高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)離散型理-A3演示文稿設(shè)計與制作

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第1章§1.離散型理-A3演示文稿設(shè)計與制作§10.8離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

考點探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§10.8離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布雙基研習(xí)?面對高考1．均值(1)若離散型隨機變量X的分布列為Xa1a2…ai…anPp1p2…pi…pn則稱EX＝_____________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝_____________a1p1＋a2p2＋…＋aipi＋…＋anpnaEX＋b.雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理(3)①若X～B(n，p)，則EX＝_____②當(dāng)隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，它的均值EX＝______2．方差(1)設(shè)X是一個離散型隨機變量，我們用_________來衡量X與EX的平均偏離程度，E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并稱之為隨機變量X的_____，記為____.(2)對DX的理解：DX表示隨機變量X對EX的平均偏離程度，DX越大，表明平均偏離程度____，說明X的取值越_____，反之，DX越小，X的取值越_____在EX附近．np.E(X－EX)2方差DX越大分散集中1．隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？【思考·提示】隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值、方差是一個隨機變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值與方差．思考感悟3．正態(tài)分布

(1)正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為f(x)＝__________________其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞，正態(tài)分布通常記作____________(2)正態(tài)變量概率密度函數(shù)的圖像叫作__________，我們把_______________________的正態(tài)分布叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．N(μ，σ2)．正態(tài)曲線數(shù)學(xué)期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為14．正態(tài)分布曲線具有以下性質(zhì)(1)函數(shù)圖像關(guān)于直線_______對稱；(2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡；(3)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1；(4)若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝______；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.x＝μ95.4%2．正態(tài)分布中，μ，σ2的實際意義是什么？【思考·提示】

μ是均值，σ2是方差．思考感悟課前熱身1．若X的分布列為X01Pmn，其中m∈(0,1)，則EX＝(

)A．1－m

B．mnC．m＋nD．m答案：A2．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(

)A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較答案：B答案：B4．(教材習(xí)題改編)已知X是擲兩個均勻骰子點數(shù)中較大的數(shù)，則EX＝________.5．(2009年高考廣東卷)已知離散型隨機變量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________.考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一離散型隨機變量的均值1．求離散型隨機變量的期望關(guān)鍵是寫出離散型隨機變量的分布列然后利用公式計算．2．由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考題之一，常根據(jù)期望和方差的性質(zhì)求解． (2010年高考福建卷)設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ.【思路點撥】確定A包含的基本事件數(shù)后求出ξ的取值，再求出隨機變量的概率即可寫出分布列，由分布列求期望．例1【解】

(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，故ξ的分布列為【名師點評】

(1)隨機變量的數(shù)學(xué)期望等于該隨機變量的每一個取值與取該值時對應(yīng)的概率乘積的和．(2)均值(數(shù)學(xué)期望)是隨機變量的一個重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平，均值(數(shù)學(xué)期望)是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(3)EX是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而EX是不變的．變式訓(xùn)練1

(2009年高考全國卷Ⅰ)甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率；(2)設(shè)ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5.Bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4.(1)記C表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而C＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(C)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)ξ的可能取值為2,3.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(ξ＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48.故ξ的分布列為ξ23P0.520.48Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.考點二離散型隨機變量的方差均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的．比如：兩個隨機變量的均值相等了，這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算其方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)．方差大說明隨機變量取值分散性大；方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩(wěn)定．某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3km時，租車費為6元，若行駛路程超過3km，則按每超出1km(不足1km也按1km計程)收費3元計費．設(shè)出租車一天行駛的路程數(shù)X(按整km數(shù)計算，不足1km的自動計為1km)是一個隨機變量，則其收費也是一個隨機變量．已知一個司機在某一天每次出車都超過了3km，且一次的總路程數(shù)可能的取值是20,22,24,26,28,30(km)，它們出現(xiàn)的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.例2(1)求這一天中一次行駛路程X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望和方差；(2)求這一天中一次所收租車費Y的數(shù)學(xué)期望和方差．【思路點撥】

