大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理

2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在自然界中，有很多的現(xiàn)象是不能用我們以前所學(xué)的知識(shí)所能解決的－研究動(dòng)機(jī)比如我們?cè)谀鸵轰\蝕腐蝕合金研究過(guò)程中，它是由許多種元素配合，再通過(guò)高溫熔煉而成。可以用多少種成份來(lái)配料，熔煉溫度需要多高，后續(xù)如何處理？這些往往都是未知數(shù)。而且沒(méi)有一定的規(guī)律可言。那就需要我們進(jìn)行大量的試驗(yàn)來(lái)尋找它的配方及燒制溫度。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中將要利用各種方法對(duì)樣品進(jìn)行分析測(cè)試，產(chǎn)生許多測(cè)量數(shù)據(jù)。按測(cè)量值獲得的方法分為：直接測(cè)量、間接測(cè)量和組合測(cè)量直接測(cè)量：如用米尺測(cè)量長(zhǎng)度間接測(cè)量：利用直接測(cè)量結(jié)果，根據(jù)特定關(guān)系計(jì)算特定物理量，如晶面間距測(cè)量組合測(cè)量：測(cè)量長(zhǎng)寬，計(jì)算面積大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理第二章實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

在自然科學(xué)領(lǐng)域，常用函數(shù)表達(dá)變量之間的數(shù)量關(guān)系例如擴(kuò)散層厚度與時(shí)間的關(guān)系，利用公式便于分析規(guī)律如何利用有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)近似公式,這就是參數(shù)擬合問(wèn)題。確定參數(shù)的方法主要有最小二乘法和最大似然法。如要判斷一組數(shù)據(jù)是否在某個(gè)精度范圍內(nèi)與理論公式一致,就是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。采用代數(shù)多項(xiàng)式來(lái)表示復(fù)雜的函數(shù),可用插值法大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理§2.1誤差理論簡(jiǎn)介

誤差的含義絕對(duì)誤差相對(duì)誤差置信區(qū)間貝葉斯理論區(qū)間估計(jì)不同分布樣本的區(qū)間估計(jì)

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理一、誤差的含義可以通過(guò)一定的試驗(yàn)測(cè)試或運(yùn)算用估計(jì)值表示理論值的近似值。試驗(yàn)值（估計(jì)值）與理論值（真值）之間的差值稱(chēng)絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。真值往往很難得到，因而誤差的絕對(duì)值也是無(wú)法知道的。但是根據(jù)測(cè)量工具或計(jì)算情況可以估計(jì)誤差值上限或估計(jì)值的精確程度。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理相對(duì)誤差誤差限的大小還不能完全表示近似值的好壞，如10±1與1000±5兩個(gè)量，雖然前者絕對(duì)誤差較小，但是顯然后者更精確。所以除了考慮誤差的大小以外，還應(yīng)考慮準(zhǔn)確值本身的大小，誤差與準(zhǔn)確值的比值稱(chēng)為近似值的相對(duì)誤差。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差由于某種原因所產(chǎn)生，并遵循一定的規(guī)律進(jìn)行變化.例如，隨樣品或試劑用量的大小按比例進(jìn)行變化.系統(tǒng)誤差有一定的指向，例如稱(chēng)量一種吸濕性物質(zhì)，其誤差總是正值.它屬于方法和技術(shù)問(wèn)題，知道了產(chǎn)生的原因，便可消除或修正，所以此種誤差也稱(chēng)可定誤差.隨機(jī)誤差在相同條件下重復(fù)多次測(cè)定同一物理量時(shí)，誤差大小或正負(fù)變化純屬偶然而毫無(wú)規(guī)律，這種誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差，也叫偶然誤差.大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)重現(xiàn)性單向性數(shù)值基本恒定系統(tǒng)誤差可以校正?？捎靡欢ǖ姆椒ㄏ４笪飳?shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理隨機(jī)誤差分布隨機(jī)誤差是不可預(yù)測(cè)、不可避免的根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)誤差服從高斯分布（正態(tài)分布）隨機(jī)誤差具有單峰性：較小誤差出現(xiàn)的幾率較大對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的幾率相等有界性：大誤差出現(xiàn)的幾率較低因此，測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，均值會(huì)趨于真值大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理隨機(jī)誤差的估算算術(shù)平均誤差用算術(shù)平均代替真值，可以計(jì)算絕對(duì)誤差的平均值。標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）反映數(shù)據(jù)偏離真值的分散程度，即均值與真值之間的接近程度。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理幾個(gè)精度概念精密度：多次測(cè)量結(jié)果之間的符合程度，反映隨機(jī)誤差的大小，重現(xiàn)性正確度：系統(tǒng)誤差的大小準(zhǔn)確度：測(cè)量值與真值的一致程度，反映系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在熱工、電工儀表中，正確度等級(jí)一般都用引用誤差來(lái)表示，通常分為0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七級(jí)。例如，某儀表正確度等級(jí)為R級(jí)（引用誤差R%），滿(mǎn)量程的刻度為X，實(shí)際使用時(shí)的測(cè)量值為x（x≤X），則大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理通過(guò)上面的分析，可知為了減少儀表測(cè)量的誤差，提高正確度，應(yīng)該使儀表盡可能在靠近滿(mǎn)量程刻度的2/3以上的區(qū)域內(nèi)使用的原則。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度的方法

