中考數(shù)學-二次函數(shù)的綜合問題

二次函數(shù)的綜合問題例1。如圖1,已知拋物線y=LX2-?b+1)%+b(b是實數(shù)且b>2)與％軸的正半軸分4 4 4別交于點A、B(點A位于點B是左側(cè))，與y軸的正半軸交于點C(1)點B的坐標為，點C的坐標為(用含b的代數(shù)式表示)；(2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點。，使得^QCO.△QOA和^QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.TYP、一 圖1例2。2014年蘇州市中考第29題如圖1,二次函數(shù)y=a(X2—2mx-3m2)(其中a、m是常數(shù)，且a>0,m>0)的圖像與X軸分別交于A、B(點A位于點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0,-3),點D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB,聯(lián)結(jié)AD.過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E,AB平分∠DAE.(1)用含m的式子表示a；(2)求證：aD為定值；AE(3)設該二次函數(shù)的圖像的頂點為E探索：在X軸的負半軸上是否存在點G,聯(lián)結(jié)GR以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由. ,一 1 3 , ,,、一 練習1、如圖1,拋物線y=-χ2-2X-4與X軸交于A、B兩點(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C連結(jié)BC以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC』P是X軸上的一個動點，設點P的坐標為(m,0)，過點P作X軸的垂線l交拋物線于點Q.(1)求點A、B、C的坐標；(2)當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N.試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；(3)當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q,使^BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.練習2、如圖1,拋物線y=-3X2-3X+3與X軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，8 4與y軸交于點C(1)求點A、B的坐標；(2)設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；(3)若直線l過點E(4,0),M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式.練習3.(2015蘇州)如圖，已知二次函數(shù)y=X2+(1-m)X-m(其中。<m<1)的圖像與X軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱軸為直線l.設P為對稱軸l上的點，連接PA、PC,PA=PC.(1)∠ABC的度數(shù)為▲°；(2)求P點坐標(用含m的代數(shù)式表示)；(3)在坐標軸上是否存在點Q(與原點O不重合)，使得以Q、B、C為頂點的三角形與△以C相似，且線段PQ的長度最??？如果存在，求出所有滿足條件的點。的坐標；如果不存在，請說明理由.參考答案：例1。D思路點撥.第(2)題中，等腰直角三角形依。暗示了點P到兩坐標軸的距離相等..聯(lián)結(jié)OR把四邊形PCo5重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含A的式子表示..第(3)題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與％軸垂直的直線上.滿分解答(1)5的坐標為(仇0),點。的坐標為(0,2).(2)如圖2,過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E,那么△PDB/△PEC因此PD=PE.設點P的坐標為(x,x).如圖3,聯(lián)結(jié)OP.所以S四邊形PCOB=S△PCO+S△PBO=l×^-^?X+JXb,X=Ibx=2b.24 2 8圖2 圖3(3)由y=—X2--(b+1)X+—=?(X-1)(X一b)，得A(1,0),OA=1.4 4 44①如圖4,以OA、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC,那么△OQC/△QOA.當BA=QA，即QA2=ba.OA時，△BQAs^QOA.QAOA所以(b)2=b-1.解得b=8±4√3.所以符合題意的點Q為(1,2+√3).4②如圖5,以OC為直徑的圓與直線X=1交于點Q,那么∠OQC=90°。因此△OCQs^QOA.當BA=QA時，△BQA^^QOA.此時∠OQB=90°.QAOA所以C、Q、B三點共線.因此BO=QA，即b=QA.解得QA=4.此時Q(1,4).

COOAb1考點伸展第(3)題的思路是，4、。、O三點是確定的，B是X軸正半軸上待定的點，而NQo4與NQOC是互余的，那么我們自然想到,三個三角形都是直角三角形的情況.這樣，先根據(jù)△QOA與AQQC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應成比例確定點5的位置.如圖中，圓與直線1=1的另一個交點會不會是符合題意的點。呢？如果符合題意的話，那么點5的位置距離點A很近，這與05=40。矛盾.例2。0思路點撥.不算不知道，一算真奇妙.通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B.JF的坐標后，點。的坐標也可以寫出來.點E的縱坐標為定值是算出來的..在計算的過程中，第(1)題的結(jié)論Q=工及其變形的22=1反復用到.m2.注意到點E、D、F到1軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)(5,3,4),因此過點F作AD的平行線與1軸的交點，就是要求的點G.滿分解答(1)將C(0,—3)代入y=a(X2—2mi—3m2),得一3=-3am2.因此a=」-.m2(2)由y=a(i2—2mx-3m2)=a(i+m)(i-3m)=a(i—m)2—4axm2=a(i—m)2—4,得A(—m,0),B(3m,0),F(m,—4),對稱軸為直線X=m.所以點D的坐標為(2m,—3).設點E的坐標為(x,a(x+m)(x—3m)).如圖2,過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D:E.由于∠EAE=∠DAD',所以EE=DD.因此a(X+m)(x—3m)=2.AE'AD' X+m3m所以am(x—3m)=1.結(jié)合a=?,于是得到X=4m.m2當x=4m時，y=a(x+m)(x—3m)=5am2=5.所以點E的坐標為(4m,5).所以ADDD'3（3）如圖3,由￡（4機,5）、D（2m,-3）>F（m,-4）,可知點￡、D、b到％軸的距離分別為5、4、3.那么過點尸作4。的平行線與％軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G. 一一一一，GF證明如下：作尸尸，％軸于P,那么——

