理論力學(xué)非線性動(dòng)力學(xué)與混沌講義

理論力學(xué)非線性動(dòng)力學(xué)與混沌講義第1頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月參考書劉秉正，《非線性動(dòng)力學(xué)與混沌基礎(chǔ)》，東北師范大學(xué)出版社，1994林振山，《非線性力學(xué)與大氣科學(xué)》，南京大學(xué)出版社，1993劉式達(dá)，劉式適，《非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜現(xiàn)象》，氣象出版社，1989第2頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.1引言一.“非線性動(dòng)力學(xué)”的表觀含義線性非線性非線性定義：運(yùn)動(dòng)微分方程含有坐標(biāo)或速度的非線性項(xiàng)的系統(tǒng)，稱為非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，反之稱為線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。例：第3頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.決定性系統(tǒng)與不可預(yù)測(cè)性存在且唯一，可預(yù)測(cè)性1.力學(xué)決定論及其偉大成就設(shè)想一位智者在某一瞬間得知激勵(lì)大自然所有力及組成它的物體的相互位置，如果這位智者又能對(duì)眾多的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動(dòng)凝聚在一個(gè)公式中，沒(méi)有什么事物是不確定的，將來(lái)就像過(guò)去一樣清晰地展現(xiàn)在眼前。——Laplace，法國(guó)數(shù)學(xué)家，（1749-1827）第4頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1757年，哈雷慧星（Hallycomet）按預(yù)測(cè)回歸。1846年，海王星在預(yù)言的位置被發(fā)現(xiàn)。日月蝕的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，宇宙探測(cè)器的成功發(fā)射與回收。廣義相對(duì)論，量子力學(xué)也是決定論的。第5頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0.2352680.2352.力學(xué)決定論不斷受到挑戰(zhàn)1883年，英國(guó)流體力學(xué)家雷諾(Reynolds)，湍流實(shí)驗(yàn)。（煙）1903年，法國(guó)數(shù)學(xué)家昂利?龐伽萊（HenriPoincare），三體問(wèn)題，不存在統(tǒng)一的第一積分，混沌。1963，美國(guó)氣象學(xué)家洛侖茲（Lorenz），天氣預(yù)報(bào)，“蝴蝶效應(yīng)”：巴西熱帶雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀，兩個(gè)星期后，就可能在美國(guó)得克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。洛侖茲方程第6頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月初值敏感演示Duffing方程：（帶阻尼彈性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)）初值敏感性不可預(yù)測(cè)性，混沌不可預(yù)測(cè)性=客觀世界的非決定論？

第7頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性系統(tǒng)是特殊的、近似的非線性系統(tǒng)是普遍的、本質(zhì)的（ex:彈簧、單擺）振動(dòng)、流體力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、氣象學(xué)、天文學(xué)化學(xué)、生命學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、社會(huì)學(xué)混沌現(xiàn)象是矛盾的結(jié)合體決定性與隨機(jī)性穩(wěn)定與不穩(wěn)定有序和無(wú)序第8頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.常微分方程的一般形式1.自治方程與非自治方程不顯含時(shí)間，自治的顯含時(shí)間，非自治的2.常微分方程一般形式（1）自治的2階，1維1階，2維（2）非自治的n維非自治n+1維自治第9頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1：Duffing方程一階常微分方程組數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)相空間優(yōu)點(diǎn)：第10頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四.相空間（相圖）相空間，也就是狀態(tài)空間，是由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量（速度）張成的空間，也稱相宇。相空間中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化軌跡稱為相圖。彈簧振子相圖時(shí)空軌跡第11頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月阻尼彈簧振子通解代入方程當(dāng)阻尼為正阻尼且很小時(shí)第12頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月阻尼彈簧振子時(shí)空軌跡相圖第13頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.2運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析一.非線性方程解的各種形式1.定態(tài)解平衡點(diǎn)，奇點(diǎn)2.發(fā)散解之一或幾個(gè)隨時(shí)間無(wú)限地偏離初值爆炸，散射第14頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.振蕩解既不趨于無(wú)窮大，也不終止于某一點(diǎn)，而是在一定區(qū)域內(nèi)不斷變化。周期振蕩混沌相軌跡沒(méi)有確定的形狀周期、貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。閉合曲線非閉合曲線準(zhǔn)周期振蕩F=0.1F=0.29F=0.32第15頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.解的穩(wěn)定性Lyapunov穩(wěn)定性定義：(1)設(shè)t=t0時(shí)方程的解為，t時(shí)為，另一受擾動(dòng)而偏離它的解t0時(shí)為，t時(shí)為。如果對(duì)于任意小的數(shù)，總有一小數(shù)存在，使得當(dāng)時(shí)，必有則稱解是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱Lyapunov穩(wěn)定的或穩(wěn)定的。兩矢量間的距離第16頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)如果解是穩(wěn)定的，且則稱此解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。(3)