減少系統(tǒng)誤差的途徑

對(duì)照實(shí)驗(yàn)空白實(shí)驗(yàn)校準(zhǔn)儀器校正方法

減少偶然誤差的途徑

多次測(cè)量、取平均值

防范過(guò)失！

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理粗大誤差粗大誤差也稱(chēng)過(guò)失誤差，是一種不應(yīng)發(fā)生，而僅由于粗心、疏忽等引起的誤差。往往是由于非正常實(shí)驗(yàn)條件或非正常操作所造成的.如測(cè)量時(shí)對(duì)錯(cuò)了標(biāo)志,誤讀了數(shù)碼,實(shí)驗(yàn)儀器未達(dá)到預(yù)想的指標(biāo)，記錄計(jì)算錯(cuò)誤，加錯(cuò)了試劑等粗大誤差的數(shù)值遠(yuǎn)大于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，實(shí)際上已超出了誤差范圍含有粗差的測(cè)量值常稱(chēng)為壞值或異常值,應(yīng)予以剔除,否則會(huì)影響結(jié)果大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理壞值剔除用統(tǒng)計(jì)法進(jìn)行壞值剔除的基本思想是：給定一顯著性水平，并確定一門(mén)限值，凡超過(guò)這個(gè)門(mén)限的誤差就認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差的范疇，而是粗差，并予以剔除.大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理拉依達(dá)(Ρайта)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則又被簡(jiǎn)稱(chēng)為3σ準(zhǔn)則。由于隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律，因此P{|ε|≤3σ}=99.7％有限次測(cè)量誤差超過(guò)3σ的幾率很小，可以剔除由于實(shí)際上σ未知，如果可以剔除，棄真幾率很小大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理例某合金導(dǎo)線(xiàn)的電阻值測(cè)量次序電阻值/W測(cè)量次序電阻值/W測(cè)量次序電阻值/W140.42940.401740.42240.431040.431840.41340.381140.421940.39440.441240.432040.39540.461340.392140.30640.421440.362240.42740.401540.402340.43840.431640.432440.43大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理24個(gè)測(cè)量值的均值為40.4124個(gè)測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差S＝0.03213S＝0.0963與平均值偏差最大的是21次測(cè)量結(jié)果40.30，偏差＝0.11，超過(guò)3S，壞值去掉該值后，均值40.41，S＝0.0225偏差最大（5，14）0.05<3S，有效大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理肖維勒準(zhǔn)則肖維勒認(rèn)為，在n次測(cè)量中，某誤差可能出現(xiàn)的次數(shù)小于半次時(shí)，則舍去這個(gè)誤差值。誤差等于或大于δ出現(xiàn)的相對(duì)頻數(shù)可近似地取為1-Pδ測(cè)量次數(shù)為n，誤差等于或大于出現(xiàn)的次數(shù)為n(1-Pδ)<0.5實(shí)用上,如果誤差ε>ωS，即可判斷為粗差大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Chauvenet系數(shù)的數(shù)值表

ninini34567891011121.381.531.651.731.801.861.921.962.002.03131415161718192021222.072.102.132.152.172.202.222.242.262.28232425304050751002005002.302.312.332.392.492.582.712.813.023.20大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Grubbs準(zhǔn)則