ADFF'4—''- ?DD'3AEADGF.所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形.因此5 3 4此時GF,=4m.所以GO=3m,點G的坐標為（一3m,0）.考點伸展第（3）題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊.此時

=^-= =—7=.因此GF=√34m.所以GO=（V34-1）m.此時G（m—√34m,0）.5 3 <34練習1、思路點撥.第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQ=DC列方程..第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫

一個準確的示意圖，先得到結(jié)論..第（3）題4BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的

垂線可以構(gòu)造相似三角形.滿分解答\o"CurrentDocument"11 1 1 3 . 1 …一,1\o"CurrentDocument"(1)由V=_X2--χ—4=(X+2)(χ—8)，得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).4 2 4(2)直線DB的解析式為V=-2X+4.\o"CurrentDocument"~1 3 .、由點P的坐標為(m,0),可得M(m,-—m-4),Q(m,—m2-—m-4).4 2\o"CurrentDocument",1八T3八1 C所以MQ=(-m+4)-(—m2-—m-4)=-—m2+m+8.\o"CurrentDocument"2 4 2 4當MQ=DC=8時，四邊形CQMD是平行四邊形.解方程--m2+m+8=8，得m=4,或m=0(舍去).4此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,-2),Q(4,-6).所以MN=NQ=4.所以BC與MQ互相平分.所以四邊形CQBM是平行四邊形.考點伸展：第(3)題可以這樣解:①如圖3,當N050=90。時,設點Q的坐標為(%,；(%+2)(%—8)).1,Cr-ι~ι- -~λ(X+2)(x-8)絲=也=I.所以4GBHD28—x1.2解得X=6.此時Q(6,-4).②如圖4,當∠BDQ=90。時，QGDH?

= =2.GDHB，1 C C4—-(X+2)(X—8)

所以一4 =2.-X解得x=-2.此時Q(-2,0).練習2、思路點撥.根據(jù)同底等高的三角形面積相等，的點D有兩個.平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件.當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合∠AMB=90。的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合∠AMB=90。的點M只有1個..靈活應用相似比解題比較簡便.滿分解答3 3 3由y=—X2—X+3=—(X+4)(X—2),8 4 8得拋物線與X軸的交點坐標為A(-4,0)、B(2,0).對稱軸是直線X=-1.△ACD與八ACB有公共的底邊AC,當△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等.過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應的點DL設拋物線的對稱軸與X軸的交點為G,與AC交于點H.由BD//AC,得∠DBG=∠CAa所以DG=CO=3所以DG=3BG=9,4

因為AC.//BD,BGAO4點D的坐標為(1,-4).AG=BG,所以HG=DG.而D'H=DH，所以DG=3DG=巴.所以D，的坐標為(1,27).4 4.4圖2「 圖3（3）過點4、5分別作％軸的垂線，這兩條垂線與直線I總是有交點的，即2個點M.以45為直徑的。G如果與直線/相交，那么就有2個點M；如果圓與直線/相切，就只有1個點M了.聯(lián)結(jié)GM,那么GM，/.在RdEGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.在R3EM∣A中，AE=8,tanZMEA="q=3,所以MA=6.AE4 1所以點M1的坐標為（一4,6）,過M「E的直線l為y=-3%+3.1 1 4根據(jù)對稱性，直線l還可以是y=3X+3.4考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C,因此可以過點C、E求直線l的解析式.在Rt△EGM中，GM=3,GE=5,所以EM=4.在Rt△ECO中，CO=3,EO=4,所以CE=5.因此三角形△EGM/△ECO,∠GEM=NCEO.所以直線CM過點C.3.解：⑴45.理由如下：令％=0,則y=-m,C點坐標為（0,-m）.令y=0,則％2+（1-m）%—m=0，解得%=—1,%=m.1 2??0<m<1,點A在點B的左側(cè)，???B點坐標為（m,0）.ΛOB=OC=m.VZBOC=90o,Λ△BOC是等腰直角三角形，NOBC=45°.（2）解法一：如圖①，作PD⊥y軸，垂足為D，設l與%軸交于點E,由題意得，拋物線的對稱軸為％=±m(xù).設點P坐標為（*m,n）.?.?PA=PC2???PA2=PC2,即AE2+PE2=CD2+PD2.(—1+m+1+n2=(n+m)2解法二：連接PB.由題意得，?.?P在對稱軸l上，???PA=PB.???△BOC是等腰直角三角形，2.解得n=匕m.??.P點的坐標為2拋物線的對稱軸為%=≡1+m2?.?PA=PC,ΛPB=PC.且OB=OC,ΛP在BC的垂直平分線)二一%上.2,\l2J+(T)\2J.(—1+m1-ml2,2J.??.P點即為對稱軸%=-1+m與直線）=-%的交點.???P點的坐標為(—1+m1-m).22l7（3）解法一：存在點Q滿足題意.(—1+m1—m1<2'FJ???P點的坐標為,???PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2、2(1_m12+—6—1+m+1T+(I一m12(I一VAC2=1+m2,??.PA2+PC2=AC2..?.ZAPC=90°7??.△PAC是等腰直角三角形.I2JI2)+m+mI2JI2.=1+m2.V以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，???△QBC是等腰直角三角形..由題意知滿足條件的點Q的坐標為（-m，0）或（0,m）.①如圖