三角函數(shù)圖象與性質(zhì)課時(shí)

第五章三角函數(shù)高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期5.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課時(shí)9

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)——周期性和奇偶性高中快車道教學(xué)目標(biāo)理解周期函數(shù)、函數(shù)的周期和最小正周期等概念,能根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù).學(xué)會(huì)借助誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性,掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)理解函數(shù)的周期性以及周期函數(shù)與最小正周期等概念,體會(huì)三角函數(shù)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律在理解和運(yùn)用周期函數(shù)、函數(shù)的周期性等概念的過(guò)程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性,會(huì)研究正弦型函數(shù)和余弦型的周期性和奇偶性在探究和理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性的過(guò)程中,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)能正確地運(yùn)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性解決與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題在運(yùn)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性解題的過(guò)程中,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)四季輪回，周而復(fù)始；春夏秋冬，生生不息．每個(gè)季節(jié)都有屬于自己的美麗，“春有百花秋有月，夏有涼風(fēng)冬有雪”，只要用心欣賞品味，歲月無(wú)時(shí)不溢彩，四季無(wú)時(shí)不流韻．像這樣以相同的間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象就是周期現(xiàn)象．你知道數(shù)學(xué)中有哪些周期現(xiàn)象嗎？初探新知【活動(dòng)1

】探究周期函數(shù)與最小正周期的概念【問(wèn)題1】從情境導(dǎo)學(xué)中，我們知道周期現(xiàn)象具有周而復(fù)始的特征．那么函數(shù)中是否會(huì)有周期現(xiàn)象呢？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)的周期性嗎？【問(wèn)題2】若T是函數(shù)y＝f(x)的周期，則周期T有什么特點(diǎn)？是否唯一？【問(wèn)題3】你知道什么是函數(shù)的最小正周期嗎？是否所有的周期函數(shù)都有最小正周期呢？【問(wèn)題4】若函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且最小正周期為T,則函數(shù)

y=f(x)的圖象具有怎樣的特征?【活動(dòng)2

】探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性【問(wèn)題5】等式sin(x＋2π)＝sin

x；cos(x＋2π)＝cos

x，是否對(duì)任意的x∈R都成立？【問(wèn)題6】正弦函數(shù)y＝sin x是不是周期函數(shù)？若是，請(qǐng)寫出正弦函數(shù)的周期．【問(wèn)題7】根據(jù)上述定義，正弦函數(shù)y＝sin x的最小正周期是多少？【問(wèn)題8】余弦函數(shù)y＝cos x是不是周期函數(shù)？若是，請(qǐng)寫出余弦函數(shù)的周期及它的最小正周期．【活動(dòng)3

】探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性【問(wèn)題9】觀察正弦曲線，你能說(shuō)出正弦函數(shù)的奇偶性嗎？【問(wèn)題10】觀察余弦曲線，你能說(shuō)出余弦函數(shù)的奇偶性嗎？【問(wèn)題11】你能根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性嗎？典例精析【例1】[教材改編題]求下列函數(shù)的周期：y＝3cos

x，x∈R；y＝sin

2x，x∈R；(3)

y＝2sin

（3x+??），x∈R；??(4)y＝A

sin(ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)．思路點(diǎn)撥：利用三角函數(shù)的周期性，通過(guò)代數(shù)變形，得出等式f(x＋T)＝f(x)，從而求出相應(yīng)的周期．【解】

(1)?x∈R，有3cos(x＋2π)＝3cosx，由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π.(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝sinz的周期為2π，即sin(z＋2π)＝sinz，于是sin(2x＋2π)＝sin2x，所以sin2(x＋π)＝sin2x，x∈R.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π.??(3)

令z＝3x＋??，由x∈R得z∈R，且y＝2sin

z的周期為2π，即2sin

(z＋2π)＝2sin

z，于是2sin

（3x+??+2??）＝2sin（3x+??），??

??所以2sin[3(x+????)+??]＝2sin（3x+??）

.由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期??

??