格拉布斯(F．E．Grubbs)準(zhǔn)則同樣適用于對(duì)同一參數(shù)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量得到的一列測(cè)量數(shù)據(jù)的處理。這個(gè)準(zhǔn)則經(jīng)蒙持卡羅法考驗(yàn)后，認(rèn)為是最有效的判別方法。同上，當(dāng)時(shí)則認(rèn)為xi是含有粗值的壞值，應(yīng)予剔除大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Grubbs系數(shù)數(shù)值表nnn0.010.050.010.050.010.05345678910111.151.491.751.912.102.222.322.412.481.151.461.671.821.912.032.112.182.241213141516171819202.552.612.662.702.742.782.822.852.882.292.332.372.412.412.472.502.532.562122232425303540502.912.942.952.993.013.103.183.213.342.582.602.622.642.662.742.812.872.96大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理t檢驗(yàn)法該準(zhǔn)則又可稱(chēng)為羅曼諾夫準(zhǔn)則。當(dāng)測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來(lái)判斷粗大誤差較為合理。t檢驗(yàn)準(zhǔn)則的原則是：首先剔除一個(gè)與均值偏離最大的數(shù)據(jù)，然后對(duì)剩余的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，以判定該次剔除是否合理，即判定已被剔除的那個(gè)數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理在剔除某一數(shù)據(jù)xi后，重新計(jì)算均值和方差，如果時(shí)，剔除壞值xi其中T為t分布，自由度f(wàn)=n-2大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Dixon準(zhǔn)則狄克松(Dixon)準(zhǔn)則采用了極差比的方法，不必求方差。對(duì)于某一等精度重復(fù)測(cè)量，按測(cè)量值的大小排列為

x1＜x2＜…＜xn如果上述測(cè)量值中有含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)，首先值得懷疑的是x1、xn。狄克松首先定義了一個(gè)與x1，xn和、n有關(guān)的極差比統(tǒng)計(jì)量f(f的計(jì)算公式見(jiàn)表)，如果

f＞臨界值f(a,n)則認(rèn)為在顯著性水平下，x1、xn含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。狄克松準(zhǔn)則一次能判別兩個(gè)數(shù)據(jù)x1，xn

，如果這兩個(gè)數(shù)據(jù)都不含粗大誤差，判斷結(jié)束。如果這兩個(gè)數(shù)據(jù)中有含粗大誤差的數(shù)據(jù)，則予以剔除。剔除后的數(shù)據(jù)列當(dāng)做新的數(shù)據(jù)列，重新進(jìn)行判斷大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有效數(shù)字

有效數(shù)字是指在實(shí)驗(yàn)中實(shí)際上能測(cè)量到的數(shù)字。記錄數(shù)字和計(jì)算結(jié)果時(shí)究竟應(yīng)該保留幾位數(shù)字，必須根據(jù)測(cè)量方法和使用儀器的準(zhǔn)確程度來(lái)決定。在記錄數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果時(shí)，所保留的有效數(shù)字中，只有最后一位是可疑的數(shù)字。稱(chēng)量瓶質(zhì)量：10.373g，10.3732g，10.37321g10.3732±0.0001g

鹽酸溶液體積：24.2mL，24.21mL，24.213mL24.21±0.01mL

有效數(shù)字的位數(shù)直接與測(cè)定的相對(duì)誤差有關(guān)！在測(cè)量準(zhǔn)確度的范圍內(nèi)，有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量也越準(zhǔn)確。但超過(guò)測(cè)量準(zhǔn)確度的范圍后，過(guò)多的數(shù)字是沒(méi)有意義的。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，只保留一位可疑數(shù)字；當(dāng)有效數(shù)字位數(shù)確定后，(計(jì)算結(jié)果中的)其余數(shù)字應(yīng)舍去

修約方法：四舍六入五留雙

原有數(shù)據(jù)：3.14243.21565.62354.6245

四位有效數(shù)據(jù)：3.1423.2165.6244.624

當(dāng)?shù)谝晃挥行?shù)字大于或等于8，其有效數(shù)字可以多算一位。三位有效數(shù)據(jù)：3.14

四位有效數(shù)據(jù)：9.37大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理實(shí)驗(yàn)結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果最常用的表示方式是均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。前者表征測(cè)試量的大小，后者表征測(cè)試的精密度。與之有關(guān)的是有效位的取舍.所謂有效位是指某種測(cè)量所達(dá)到的精度.如下列測(cè)試值：10.09,10.11,10.09,10.10和10.12，其均值為10.102，標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0130.但測(cè)試值僅準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后面第一位，而第二位為可疑位，故結(jié)果的表示為：大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有效數(shù)字及計(jì)算規(guī)則

