2021-2022學(xué)年江蘇省常州市燕山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市燕山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知動點P（x，y）滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．線段參考答案：B【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用橢圓的定義直接求解．【解答】解：∵動點P（x，y）滿足，∴動點P的軌跡是以（﹣3，0），（3，0）為焦點，實軸長為5的橢圓．故選：B．2.已知一組數(shù)據(jù)為且這組數(shù)的中位數(shù)是，那么數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D3.某物體其運動方程為，則物體在第t=3秒時的瞬時速度是

▲

.參考答案：略4.下列命題正確的是()A．單位向量都相等B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1參考答案：C5.計算機(jī)執(zhí)行如圖的程序段后，輸出的結(jié)果是（

）

a=3b=1a=a－bb=a+bPRINTa,b

A．2,3 B．2,2 C．0,0 D．3,2參考答案：A運行程序可得，所以輸出的結(jié)果為2,3。選A。

6.一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A、

B、

C、D、參考答案：C略7.巳知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.若則向量的關(guān)系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不確定參考答案：C9.若曲線C：和直線只有一個公共點，那么的值為（

）A．0或

B.0或

C.或

D.0或或參考答案：D10.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行，從左往右數(shù)第個數(shù)，若，則與的和為()A．105

B．103

C．82

D．81參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前n項和滿足，那么（

）A.1

B.9

C.10

D.55參考答案：A12.寫出命題“x0∈R，x＋1＜0”的否定：

.參考答案：∈R，

x2＋1≥0略13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則_________.參考答案：1014.若定義在區(qū)間D上的函數(shù)，對于D上的任意n個值，總滿足，則稱為D上的凸函數(shù)?，F(xiàn)已知在上是凸函數(shù)，則在銳角三角形ABC中，的最大值是___________。參考答案：【分析】利用已知結(jié)論，可將轉(zhuǎn)化為的余弦求解，再由為定值，即可求解，得到答案．【詳解】利用已知條件，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用已知條件得到式子的運算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．15.函數(shù)的定義域是

.參考答案：略16.A(1,-2,1），B(2,2,2），點P在z軸上，且|PA|=|PB|,則點P的坐標(biāo)為

____________.參考答案：略17.某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為件、件、件.為了了解它們產(chǎn)品的質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間抽取了件，則=______.參考答案：13

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知，.（1）當(dāng)n=1,2,3時，分別比較與的大?。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；（2）由(1)猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：（1）當(dāng)時，,

,

,當(dāng)時，,,，當(dāng)時，,,

.--------------3分(2)猜想：

,即.--4分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，上面已證.

--------------5分②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即則當(dāng)n=k+1時，-----10分而，下面轉(zhuǎn)化為證明：只要證：，需證：，即證：，此式顯然成立.所以，當(dāng)n=k+1時猜想也成立.綜上可知：對，猜想都成立，

-----15分即成立.

-----16分略19.（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(1，)和動點Q（m，n）都在離心率為的橢圓（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求橢圓的方程；（2）若直線l的方程為3mx+4ny=0，點R（點R在第一象限）為直線l與橢圓的一個交點，點T在線段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求點T的坐標(biāo)；②求證：直線QT過定點S，并求出定點S的坐標(biāo)．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由離心率，a=2c，，點在橢圓上，代入即可求得c的值，即可求得橢圓方程；（2）①設(shè)，由|QT|=2，由兩點直線的距離公式可知：，將Q點代入橢圓方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T點坐標(biāo)；②由①可知，，利用斜率公式可知：kQT=，直線QT的方程為，即，直線QT過定點（1，0）．【解答】解：（1）由題意，橢圓（a＞b＞0）焦點在x軸上，離心率，∴a=2c，，∵點在橢圓上，∴，解得：c=1，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；…（2）①設(shè)，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）

…（7分）∵點Q（m，n）在橢圓上，∴，則，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由題意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，則T點坐標(biāo)，…（11分）②證明：由①可知，，∴直線QT的斜率，…（13分）∴直線QT的方程為，即，∴直線QT過定點S（1，0）．…（16分）【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查只有與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．20.設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，（）．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由；（Ⅲ）證明：（）．參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，因為，所以對任意實數(shù)均有．即，所以．（Ⅱ）當(dāng)時，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，由（1）知；②假設(shè)當(dāng)（）時，對任意均有，令，，因為對任意的正實數(shù)，，由歸納假設(shè)知，，即在上為增函數(shù)，亦即，因為，所以．從而對任意，有,即對任意，有，這就是說，當(dāng)時，對任意，也有．由①,②知，當(dāng)時，都有．（Ⅲ）證明1：先證對任意正整數(shù)，．由（Ⅱ）知，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．再證對任意正整數(shù)，．要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)，不等式成立．即要證明對任意正整數(shù)，不等式（*）成立．方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：①當(dāng)時，成立，所以不等式（*）成立．②假設(shè)當(dāng)（）時，不等式（*）成立，即．則．

,這說明當(dāng)時，不等式（*）也成立．由①，②知，對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因為，，……，，將以上個不等式相乘，得．所以對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．21.雙曲線與橢圓有共同的焦點，點是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求漸近線與橢圓的方程。參考答案：解析：由共同的焦點，可設(shè)橢圓方程為；雙曲線方程為，點在橢圓上，雙曲線的過點的漸近線為，即所以橢圓方程為；雙曲線方程為22.（12分）我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，你是否想到過有沒有等和數(shù)列呢？（1）類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；（2）探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項各有什么特點？并加以說明．參考答