不滿足上述條件的解是不穩(wěn)定的。第17頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.解：是Lyapunov穩(wěn)定的第18頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.解：漸進(jìn)穩(wěn)定的第19頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.線性穩(wěn)定性分析1.線性穩(wěn)定性定理設(shè)為方程的一個(gè)解(參考解)，則為研究該解的穩(wěn)定性，令為此解附件另一解，稱擾動(dòng)解。第20頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若線性化方程的原點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則原非線性方程的參考態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的；若線性化方程的原點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則原非線性方程的參考態(tài)是不穩(wěn)定的。——Lyapunov間接法——非線性方程組在參考態(tài)附近的線性化方程組第21頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.線性化方程組的解及其穩(wěn)定性試探解：第22頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)矩陣的跡系數(shù)行列式的值特征根第23頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)兩特征根實(shí)部都是負(fù)的參考態(tài)也是漸進(jìn)穩(wěn)定的。是漸進(jìn)穩(wěn)定的(2)兩特征根中至少有一個(gè)實(shí)部為正是不穩(wěn)定的參考態(tài)也是不穩(wěn)定的。(3)兩特征根中至少有一個(gè)實(shí)部為零，另一個(gè)實(shí)部為負(fù)是Lyapunov穩(wěn)定的參考態(tài)處于臨界情況。漸進(jìn)穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界情況第24頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)，定態(tài)）的分類（取非線性方程的奇點(diǎn)為參考態(tài)）(1)兩根都是實(shí)的，且符號(hào)相同，此時(shí)奇點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)第25頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)兩根都是復(fù)的，此時(shí)奇點(diǎn)稱為焦點(diǎn)。不穩(wěn)定的焦點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)第26頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)兩根都是純虛數(shù)，解是等幅振蕩，此時(shí)奇點(diǎn)稱為中心。鞍點(diǎn)(4)兩根都是實(shí)數(shù)，一正一負(fù)，此時(shí)奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。中心第27頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不穩(wěn)焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)第28頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4：分析阻尼單擺定態(tài)的穩(wěn)定性解：令求定態(tài)解兩奇點(diǎn)1.

在奇點(diǎn)(0,0)處線性化方程組為第29頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不穩(wěn)焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)①奇點(diǎn)(0,0)為結(jié)點(diǎn)（過(guò)阻尼）穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)第30頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)②奇點(diǎn)(0,0)為焦點(diǎn)（欠阻尼）第31頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③奇點(diǎn)(0,0)為中心（無(wú)阻尼）第32頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.