當(dāng)幾個(gè)數(shù)據(jù)相加減時(shí)，其有效數(shù)字的保留應(yīng)以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)為依據(jù)。

32.1

416.9

＋3.235–12335.335

35.3

293.9294大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有效數(shù)字及計(jì)算規(guī)則

在大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算中，為使誤差不迅速積累，對(duì)參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)可以多保留一位有效數(shù)字。待運(yùn)算完成后在進(jìn)行舍入。

5.2727＋0.075＋3.7＋2.12

5.27

＋0.08

＋3.7＋2.12＝

11.17

＝

11.2大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理有效數(shù)字及計(jì)算規(guī)則

當(dāng)幾個(gè)數(shù)據(jù)相乘除時(shí)，其有效數(shù)字的保留應(yīng)以有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)數(shù)為依據(jù)。

0.0121×25.64×1.05782

0.0121×25.6×1.06=0.3280.0121×25.64

×1.058

=0.3282=0.328大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理二、置信度與置信區(qū)間設(shè)一未知參數(shù)X(例如材料的硬度),雖然其精確值未知，但是可由若干試驗(yàn)值（樣本）估計(jì)它在某個(gè)范圍內(nèi)。如果有區(qū)間[x1,x2]，對(duì)于給定值m（0<m<1），X值在X1-X2之間出現(xiàn)的概率滿(mǎn)足P(X1≤X≤X2)=m則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間[x1,x2]是X的100m%置信區(qū)間，X1是置信下限，X2是置信上限，百分?jǐn)?shù)100m%稱(chēng)為置信度。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理置信區(qū)間舉例假如真值為Xo，擬合出參數(shù)的值X±ΔX,意味著在某個(gè)概率下,多次測(cè)量的X估計(jì)值(近似等于Xo)可以落在以上范圍內(nèi)。如果估計(jì)值X服從正態(tài)分布,X在某范圍(如[X1,X2]區(qū)間)選值的概率等于高斯概率密度曲線(xiàn)下X1到X2的面積。若采用標(biāo)準(zhǔn)誤差σ和測(cè)量值X來(lái)表示測(cè)得的真值Xo范圍,則P(X

-σ≤Xo≤X

+σ)≈0.68P(X

-2σ≤Xo≤X

+2σ)≈0.95P(X

-3σ≤Xo≤X

+3σ)≈0.9974顯然，區(qū)間越寬，置信度越高。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理三、不同分布的區(qū)間估計(jì)1.對(duì)于正態(tài)分布樣本，可以用若干樣本平均值估計(jì)總體平均值大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理舉例大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理例二如果方差未知，可以用樣本方差s作為總體方差σ的近似值，樣本均值與整體均值之間服從t分布。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理例3鋼中Cr含量的5次測(cè)定結(jié)果(%)為1.12，1.15，1.11，1.16，1.12。根據(jù)這批數(shù)據(jù)估計(jì)Cr的含量范圍(90%)。[1.10,1.16]大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理normfit[MU估計(jì)值,SIGMA估計(jì)值,MU區(qū)間,SIGMA區(qū)間]=normfit(x,alpha)對(duì)給定數(shù)據(jù)x，在置信度100(1-)％條件下給出正態(tài)分布參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)該函數(shù)輸入變量最多2個(gè)，第2參數(shù)的缺省值=0.05對(duì)應(yīng)于置信度90%（雙邊）或95%（單邊）。函數(shù)的輸出值最多可以有4個(gè)，可以選擇前1～4個(gè)作為輸出結(jié)果。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理2.0-1分布參數(shù)的估計(jì)

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理舉例大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理binofitbinofit對(duì)二項(xiàng)分布數(shù)據(jù)參數(shù)和置信區(qū)間估計(jì)binofit(x,n)對(duì)于給定數(shù)據(jù)X返回取1的幾率[phat,pci]=binofit(x,n,alpha)給出極大似然估計(jì)值和100(1-)%置信區(qū)間缺省值

=0.05對(duì)應(yīng)于90%置信區(qū)間（雙邊）或95%（單邊）。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理3.契比雪夫不等式