(1)由分布列的性質(zhì)求a的值，然后根據(jù)分布列用公式求均值和方差；(2)由題意Y＝3X－3，再用性質(zhì)求均值和方差．【解】

(1)由分布列的性質(zhì)有

0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.∴100a2＋7a＝0.3，∴1000a2＋70a－3＝0，X202224262830P0.120.180.200.200.180.12∴EX＝20×0.12＋22×0.18＋24×0.20＋26×0.20＋28×0.18＋30×0.12＝25(km)．DX＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y＝3X－3(X>3，X∈Z)，∴EY＝E(3X－3)＝3EX－3＝3×25－3＝72(元)，DY＝D(3X－3)＝32DX＝86.76.【名師點評】求離散型隨機變量的期望與方差，首先要準(zhǔn)確寫出其分布列，根據(jù)分布列用公式求解，同時注意性質(zhì)的應(yīng)用，達到簡化運算的目的．考點三正態(tài)分布正態(tài)分布問題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可通過查表(或提供的數(shù)據(jù))進行求解．正態(tài)分布有兩個重要的參數(shù)，平均數(shù)(期望、數(shù)學(xué)期望)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，我們不但要明白μ和σ在統(tǒng)計上的意義，還要對應(yīng)到正態(tài)曲線上的曲線幾何意義，做到從概率、統(tǒng)計、曲線、函數(shù)這四個方面來把握和理解，其中后兩個方面是作為數(shù)學(xué)工具來為前兩個方面服務(wù)的．一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，且知滿分150分，這個班共有54人，求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．【思路點撥】正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進行求解．例3【名師點評】解答這類問題的關(guān)鍵是確定所求隨機變量在哪個區(qū)間內(nèi)取值，這個區(qū)間與應(yīng)該熟記的三個區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)之間的關(guān)系．考點四均值與方差的實際應(yīng)用一些與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系的問題，主要利用離散型隨機變量的均值與方差，判斷方案優(yōu)劣、水平高低等．(2011年廣州模擬)某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息．買股票的收益主要取決于經(jīng)濟形勢，假設(shè)可分三種狀態(tài)：形勢好、形勢中等、形勢不好(即經(jīng)濟衰退)．例4若形勢好，可獲利40000元；若形勢中等，可獲利10000元；若形勢不好，要損失20000元．如果是存入銀行，假設(shè)年利率為8%，即可得利息8000元．又設(shè)經(jīng)濟形勢好、中等、不好的概率分別為30%、50%和20%，試問該投資者應(yīng)選擇哪一種投資方案？【思路點撥】買股票的收益與經(jīng)濟形勢有關(guān)，存入銀行的收益與經(jīng)濟形勢無關(guān)．因此，要確定選擇哪一方案，就必須通過計算這兩種投資方案對應(yīng)的收益期望值E來進行判斷．【解】由題設(shè)，一年中兩種投資方式在不同的經(jīng)濟形勢下對應(yīng)的收益與概率如下表所示：購買股票狀態(tài)經(jīng)濟形勢好經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益4000010000－20000概率0.30.50.2存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟形勢好經(jīng)濟形勢中等經(jīng)濟形勢不好收益800080008000概率0.30.50.2從上表可以初步看出，如果購買股票，在經(jīng)濟形勢好和經(jīng)濟形勢中等的情況下是合算的，但如果經(jīng)濟形勢不好，則采取存入銀行的方案比較好．下面通過計算加以分析：如果購買股票，其收益的期望值E1＝40000×0.3＋10000×0.5＋(－20000)×0.2＝13000(元)；如果存入銀行，其收益的期望值E2＝8000×0.3＋8000×0.5＋8000×0.2＝8000(元)．因此，購買股票的收益期望值比存入銀行的收益期望值大，按期望收益最大原則，應(yīng)選擇購買股票．【名師點評】隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際中用于方案取舍的重要的理倫依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定，從而解決相關(guān)問題．變式訓(xùn)練2隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？故ξ的分布列為ξ621－2P0.630.250.10.02(2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)．(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依題意，Eξ≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03.

所以三等品率最多為3%.方法感悟方法技巧1．期望與方差的常用性質(zhì)．掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便：(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b；E(ξ＋η)＝Eξ＋Eη；D(aξ＋b)＝a2Dξ；(2)若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(如例1)(2)已知隨機變量ξ的期望、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解．(如例3)失誤防范1．在沒有準(zhǔn)確判斷概率分布模型之前不能亂套公式．2．對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的概率分布，然后按定義計算出隨機變量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．考情分析考向瞭望?把脈高考離散型隨機變量的均值和方差是每年必考的知識點之一，題型為填空題或解答題，屬中檔題，常與排列組合、概率等知識綜合命題，既考查基本概念，又注重考查基本運算能力和邏輯推理能力．預(yù)測2012年高考中，離散型隨機變量的均值和方差仍然是高考熱點，同時應(yīng)特別注意，均值與方差的實際應(yīng)用． (本題滿分12分)(2010年高考江西卷)某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達此門，系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門．再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時間．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望．例規(guī)范解答【名師點評】

(1)本題易失誤的是：①不能正確確定隨機變量的取值；②不能熟練正確掌握和運用數(shù)學(xué)期望公式．(2)求解一般的隨機變量的數(shù)學(xué)期望的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，再根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計算．名師預(yù)測(1)第一個小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子)，求他們的試驗至少有3次成功的概率；(2)第二個小組做了若干次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子)，如果在一次試驗中種子發(fā)芽就停止試驗，否則就繼續(xù)進行下次試驗，直到種子發(fā)芽為止，但試驗的次數(shù)不超過5次．求這一小組所做的種子發(fā)芽試驗的次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)在這5次植物種子的發(fā)芽試驗中，有x次成功，“至少有3次成功”的概率為P，該事件包括3次、4次和5次成功，(2)依題意，ξ的分布列為感謝觀看謝謝大家A3演示文稿設(shè)計與制作信息技術(shù)2.0微能力認(rèn)證作業(yè)中小學(xué)教師繼續(xù)教育參考資料高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第課時直接證明與間接證明文-A3演示文稿設(shè)計與制作第6課時直接證明與間接證明第6課時直接證明與間接證明考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對高考溫故夯基·面對高考證明的結(jié)論推理論證成立充分條件內(nèi)容綜合法分析法文字語言因為…所以…或由…得…要證…只需證即證…思考感悟綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理實際上是尋找它的必要條件．分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．其逐步推理實際上是尋求它的充分條件．在解決問題時，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來使用．2．間接證明反證法：假設(shè)原命題_______

(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出_____．因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾考點探究·挑戰(zhàn)高考綜合法考點一考點突破綜合法是“由因?qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實性．用綜合法證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達是“∵，∴”或“?”．例1分析法考點二分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件．它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)．用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常見書面表達是“要證……只需……”或“?”．例2【思路分析】

ab?a·b＝0，利用a2＝|a|2求證．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，顯然成立．故原不等式得證．【誤區(qū)警示】本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時，命題得證．這正是分析法證明問題的一般思路．一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時，可以考慮用分析法．反證法考點三反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結(jié)論；(2)假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論)；(3)從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實相矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾)；(4)因為推理正確，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是“假設(shè)”錯誤．既然結(jié)論的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成立(結(jié)論成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反證法證明．【名師點評】當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推