2017高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義及配套題庫(kù)理全書課件第八章

第八章 立體幾何與空間向量§8.8

立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類 深度剖析答題模板系列思想方法 感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍(0，π

]2[0，π]求法cos

θ＝

|a·b|

|a||b|

cos

β＝a·b|a||b|知識(shí)梳理1答案直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角|a·n|為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cos

β|＝|a||n|.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD

分別是二面角α－l－β

的兩個(gè)面內(nèi)與棱l

垂直的〈→

→直線，則二面角的大小

θ＝

AB，CD〉

.答案大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos

θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角答案4.利用空間向量求距離(供選用)(1)兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)A(x

，y

，1

1

1

2

2z

)，點(diǎn)B(x

，y

，2z

)，則→|AB|＝|AB|＝.(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α

的一條斜線段，n

為平面α

的法向量，則B→|n|到平面α

的距離為|

→|＝|AB·n|BO

.答案判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.(

×

)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

×

)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.(

×

)兩異面直線夾角的范圍是(0，π]，直線與平面所成角的范圍是[0，π]，二2

2面角的范圍是[0，π].(

√

)思考辨析答案直線l的方向向量與平面α的法向量夾角為120°，則l和α所成角為30°.(

√

)若二面角α－a－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(

×

)答案1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是(

)A.30°C.60°B.45°D.90°考點(diǎn)自測(cè)212345解析答案12

2

2設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A

(0,0,1)，M(1，1,0)，D(0,1,0)，N(1,1，1)，→＝(1，1，A1M2－1)，

→

＝(1,0，1).DNcos〈→，→〉＝A1M

DN1－12

241＋11＋1

1＋4＝0，∴A1M與DN所成的角的大小是90°.答案

D解析

以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，2.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若B.60°D.150°2A.30°C.120°解析2設(shè)l

與α

所成角為θ，∵cos〈m，n〉＝－1，2∴sin

θ＝|cos〈m，n〉|＝1，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故選A.cos〈m，n〉＝－

1

，則l與α所成的角為(

A

)12345解析答案3.(教材改編)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為2

2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為

.12345解析答案AB

AE

AA1圖)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D

為A1B1

中點(diǎn)，則

A(0,0,0)，C1(1，

3，2

2)，D(1,0,2

2)，∴

→

→AC1＝(1，

3，2

2)，AD＝(1,0,2

2).∠C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角1cos∠C

AD＝1AC

·AD→

→→

→|AC1||AD|解析答案＝(1，

3，2

2)·(1，0，2

2)12·

93＝

2

，1又∵∠C

AD∈0，

π2，16∴∠C

AD＝π.答案π6解析答案4.(教材改編)二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2

17

，則該二面角的大小為

.12345解析答案解析∵

→

＝

→

→

→CD

CA＋AB＋BD，∴

→→

→

→|CD|＝

(CA＋AB＋BD)2＝

36＋16＋64＋2CA·BD→

→＝

116＋2CA·BD→

→＝2

17.解析答案∴

→

→

→

→

→

→CA·BD＝|CA|·|BD|·cos〈CA，BD〉＝－24.2∴cos〈→，→〉＝－1.CA

BD而二面角與〈→，→〉互補(bǔ)，CA

BD∴所求二面角為60°.答案

60°5.P是二面角α－AB－β棱上的一點(diǎn)，分別在平面α、β上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為

.解析答案1

2

3

4

5解析

不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，∵∠EPM＝∠FPN＝45°，2∴PE＝

2

，PF＝

2b，2

a∴

→

→

→

→

→

→EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝

→

→ →

→PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF→

→ →

→解析答案2＝abcos

60°－a×

2bcos

45°－22a×bcos45°＋

a222

×

2b＝ab－ab－ab＋ab＝0，2

2

2

2∴

→

→EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小為90°.答案90°返回題型分類 深度剖析例1

(2015·四川)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cos

θ的最大值為

.求異面直線所成的角題型一思維升華解析答案→12

12設(shè)

AB＝1，則AF＝

1， ，0

，E

，0，0，設(shè)M(0，y,1)(0≤y≤1)，→則EM＝12–

，y，1，|－1＋1y|∴cos

θ＝

2

2

4

41＋1

1＋y2＋1＝1－y

522

· 4y

＋5.解析

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，思維升華解析答案則cos

θ＝1－y

522

·

4y

＋55＝2

5·1－y4y2＋5，令t＝1－y，則y＝1－t，∵0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么cos