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理變量之間的關(guān)系分為兩類(lèi)。一類(lèi)是確定性關(guān)系，如函數(shù)關(guān)系。另一類(lèi)是非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量x確定以后，因變量y并不確定，而是符合一定分布的隨機(jī)變量。二者的關(guān)系可以表示為y=f(x)+,隨機(jī)項(xiàng)~N(0,1)，f(x)是確定函數(shù)，稱(chēng)為回歸函數(shù)?；貧w分析的任務(wù)一是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式、散點(diǎn)圖等確定回歸函數(shù)；還要檢驗(yàn)回歸函數(shù)是否合理；回歸的目的是用f(x)預(yù)測(cè)和決策。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理如果通過(guò)試驗(yàn)得到了一組樣本觀察值（試驗(yàn)值），自然希望利用這組數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的值，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)為點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題。例如歌手大獎(jiǎng)賽評(píng)分方法，去掉若干最高最低，然后求平均值，估價(jià)歌手的水平。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)值的求法有很多，如常用的數(shù)字特征法，用樣本的數(shù)字特征，如平均值、方差等估計(jì)總體的數(shù)字特征。順序統(tǒng)計(jì)量法是一種簡(jiǎn)便方法，將樣本按大小順序排列，取居中的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平均值作為總體均值的估計(jì)值、用最大值與最小值的差值估計(jì)數(shù)據(jù)的離散程度。最小二乘法和最大似然法是求出未知參數(shù)值的有效的方法。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理§2.2最小二乘法

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，常常需要從一組測(cè)定的數(shù)據(jù)（xi,yi）去求自變量x和因變量y的近似函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。從圖形上看,就是由給定的N個(gè)點(diǎn)（xi,yi）（i=1,2,…,n）求曲線(xiàn)擬合的問(wèn)題。實(shí)際上實(shí)驗(yàn)中所得到的數(shù)據(jù)總是有測(cè)試誤差的,因此并不要求曲線(xiàn)通過(guò)所有的點(diǎn)。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理最小二乘法原理曲線(xiàn)擬合是要求畫(huà)出一條近似曲線(xiàn),盡可能從給定點(diǎn)的附近通過(guò)，能反映給定數(shù)據(jù)的一般趨勢(shì),但是盡量不出現(xiàn)局部波動(dòng)。最小二乘法是參數(shù)估計(jì)的一種方法，可用來(lái)求這樣的近似曲線(xiàn)。對(duì)于含有觀測(cè)誤差的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，這樣的處理可以部分抵消數(shù)據(jù)中含有的觀測(cè)誤差。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理最小二乘法大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理誤差選取大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理1.直線(xiàn)擬合(線(xiàn)性回歸)

如果由試驗(yàn)得到的一組數(shù)據(jù)(xi,yi)在平面x-y上畫(huà)出的曲線(xiàn)與直線(xiàn)差不多，就可以用直線(xiàn)y=a+bx去擬合。問(wèn)題就變?yōu)檫x擇適當(dāng)?shù)膮?shù)a和b，使得取得最小值。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理直線(xiàn)擬合算法大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理2.代數(shù)多項(xiàng)式擬合(回歸)

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理代數(shù)多項(xiàng)式擬合算法大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理多項(xiàng)式次數(shù)從這個(gè)方程組可以求出系數(shù)aj即可得到所要求的m次多項(xiàng)式曲線(xiàn)方程。當(dāng)m值較大時(shí)，以上方程的系數(shù)行列式將減小，使方程組出現(xiàn)病態(tài)，因而一般多項(xiàng)式擬合最高次數(shù)只取到m=4-5。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理3.線(xiàn)性模型的推廣大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Curvefittoolbox利用曲線(xiàn)擬合工具箱可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行各種函數(shù)形式的擬合，如多項(xiàng)式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、高斯擬合等在命令窗口利用函數(shù)a=polyfit(x,y,n)返回n次多項(xiàng)式的系數(shù)；大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Matlab－矩陣除法利用矩陣除法可求解超定、欠定方程。矩陣除法可以實(shí)現(xiàn)特殊形式的回歸例如，求一形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式中的系數(shù) 例如已知x,y的5個(gè)值，