在奇點(diǎn)處線性化方程組為奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)線性穩(wěn)定性定理只適用于分析非線性方程奇點(diǎn)及其附近的解的性質(zhì)，離奇點(diǎn)越遠(yuǎn)，線性化誤差越大。第33頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.3極限環(huán)——漸進(jìn)穩(wěn)定的周期振蕩一.定義相空間里孤立的閉曲線，稱為極限環(huán)與初始條件有關(guān)的周期振蕩不是極限環(huán)極限環(huán)與初始條件無(wú)關(guān)此軌道極小鄰域內(nèi)不出現(xiàn)其它閉軌道第34頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5：VanderPol方程（電子管振蕩）阻尼力與速度同向，負(fù)阻尼，對(duì)系統(tǒng)供能，振幅逐漸增大，振幅終將大于1。阻尼力與速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐漸減小，振幅只能等于1。F=0,a=0.2,x0=4F=0,a=0.2,x0=0.5第35頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.極限環(huán)存在的判據(jù)龐伽萊-班狄克生判據(jù)(Poincare-Bendixsontheorem):有一解的相軌跡總是局限于相平面中不包含任何奇點(diǎn)的有限區(qū)域D內(nèi)，則此軌跡或者是一極限環(huán)，或者趨于一極限環(huán)。如果方程（二維自治系統(tǒng)）DNR=D-N第36頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三.極限環(huán)的穩(wěn)定性穩(wěn)定環(huán)不穩(wěn)環(huán)半穩(wěn)環(huán)如果從包含極限環(huán)L的環(huán)形域（L的內(nèi)側(cè)和外側(cè)）出發(fā)的任何軌線在時(shí)都漸近地趨于該極限環(huán)，則稱極限環(huán)L是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定的。如果從包含L的環(huán)域內(nèi)L的某一側(cè)出發(fā)的軌線在時(shí)都漸近地逼近L，而從另一側(cè)出發(fā)的軌線都遠(yuǎn)離L，則稱L是半穩(wěn)定的。半穩(wěn)定的極限環(huán)是不穩(wěn)定極限環(huán)的一種。第37頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6：求非線性系統(tǒng)的極限環(huán)性解及其穩(wěn)定性，c為參數(shù)。解：令微分得代入方程得第38頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立，令等式兩側(cè)的系數(shù)分別相等，得極坐標(biāo)下方程：在極坐標(biāo)中系統(tǒng)相軌跡以常角速度旋轉(zhuǎn)，由可求平衡態(tài)為：奇點(diǎn)極限環(huán)（為實(shí)數(shù)時(shí)）第39頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月①為復(fù)數(shù)，只有平衡態(tài)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。②有兩個(gè)平衡態(tài)為半穩(wěn)環(huán)（不穩(wěn)環(huán)）。為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，第40頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③有三個(gè)平衡態(tài)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，為不穩(wěn)定極限環(huán)，為穩(wěn)定極限環(huán)。硬激勵(lì)（心臟）第41頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④有兩個(gè)平衡態(tài)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，為穩(wěn)定極限環(huán)。軟激勵(lì)第42頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四.極限環(huán)的特點(diǎn)非線性系統(tǒng)周期振蕩獨(dú)有的特征；極限環(huán)在相空間中是孤立的；由系統(tǒng)的固有性質(zhì)（運(yùn)動(dòng)方程及其參數(shù)）決定，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)；包圍不穩(wěn)定奇點(diǎn)的極限環(huán)一定是穩(wěn)定的，而包圍穩(wěn)定奇點(diǎn)的極限環(huán)一定是不穩(wěn)定的；極限環(huán)只能包圍結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)，而不能包圍鞍點(diǎn)。第43頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Homework:1.用線性穩(wěn)定性定理討論中心力場(chǎng)中圓軌道的穩(wěn)定性。2.求解如下常微分方程組的定態(tài)解、極限環(huán)型解，分析其穩(wěn)定性，若有分岔現(xiàn)象，說(shuō)明其分岔的類型。3.用攝動(dòng)方法求至1級(jí)近似解第44頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.4含弱非線性作用的一維振動(dòng)——攝動(dòng)方法一.無(wú)阻尼、無(wú)強(qiáng)迫力的一維弱非線性振動(dòng)為弱非線性作用無(wú)因次化攝動(dòng)方法，設(shè)解為：零級(jí)解一級(jí)解二級(jí)解第45頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入方程的同次項(xiàng)相等零級(jí)解方程一級(jí)解方程二級(jí)解方程第46頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月零級(jí)解方程為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其解為由得各級(jí)解初始條件為可得零級(jí)解為第47頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將零級(jí)解代入一級(jí)解方程偽共振非線性項(xiàng)導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率改變小量，可正可負(fù)均為小量，可令第48頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代回到原運(yùn)動(dòng)微分方程將代入得第49頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月零級(jí)解為一級(jí)解滿足的方程為避免偽共振，必有第50頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一級(jí)方程變?yōu)樵O(shè)特解一級(jí)方程齊次方程通解可寫為非齊次方程解為齊次方程通解非齊次方程特解第51頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把代入二級(jí)解方程，可得二級(jí)解。當(dāng)僅求至一級(jí)解時(shí)，非線性方程的解為第52頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月弱非線性作用下非線性振動(dòng)的特點(diǎn)：固有振動(dòng)的頻率由變?yōu)?，且改變量與振幅a有關(guān)；整個(gè)振動(dòng)除基頻外，還有諧頻，當(dāng)進(jìn)一步顧及高級(jí)近似解時(shí)，還有出現(xiàn)等奇數(shù)倍高次諧頻振動(dòng)；可推當(dāng)非線性作用力為時(shí)會(huì)出現(xiàn)等偶數(shù)倍諧頻振動(dòng)；系統(tǒng)本來(lái)不受強(qiáng)迫力，但一級(jí)解滿足的方程

