曲線的凸性與函數(shù)作圖

曲線的凸性與函數(shù)作圖第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1曲線的凸性向上凸的向下凸的第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月如何定義函數(shù)的這種特性呢？先看向上凸的。第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定義第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凸的;(2)若恒有則稱圖形是凹的.函數(shù)凸性的等價定義第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月引理f為I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上的任意三點，總有

必要性

即證即由的凸性易知上式成立充分性

在I上任取兩點上任取一點第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月由必要性的推導(dǎo)逆過程，可證得故f為上的凸函數(shù)。注同理可證，f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是：對于I上任意三點第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.1'

設(shè)f(x)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，則下述論斷互相等價：證明：

要證f'(x)為I上的遞增函數(shù),I上兩點及充分小的正數(shù)h，證明只需任取成立,由f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，令時便可得結(jié)論.第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月由于根據(jù)f的凸性及引理有應(yīng)用拉格朗日中值定理得到結(jié)論,第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月分別用λ和(1-λ)乘上列兩式并相加，便得從而f(x)為I上的凸函數(shù)。注曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方對于凹函數(shù)，同樣有類似的結(jié)論。論斷的幾何意義是：第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.1設(shè)函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充分必要條件是：（凹函數(shù)）在區(qū)間I單調(diào)增加（單調(diào)減少）。證明：必要性：設(shè)f為I上的凸函數(shù)，則第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月充分性：從而f為I上的凸函數(shù)，第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.2(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凸的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凹的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.判斷曲線的凸性.解:故曲線在上是下凸的.例2.判斷曲線的凸性.解:故曲線在上是上凸的.在上是下凸的.第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地說，函數(shù)可能在它的定義域里的某些區(qū)間是凹的，在另一些區(qū)間是凸的，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的凹凸區(qū)間,討論函數(shù)的凹凸區(qū)間，關(guān)鍵是找出凹凸區(qū)間的分界點,由上述定理知，二階導(dǎo)數(shù)在其兩側(cè)異號的點——二階導(dǎo)數(shù)為零的點、不連續(xù)的點和一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點都是可能凹凸區(qū)間的分段點,第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例討論函數(shù)的凸(凹)性區(qū)間.解由于因而當(dāng)時，從而在上f為凸函數(shù)，第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月故對任意的x(a,b),總有即x0為f(x)在(a,b)內(nèi)的極小值點（而且為最小值點）。例若函數(shù)f(x)為定義在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的可導(dǎo)的凸（凹）函數(shù)，則為f的極?。ù螅┲迭c的充要條件是為的穩(wěn)定點，即。證下面只證明f為凸函數(shù)的情形。必要性已由費馬定理給出，現(xiàn)在證明充分性。由定理5.1'，任取（a,b）內(nèi)的一點它與x0一起有第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例(詹森（Jensen）不等式)若f(x)為[a,b]上凸函數(shù)，則對任意有證用歸納法,當(dāng)n=2時,由凸函數(shù)定義命題顯然成立,設(shè)n=k時命題成立,即都有第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月,由歸納法假設(shè)可推得證畢。第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，a,b,c均為正數(shù)。證

由f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)，依詹森不等式有第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)f(x)為開區(qū)間I內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，證明:f(x)在I內(nèi)任一點x0都存在左、右導(dǎo)數(shù)。證下面只證凸函數(shù)f(x)在x0存在右導(dǎo)數(shù)，同理可證也存在左導(dǎo)數(shù)和f(x)為凹函數(shù)的情形。由引理有由上式可見F為增函數(shù),則對任何h>0,因而函數(shù)F(h)在h>0上有下界,第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月注1

若是曲線的一個拐點，在的導(dǎo)數(shù)不一定存在．例如在x=0處。注2與函數(shù)的極值點不同，拐點是從幾何角度定義的，是平面上的點，必須用兩個坐標(biāo)來表示,注3

曲線的拐點就是凹凸區(qū)間的分界點,因此應(yīng)在使得y''=0和二階不可導(dǎo)點所對應(yīng)的曲線上的點中找拐點,注4

設(shè)f在x0的某鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向下凸,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凸凸凹第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

.例曲線的下凸區(qū)間是上凸區(qū)間是拐點為提示:及

;

;第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月有位于一直線的三個拐點.例求證曲線證明：第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月無漸近線.點M

與某一直線L的距離趨于0,5.2

曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點M沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時,則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或為“縱坐標(biāo)差”第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.斜漸近線斜漸近線若第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點;4.求漸近線;5.確定某些特殊點,描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點;并考察其對稱性及周第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

描繪的圖形.解:1)定義域為無對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點）(極小)4)第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.描繪方程的圖形.解:1)定義域為2)求關(guān)鍵點第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無定義第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月又因即5)求特殊點為斜漸近線第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點無定義第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.描繪函數(shù)的圖形.解:1)定義域為圖形對稱于

y

軸.2)求關(guān)鍵點3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點)第42頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月(極大)(拐點)為水平漸近線5)作圖4)求漸近線第43頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)