令x1=[ones(5,1),(x.^2)‘]；

ab=x1\y‘即可得到系數(shù)a,b大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理4多元線(xiàn)性擬合最小二乘法可以推廣到二元、甚至多元線(xiàn)性擬合。設(shè)因變量為y，兩個(gè)自變量分別為x1和x2，假設(shè)已通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得一系列數(shù)據(jù)為(yi,x1i,x2i),i=1,2,3……n則二元線(xiàn)性回歸方程可表示為y＝a+b1x1+b2x2式中a為常數(shù)項(xiàng),b1和b2分別為y對(duì)x1和x2的偏回歸系數(shù)。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理殘差平方和根據(jù)最小二乘法的原理，令殘差平方和最小，可求得這些參數(shù)。對(duì)相關(guān)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方程組的簡(jiǎn)化形式大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Regress函數(shù)利用統(tǒng)計(jì)工具箱命令regress實(shí)現(xiàn)多元線(xiàn)性回歸調(diào)用格式為b=regress(y,x)或[b,bint,r,rint,stats]=regess(y,x,alpha)，alpha為顯著性水平(缺省時(shí)設(shè)定為0.05)輸出向量b，bint為回歸系數(shù)估計(jì)值和它們的置信區(qū)間，r，rint為殘差及其置信區(qū)間stats是用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值，第一個(gè)是R2，其中R是相關(guān)系數(shù)，第二個(gè)是F統(tǒng)計(jì)量值，第三個(gè)是與統(tǒng)計(jì)量F對(duì)應(yīng)的概率P，當(dāng)P<α?xí)r拒絕H0，回歸模型成立。用命令rcoplot(r，rint)畫(huà)出殘差及其置信區(qū)間，大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Excel回歸1將數(shù)據(jù)錄入excel表格2用圖表向?qū)М?huà)出散點(diǎn)圖，3然后用右鍵點(diǎn)擊數(shù)據(jù)點(diǎn)，添加趨勢(shì)線(xiàn)，注意選擇合適的類(lèi)型4用右鍵點(diǎn)擊趨勢(shì)線(xiàn)，從趨勢(shì)線(xiàn)選項(xiàng)中可以選擇顯示公式和相關(guān)系數(shù)R大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理利用數(shù)據(jù)分析工具加載宏（分析工具庫(kù)）以后，工具中會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)分析命令,從中選擇“回歸”可以進(jìn)行多元線(xiàn)性回歸分析利用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，也可以進(jìn)行多項(xiàng)式回歸或多元非線(xiàn)性回歸分析大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理數(shù)據(jù)區(qū)域選擇大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理回歸結(jié)果Z=3.9178E-13+1x+1y+/-s大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理5預(yù)測(cè)利用回歸方程可以進(jìn)行預(yù)測(cè)：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)回歸方程計(jì)算結(jié)果自然是一個(gè)點(diǎn)估計(jì),如y0=x0.實(shí)際應(yīng)用中，可能還需要估計(jì)目標(biāo)的區(qū)間對(duì)于n個(gè)數(shù)據(jù)得到的p元線(xiàn)性回歸大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理預(yù)測(cè)目標(biāo)的區(qū)間估計(jì)利用分布置信度1-的置信區(qū)間為大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理多元線(xiàn)性回歸是數(shù)據(jù)分析的強(qiáng)有力工具，建立一個(gè)模型是一個(gè)復(fù)雜過(guò)程。根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)背景，確定有關(guān)變量：舍棄誤差大，不重要、相關(guān)數(shù)據(jù)要收集足夠數(shù)量（>10倍自變量）高精度的數(shù)據(jù)；預(yù)分析：根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)確定自變量的高次項(xiàng)及交叉乘積是否進(jìn)入模型，是否需要數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，檢驗(yàn)全變量線(xiàn)性關(guān)系是否顯著，利用殘差分析等手段考察誤差分布的正態(tài)性、等方差性假定是否合理？確定回歸關(guān)系形式后，選擇影響顯著的變量，確定最優(yōu)回歸方程大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理§2.3假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類(lèi)重要問(wèn)題，它是根據(jù)樣本的信息來(lái)判斷一組數(shù)據(jù)是否在某個(gè)精度范圍內(nèi)與理論公式一致,或判斷總體分布是否具有指定特征。假設(shè)檢驗(yàn)包括參數(shù)檢驗(yàn)和分布檢驗(yàn)。參數(shù)檢驗(yàn)是在假設(shè)是正確的情況下，計(jì)算得到擬合參數(shù)的幾率。如果該幾率較大，則接受假設(shè)，反之則放棄假設(shè)。實(shí)際工作中一般采用分布假設(shè)。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理1.分布律的檢驗(yàn)分布律檢驗(yàn)的原理是Pearson平方和準(zhǔn)則假設(shè)n個(gè)樣本來(lái)自分布為F(x)的總體；將實(shí)數(shù)域分成k個(gè)區(qū)間，若樣本落在第i個(gè)區(qū)間的次數(shù)為mi,而根據(jù)分布律計(jì)算得到的概率為pi大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理分布律檢驗(yàn)選取統(tǒng)計(jì)量式中r為需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值查表得臨界值如果一般可以接受這種分布假設(shè)，反之拒絕假設(shè)大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理2.均值估計(jì)大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理均值估計(jì)示例大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理U檢驗(yàn)法（）Ztest樣本均值與一常數(shù)進(jìn)行比較[h,p,ci,zval]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)h=0接受原假設(shè)，h=1拒絕原假設(shè)m均值，tail=0,1,-1對(duì)應(yīng)于備選假設(shè)為不等于、大于和小于m大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理T檢驗(yàn)法（方差未知）ttest:樣本均值與一常數(shù)進(jìn)行比較matlab函數(shù)用法與ztest相似[H,P,CI,STATS]=ttest(x,m,alpha,tail)判斷來(lái)自于正態(tài)分布的X均值是否為m.缺省值m=0,=0.05，tail=0原假設(shè):均值＝m對(duì)于tail=0,備選假設(shè):均值不等于m.對(duì)于tail=1,備選假設(shè):均值大于m對(duì)于tail=-1,備選假設(shè):均值小于m大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理3.以誤差判斷擬合質(zhì)量