??為????.??【解】

(4)

令z＝ωx＋φ，由x∈R得z∈R，且y＝A

sin

z的周期為2π，即A

sin

(z??＋2π)＝A

sin

z，于是A

sin

(ωx＋φ＋2π)＝A

sin

(ωx＋φ)，所以A

sin[??(x+????)+φ]??＝2sin(ωx＋φ).由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為????.【方法規(guī)律】求三角函數(shù)周期的一般方法：用周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期．根據(jù)第(4)小題的結(jié)論，我們可以直接寫出形如y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)和y＝A

cos(ωx＋φ)，x∈R(其中A，ω，φ??為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的周期T＝????.【變式訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的周期：??(1)

y＝cos

??，x∈R；(2)

y＝sin

（??x?

??），x∈R.??

??【解】【例2】[教材改編題]判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)

y＝??sin2x；(2) y＝sin（??x?

????）

.??

??思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)奇偶性的定義求解．【解】(1)令f(x)＝y(tǒng)＝

??sin

2x，因?yàn)閒(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝

??sin

2(－x)＝－??sin

2x＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)．??(x)＝sin（??x+????）

＝－cos

??x，所以g(－x)＝－cos(－??x)＝－cos??

??

??

??x＝g(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)．(2)令g(x)＝y(tǒng)＝sin（??x+????），g(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)??

??g

【方法規(guī)律】判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是運(yùn)用奇偶性的定義,先看定義域,再判斷??

f(-x)和f(x)之間的數(shù)量關(guān)系.若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,則f(x)為非奇非偶函數(shù);若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,滿足f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù),滿足f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù).??【變式訓(xùn)練2】

下列函數(shù)中周期為??，且為偶函數(shù)的是(

)A.

y＝sin4xB.y＝cos????x??C.

y＝sin

（??x+

??）D.

y＝cos

（????

?

??）??

??C【解】【例3】[2022·河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)高一月考]定義在R上的函數(shù)f(x)??既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈[0，??]??時(shí)，f(x)＝sinx，求f(????)的值．思路點(diǎn)撥

借助函數(shù)的周期性和奇偶性，把所求目標(biāo)函數(shù)值化歸到已知解析式的自變量范圍中．【解】

因?yàn)閒(x)的最小正周期T＝π，所以f(????)＝f(????

?

????)＝??

??f(???)，又y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(????)＝??

??f(?

??)＝f(??)＝sin??

????＝

??.??

??【方法規(guī)律】解決函數(shù)的奇偶性與周期性綜合問(wèn)題的方法：利用函數(shù)的周期性，把x＋nT(n∈Z)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為x的函數(shù)值，利用奇偶性，找到－x與x的函數(shù)值的關(guān)系，從而解決求值問(wèn)題．??【變式訓(xùn)練3】已知f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，且x∈[0，??]時(shí)??，f(x)＝1－sin

x，求當(dāng)x∈[????，????]時(shí)，f(x)的解析式．【解】（備選例題）作出下列函數(shù)的圖象并根據(jù)圖象判斷函數(shù)的奇偶性和周期性:??(1)y=??(cosx+|cosx|);??(2)

y=

????????+

??

.思路點(diǎn)撥

根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),分段作出其圖象,再根據(jù)圖象對(duì)其奇偶性和周期性作出判斷.【解】【方法規(guī)律】與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的圖象,通常是先找出這個(gè)復(fù)雜函數(shù)與已知常見(jiàn)函數(shù)之間的聯(lián)系,再利用常見(jiàn)函數(shù)的圖象通過(guò)平移變換、對(duì)稱變換等得出所要求作的圖象.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性的常用方法:一是運(yùn)用定義;二是借助圖象.課堂反思1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？2.你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練1.下列函數(shù)中，最小正周期為π的是(D

)A.

y＝sinx B.

y＝cosxC.y＝sin????xD.

y＝cos2x??A. B.π C.2π D.4π3.(多選)下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)有(2.函數(shù)y＝|sin

x|的最小正周期為(B

)??)A.

y＝sinx B.

y＝|cos

x|??C.

y＝2cos

x D.

y＝sin

（??

?

????）BD??

??

??4.若函數(shù)f(x)＝sin

（