3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(一)

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修2-37/15/2023鄭平正制作數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)內(nèi)容畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程

y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題7/15/2023鄭平正制作問題1：正方形的面積y與正方形的邊長x之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2確定性關(guān)系問題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否有一個(gè)確定性的關(guān)系？例如：在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下所示的一組數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455復(fù)習(xí)變量之間的兩種關(guān)系7/15/2023鄭平正制作1020304050500450400350300·······施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455xy施化肥量水稻產(chǎn)量7/15/2023鄭平正制作自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義：

1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：7/15/2023鄭平正制作

現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？7/15/2023鄭平正制作1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455xy散點(diǎn)圖施化肥量水稻產(chǎn)量7/15/2023鄭平正制作1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻產(chǎn)量7/15/2023鄭平正制作探究對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計(jì)公式分別為：稱為樣本點(diǎn)的中心。你能推導(dǎo)出這個(gè)公式嗎？7/15/2023鄭平正制作假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)且回歸方程是：y=bx+a,^其中，a,b是待定參數(shù)。當(dāng)變量x取時(shí)它與實(shí)際收集到的之間的偏差是oxy7/15/2023鄭平正制作易知，截距和斜率分別是使取最小值時(shí)的值。由于7/15/2023鄭平正制作這正是我們所要推導(dǎo)的公式。在上式中，后兩項(xiàng)和無關(guān)，而前兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項(xiàng)的值均為0，即有7/15/2023鄭平正制作1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應(yīng)的直線叫做回歸直線。2、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。1、回歸直線方程7/15/2023鄭平正制作最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。7/15/2023鄭平正制作2、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。^7/15/2023鄭平正制作例1、觀察兩相關(guān)量得如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-553421y-9-7-5-3-115379求兩變量間的回歸方程.解：列表：i12345678910xi-1-2-3-4-553421yi-9-7-5-3-115379xiyi91415125515121497/15/2023鄭平正制作所求回歸直線方程為7/15/2023鄭平正制作例2：已知10只狗的血球體積及血球的測量值如下：x45424648423558403950y6.536.309.527.506.995.909.499.206.558.72x(血球體積,mm),y(血球數(shù)，百萬)（1）畫出上表的散點(diǎn)圖；（2）求出回歸直線并且畫出圖形；（3）回歸直線必經(jīng)過的一點(diǎn)是哪一點(diǎn)？7/15/2023鄭平正制作3、利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行線性相關(guān)性的檢驗(yàn)例3、煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系。如果已測得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間y（從爐料熔化完畢到出剛的時(shí)間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x（0.01%）104180190177147134150191204121y（min）100200210185155135170205235125（1）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？7/15/2023鄭平正制作(1)列出下表,并計(jì)算i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi104003600039900327452278518090255003915547940151257/15/2023鄭平正制作所以回歸直線的方程為=1.267x-30.51(3)當(dāng)x=160時(shí),1.267.160-30.51=172(2)設(shè)所求的回歸方程為7/15/2023鄭平正制作例題4

從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172ｃｍ的女大學(xué)生的體重。7/15/2023鄭平正制作分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；7/15/2023鄭平正制作相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．通常，r>0.75，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的相關(guān)性．本例中,由上面公式r=0.798>0.75．7/15/2023鄭平正制作探究？身高為172ｃｍ的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?7/15/2023鄭平正制作如何描述兩個(gè)