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理4.回歸分析

回歸（擬合）可以由最小二乘法實(shí)現(xiàn)，matlabpolyfit回歸方程的質(zhì)量常用相關(guān)系數(shù)和F檢驗(yàn)作為評(píng)估指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)用如下公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)用以描述兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)的密切程度。絕大部分R值在0-1之間。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理相關(guān)系數(shù)與樣品個(gè)數(shù)相關(guān)系數(shù)與樣品的抽樣個(gè)數(shù)有關(guān)。對(duì)于一定觀察次數(shù)n，相關(guān)系數(shù)必須大于一定值所擬合的直線(xiàn)才有意義，此時(shí)我們稱(chēng)二者顯著相關(guān)。

觀察次數(shù)n臨界值=5%=1%30.9971.00050.8780.957100.6320.765200.4440.561300.3610.463500.2730.3541000.1950.2542000.1380.1814000.0980.12810000.0620.081大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理可以證明，當(dāng)XY均服從正態(tài)分布，當(dāng)二者無(wú)關(guān)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量給定顯著性水平，可查表求得臨界值t(n-2)若計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量t>t(n-2)，則可以認(rèn)為XY二者顯著相關(guān)，相關(guān)系數(shù)有效。否則可認(rèn)為XY二者無(wú)關(guān)。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理F檢驗(yàn)大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理復(fù)相關(guān)系數(shù)對(duì)于多元線(xiàn)性回歸，采用復(fù)相關(guān)系數(shù)。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理復(fù)相關(guān)系數(shù)的意義R反映了變量y與多個(gè)變量xi(i=1,2,3……)之間的線(xiàn)性相關(guān)程度。R=0表示x,y之間無(wú)關(guān)，R=1表示x,y二者嚴(yán)格線(xiàn)性相關(guān)。R越大，線(xiàn)性回歸效果越好。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理回歸方程變量個(gè)數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)是總回歸效果的一個(gè)重要指標(biāo)，但是R與回歸方程中自變量個(gè)數(shù)K以及試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)。當(dāng)n值相對(duì)于K不是很大時(shí)，常有較大的R。特別是當(dāng)n=K+1時(shí)，即使K個(gè)自變量與y無(wú)關(guān)，也必然有R=1（Q=0），因此在實(shí)際計(jì)算當(dāng)中必須注意K與n的相對(duì)比例。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，n應(yīng)該比K大4-5以上。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理復(fù)相關(guān)系數(shù)的臨界值統(tǒng)計(jì)量W服從F分布F（k,n-k-1)可根據(jù)置信度大小在F表中查出相應(yīng)的臨界值。當(dāng)計(jì)算的F值大于臨界值則認(rèn)為回歸效果顯著。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理偏相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)表征單個(gè)因素對(duì)因變量的作用大小。偏相關(guān)系數(shù)也可以用普通相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算，即ri越大，說(shuō)明y對(duì)xi的依賴(lài)越顯著，這時(shí)不可將該因素剔除。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理偏相關(guān)系數(shù)的臨界值常用如下統(tǒng)計(jì)量來(lái)衡量該因素的顯著性給定置信度，可以根據(jù)t分布表，查出臨界值t,當(dāng)計(jì)算值W的絕對(duì)值大于臨界值t，則認(rèn)為xj對(duì)y產(chǎn)生顯著影響，不可忽視。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Matlab實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)r=corrcoef(x,y),式中X和Y列向量,等價(jià)于r=corrcoef([xy]).