出現(xiàn)了強(qiáng)迫力，并且是3倍頻的，這是由于非線性振動(dòng)引起的。第53頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.5非線性強(qiáng)迫振動(dòng)——振幅破裂Duffing方程假定為小量，設(shè)試探解為將試探解代入方程，僅保留至的一次項(xiàng)第54頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用關(guān)系式令方程兩端線性無(wú)關(guān)項(xiàng)的系數(shù)分別相等，可等待定系數(shù)滿足的方程：第55頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月振幅A（近似為系統(tǒng)的振幅）隨驅(qū)動(dòng)頻率的變化①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí)（考慮非線性），用數(shù)值方法求解，畫出振幅——頻率響應(yīng)曲線：AAA第56頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月A在段，同一頻率下，振幅出現(xiàn)多值現(xiàn)象，CD段表示不穩(wěn)定振動(dòng)。驅(qū)動(dòng)頻率逐漸增大或減小時(shí)，出現(xiàn)振幅跳躍（振幅破裂）現(xiàn)象。例：洗衣機(jī)甩干過(guò)程機(jī)械（汽車、飛機(jī)）第57頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分諧振、組合頻率諧振取特解小量代入方程并保留到的一階量令方程兩端線性無(wú)關(guān)項(xiàng)的系數(shù)分別相等：分諧振第58頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非線性系統(tǒng)受兩個(gè)不同頻率的外力同時(shí)作用時(shí)，系統(tǒng)除了以主要的頻率振動(dòng)外，還包含有頻率為等組合諧振成份，若非線性項(xiàng)不太弱需要考慮高階項(xiàng)時(shí)，振動(dòng)將包含各種頻率為的成份。即諧頻，則稱組合頻。例：耳膜。當(dāng)時(shí)，B有實(shí)根，特解存在，出現(xiàn)頻率為的分諧振，也稱為分頻，且為主要振動(dòng)。例：石英鐘。第59頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非線性受迫振動(dòng)的特點(diǎn)驅(qū)動(dòng)頻率連續(xù)變化時(shí)出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象。驅(qū)動(dòng)頻率在某值處的微小改變，系統(tǒng)振幅發(fā)生劇烈變化。諧頻振動(dòng)：基頻（驅(qū)動(dòng)頻率）為時(shí)，當(dāng)非線性項(xiàng)為x的奇次冪時(shí)，會(huì)出現(xiàn)等奇數(shù)倍諧頻；當(dāng)非線性項(xiàng)為x的偶次冪時(shí)，會(huì)出現(xiàn)等偶數(shù)倍諧頻。當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)固有頻率時(shí)（），會(huì)出現(xiàn)分頻，也稱為倍周期。

