小于π，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15三角形2則點

P應(yīng)落在深色陰影部分，S

＝1×6×52－322＝12，三個小扇形可合并成一個半圓，故其面積為π，12－π12故點

P

到三個頂點的距離都不小于

1

的概率為

2＝24－π24.9.隨機向邊長為5,5,6的三角形中投一點P，則點P到三個頂點的距離都不24－π小于1的概率是

24

.解析

由題意作圖，如圖解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1510.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為

1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；解

將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36(個)；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以滿足a·b＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個；36

12故滿足a·b＝－1

的概率為3

＝

1

.解析答案(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率.解

若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本事件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；畫出圖形如圖，矩形的面積為S矩形＝25，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15陰影2陰影部分的面積為S

＝25－1×2×4＝21，故滿足a·b<0

的概率為2125.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15D.

π90A.

π

B.

π

C.

π180

150

120解析

屋子的體積為5×4×3＝60立方米，捕蠅器能捕捉到的空間體積為1×4π×13×3＝π立方米.8

3

2π60

120故蒼蠅被捕捉的概率是

2

＝

π

.11.一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是(C

)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

151112.(2015·湖北)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)

x，y，記

p

為事件“x＋y≥2”2

3的概率，p

為事件“|x－y|≤2”的概率，p

為事件“xy1

1≤2”的概率，則(

)A.p1<p2<p3C.p3<p1<p2B.p2<p3<p1D.p3<p2<p1解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析

如圖，點(x，y)所處的空間為正方形OBCA表示的平面區(qū)域(包括其邊界)，故本題屬于幾何概型中的“面積比”型.分別畫出三個事件對應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形面積的大小估算概率的大小.滿足條件的x，y構(gòu)成的點(x，y)在正方形OBCA及其邊界上.1事件“x＋y≥2”對應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

151事件“|x－y|≤2”對應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分1事件“xy≤2”對應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分.對三者的面積進行比較，可得p2<p3<p1.答案

B1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1513.(2014·遼寧)正方形的四個頂點A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是

.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8