大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理單個(gè)回歸系數(shù)的顯著性利用統(tǒng)計(jì)量式中分子分別為對(duì)第k個(gè)變量回歸系數(shù)的估計(jì)值和系數(shù)值，分母s是系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì),大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理T檢驗(yàn)法大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理單個(gè)回歸系數(shù)的顯著性在k＝0時(shí)，|tk|不應(yīng)過(guò)分偏大。反之，若則可以認(rèn)為在置信度（1－）條件下xk對(duì)結(jié)果有顯著作用大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理單個(gè)回歸系數(shù)的顯著性或選取統(tǒng)計(jì)量akk是(X’X)－1的主對(duì)角線(xiàn)上第k個(gè)元素Fk不應(yīng)過(guò)分偏大。反之，若則可以認(rèn)為在置信度（1－）條件下xk對(duì)結(jié)果有顯著作用大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理5方差分析試驗(yàn)過(guò)程中經(jīng)常需要分析各種方法、參數(shù)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響方差分析是鑒別各個(gè)因素效應(yīng)的一種統(tǒng)計(jì)方法20年代英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家RAFisher首先應(yīng)用到農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中。大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理如果試驗(yàn)時(shí)只有一個(gè)因素在變化，其它可控制的因素都不變，稱(chēng)單因素試驗(yàn)若變化的因素多于一個(gè)，稱(chēng)為雙因素或多因素試驗(yàn)大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理單因素分析模型在同一水平Ai下獨(dú)立觀察ni次，因變量的觀察值服從正態(tài)分布；不同水平的觀察值來(lái)自于不同的正態(tài)總體；除A的水平變化外，盡量控制替他條件相同，即假定各正態(tài)總體具有相同的方差，因素的影響只局限在均值的差異大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理單因素方差分析將試驗(yàn)的變異因素A分成r個(gè)水平，對(duì)每一個(gè)水平進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，列出試驗(yàn)結(jié)果水平試驗(yàn)結(jié)果行均1x11x12…x1n1X12x21x22x2n2X2………………rxr1xr2…xrnrXr大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理

是i

的良好估計(jì)值，SE反映了隨機(jī)誤差ij的影響；稱(chēng)為誤差平方和；SA反映了i(I=1,2,…r)之間的差異程度，反映了各水平效應(yīng)對(duì)觀測(cè)量的影響；稱(chēng)為因素的平方和大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理選取統(tǒng)計(jì)量如果統(tǒng)計(jì)量F<臨界值F,該因素沒(méi)有顯著作用，反之作用顯著。

大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理舉例某學(xué)期本課程三個(gè)班成績(jī)情況1班2班3班均值74.73553.00057.000標(biāo)準(zhǔn)差S12.37017.8479.293人數(shù)242439大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理Se，Sa計(jì)算大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理總平均＝（74.375×24+53×24+57×39）/(24+24+39)=60.690Sa=24*(74.375-60.690)^2+24*(53-60.690)^2+39*(57-60.690)^2=6445Se=23*12.370^2+23*17.847^2+38*9.293^2=14126.92F=(6445/2)/(14126.92/84)=19.16查表?。?.05,F(2,60)=3.15查表?。?.01,F(2,60)=4.98可見(jiàn)三個(gè)班的考試成績(jī)有非常顯著差別大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理大物實(shí)驗(yàn)之實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理例2某學(xué)期4個(gè)班97人材料科學(xué)基礎(chǔ)B成績(jī)均值66.422681班：76.438，8.813,32人；2班：46.280，14.845,25人；3班：75.