x的奇次冪，x的偶次冪。當(dāng)強(qiáng)迫力為兩不同頻率時(shí)，有組合頻出現(xiàn)。如耳膜。第60頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.6亥姆霍茲木馬(Helmholtzcarousel)2013年第26屆國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)賽IYPT題目第61頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖片資料來(lái)源于/jomssorxlsvy/copy-of-helmholtz-carousel/第62頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月參考文獻(xiàn)：R.R.Boullusa,etal.,ThereactionforceonaHelmholtzresonatordrivenathighsoundpressureamplitudes,Am.J.Phys.,60(8),pp722-726,1992空氣柱輸入阻抗動(dòng)態(tài)粘滯系數(shù)開(kāi)口輻射阻抗內(nèi)口輻射阻抗頸部空氣柱總阻抗，實(shí)部為阻（能量損失），虛部為抗（等效質(zhì)量）第63頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月=m等效質(zhì)量阻尼系數(shù)第64頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若振動(dòng)頻率非常低使得可看作絕熱過(guò)程：比熱容Taylor展開(kāi)密閉空腔產(chǎn)生的恢復(fù)力第65頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第66頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第67頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為小量設(shè)可解得一級(jí)解將有

的諧頻振動(dòng)。第68頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)振幅最大密閉空腔對(duì)頸部氣柱的恢復(fù)力凈力（一個(gè)周期內(nèi)的平均）第69頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.7分岔(Bifurcation)一.分岔的概念1.定義：對(duì)常微分方程組為參數(shù)。如果參數(shù)在某一值附近的微小變化將引起解的性質(zhì)（相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）發(fā)生突變，則此現(xiàn)象稱為分岔。稱為臨界值或分岔值。在坐標(biāo)軸上其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為分岔點(diǎn)。例：極限環(huán)求解2.解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性指在參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)解的軌線仍維持在原軌線某一鄰域內(nèi)。因次非線性系統(tǒng)在常點(diǎn)的解具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，而分岔點(diǎn)附近的解是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。第70頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.分岔的類型1.叉式分岔系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，一個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)兩個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)例1：水平滑動(dòng)擺，彈簧原長(zhǎng)l，參數(shù)a變化第71頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定態(tài)1個(gè)奇點(diǎn)3個(gè)奇點(diǎn)第72頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）奇點(diǎn)(0,0)為中心，Lyapunov穩(wěn)定的(0,0)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定的線性穩(wěn)定性定理：第73頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不穩(wěn)焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)兩奇點(diǎn)均為中心，Lyapunov穩(wěn)定的（2）奇點(diǎn)叉式分岔第74頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.霍普夫（Hopf）分岔系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，穩(wěn)定的定態(tài)穩(wěn)定的極限環(huán)例：VanderPol方程定態(tài)為(0,0)奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定定態(tài)（結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)或中心）奇點(diǎn)(0,0)為不穩(wěn)定定態(tài)，由極限環(huán)一節(jié)的分析，此時(shí)出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)。不穩(wěn)定的定態(tài)不穩(wěn)定的極限環(huán)第75頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.倍周期分岔系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，解的振動(dòng)周期依次加倍的分岔現(xiàn)象，稱為倍周期分岔。例1：Duffing方程取定，令逐漸增大，數(shù)值求解。演示T2T22T2∞T混沌第76頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1點(diǎn)（倍）周期2點(diǎn)（倍）周期4點(diǎn)（倍）周期非周期（混沌）例2：Logistic映射（蟲口模型）某代蟲口（數(shù)量）親代蟲口1點(diǎn)（倍）周期2點(diǎn)（倍）周期第77頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月演示Logistic映射自相似費(fèi)根鮑姆(Feigenbaum)數(shù)：在第n次分岔點(diǎn)的參數(shù)的取值滿足：出現(xiàn)混沌的分岔點(diǎn)處的值，為系統(tǒng)參數(shù)?！M(fèi)根鮑姆數(shù)普適常數(shù)第78頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.8混沌的概念、特點(diǎn)及描述方法一.混沌的概念1.定義：確定性非線性系統(tǒng)的不是由于隨機(jī)性外因引起的，而是由系統(tǒng)內(nèi)在的非線性作用產(chǎn)生的具有隨機(jī)性的、非周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為混沌。例1：阻尼單擺的受迫振蕩方程兩邊除以mg，令無(wú)因次化：令第79頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令仍記演示F=1.02單周期極限環(huán)F=1.072倍周期極限環(huán)F=1.0774倍周期極限環(huán)F=1.15混沌(300-700)F=1.35單周期極限環(huán)F=1.452倍周期極限環(huán)F=1.474倍周期極限環(huán)F=1.50混沌(300-700)混沌運(yùn)動(dòng)是服從一定規(guī)律的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，是決定性和隨機(jī)性矛盾統(tǒng)一體；對(duì)初始狀態(tài)敏感依賴；只有（3維以上自治、2維以上非自治）非線性系統(tǒng)才有可能做混沌運(yùn)動(dòng)；倍周期分岔可以通向混沌。第80頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2：小行星Kirkwood間隙二.自然界中混沌現(xiàn)象n=01245行星與太陽(yáng)間的距離

金星地球火星木星土星6天王星3小行星帶處于Kirkwood間隙處的小行星與木星的軌道共振，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，軌道離心率增大，穿越了火星和地球的軌道(JackWisdom模型)。6500萬(wàn)年前，估計(jì)一顆直徑10公里的小行星沖撞地球，全球滔天大火，恐龍等大型生物在這悲劇中消失，全球50—80%生態(tài)物種從此絕滅，后來(lái)哺乳類動(dòng)物得以繁衍。第81頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4：貝納對(duì)流例5：卡曼渦流例3：土星卡西尼環(huán)縫

例6：天氣，蟲口模型，香煙煙霧，心臟跳動(dòng)，腦電波第82頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1倍周期相圖Poincare截面三.龐加萊(Poincare)截面在多維相空間中適當(dāng)選取一截面（有利于觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征和變化，不與軌線相切，更不包含軌線面），在此截面上，某一對(duì)共軛變量取固定值，稱此截面為龐加萊截面.

對(duì)于單變量系統(tǒng)，截面常常取為垂直與時(shí)間軸的周期性截面。相空間的軌線軌線與龐加萊截面的交點(diǎn)第83頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2倍周期相圖Poincare截面演示單擺F=1.35F=1.45第84頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2變量系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)Poincare截面第85頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為無(wú)理數(shù)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)混沌運(yùn)動(dòng)Poincare截面為一閉曲線Poincare截面為一片或多片密集的點(diǎn)分別為方向運(yùn)動(dòng)的頻率為有理數(shù)Poincare截面有有限個(gè)離散點(diǎn)周期運(yùn)動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)Poincare截面上為一不動(dòng)點(diǎn)第86頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四.相體積演化，李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)例：一維線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)相面積的變化1.相體積演化，也就是相空間中狀態(tài)密度隨時(shí)間的變化。第87頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)高維空間相體積（狀態(tài)密度）演化，利用流體力學(xué)理解物質(zhì)坐標(biāo)對(duì)任一體積元單位時(shí)間流出量單位時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)量變化為Gauss定理任意雙角標(biāo)求和第88頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將這一結(jié)果推廣到2f維相空間：狀態(tài)密度耗散系統(tǒng)正則方程將正則方程代入第89頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由狀態(tài)量守恒對(duì)保守系統(tǒng)相體積守恒——?jiǎng)⒕S定理不求和——Lyapunov指數(shù)該方向相軌線指數(shù)地相互遠(yuǎn)離該方向相軌線指數(shù)地收縮到一起非保守系統(tǒng)設(shè)時(shí)，時(shí)第90頁(yè)，課件共103頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)定常吸引子：2維空間中穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)五.吸引子，奇怪吸引子——耗散系統(tǒng)混沌1.吸引