θ＝255·

t4t2－8t＋9思維升華解析答案＝2

55t24t2－8t＋9＝2

551t4－8＋9t2，t令x＝1，∵0≤t≤1，∴x≥1，那么cos

θ＝25514－8x＋9x2，思維升華解析答案此時(shí)cos

θ

的最大值為25·

1＝2

5·

5＝2.5

5

5

5

5又∵z＝9x2－8x＋4在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x＝1時(shí)，zmin＝5，思維升華用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.思維升華如圖所示正方體ABCD－A′B′C′D′，已知點(diǎn)H在A′B′C′D′的對(duì)角線B′D′上，∠HDA＝60°.求DH與CC′所成的角的大小.跟蹤訓(xùn)練1解析答案則→→設(shè)→DH＝(m，m,1)(m>0)，由已知，〈→，→〉＝60°，DH

DA由→

→

→

→

→

→DA·DH＝|DA|·|DH|·cos〈DH，DA〉，可得

2m＝

2m2＋1，解得

m＝22，解

如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，DA＝(1,0,0)，CC′＝(0,0,1).解析答案∵cos〈→，→DH

CC′〉＝

2

22

×0＋

2

×0＋1×11×

2＝22，又∵〈→，→DH

CC′〉∈[0°，180°]，→∴〈→，CC′〉＝45°，DH即DH與CC′所成的角為45°.∴

→

2

2DH＝(

2

，

2

，1)，例2

(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，

D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的底面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；解

交線圍成的正方形EHGF如圖：求直線與平面所成的角題型二解析答案(2)求直線AF與平面α所成角的正弦值.解析答案思維升華解

作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是

MH＝

EH2－EM2＝6，所以

AH＝10.DA以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，→的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，→＝(10,0,0)，→＝FE

HE(0，－6，8).解析答案設(shè)n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，則→n·FE＝0，→n·HE＝0，即10x＝0，－6y＋8z＝0，所以可取n＝(0,4,3).又→

→→|n||AF||n·AF|

4

5AF＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF〉|＝

→

＝

15

.所以AF

與平面EHGF

所成角的正弦值為4155.思維升華思維升華利用向量法求線面角的方法：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.(1)證明：AC⊥B1D；跟蹤訓(xùn)練2如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.解析答案證明

易知，AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.解析答案設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).→

→從而→＝(－t,3，－3)，AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)，B1D→2因?yàn)锳C⊥BD，所以→·BD＝－t

＋3＋0＝0.AC解得

t＝

3或

t＝－

3(舍去).于是→＝(－B1D→3，3，－3)，AC

＝(3，1,0)，解析答案→因?yàn)椤1D＝－3＋3＋0＝0，AC→所以→⊥B1D，AC即AC⊥B1D.(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.解析答案1→解

由(1)知，AD

＝→B1C1(0,3,3)，AC

＝( 3，1,0)，

→

＝(0,1,0)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量.則→n·AC

＝0，1→n·AD

＝0，即3x＋y＝0，3y＋3z＝0，解析答案令

x＝1，則

n＝(1，－

3，

3).1

1則sin

θ＝|cos〈n，B

C

〉|＝|n·B

C1

1設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，→→|n|·|B1C1||＝73＝

217

.即直線B1C1

與平面ACD1

所成的角的正弦值為721.例3

(2015·安徽)如圖所示，在多面體A1B1D1-DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F.(1)證明：EF∥B1C.求二面角題型三解析答案證明

由正方形的性質(zhì)可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，從而B1C∥A1D，又A1D?面A1DE，B1C?面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C?面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.思維升華解析答案解

因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A

為原點(diǎn)，分別以→，→，→為x

軸，y

軸和z

軸單位正向量建立AB

AD

AA1如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，思維升華解析答案可得點(diǎn)的坐標(biāo)A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，1

11212而

E

點(diǎn)為

B

D

的中點(diǎn)，所以

E

點(diǎn)的坐標(biāo)為

，

，1.→11

1

1

1

1

1

212

1設(shè)面

A

DE

的法向量

n

＝(r

，s

，t

)，而該面上向量A

E＝

， ，0，A

D→＝(0,1，－1)，1

1由n

⊥A1E，n

⊥A1D→

→得r1，s1，t1應(yīng)滿足方程組1

12r1＋2s1＝0，

1

1s

－t

＝0，思維升華解析答案設(shè)面A

B

CD

的法向量n

＝(r

，s

，1

1

2

2

2

2→t

)，而該面上向量A1B1＝(1,0,0)，→(－1,1,1)為其一組解，所以可取n1＝(－1,1,1).A1D＝(0,1，－1)，由此同理可得n2＝(0,1,1).所以結(jié)合圖形知二面角E-A1D-B1的余弦值為|n1|·|n2||n1·n2|

＝

23×

26＝

3

.思維升華求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.思維升華(2015·重慶)如圖，三棱錐P-ABC

中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝π

D，E

分別為線段AB，BC

上的點(diǎn)，2.且

CD＝DE＝

2，CE＝2EB＝2.(1)證明：DE⊥平面

PCD；證明

由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE.由

CE＝2，CD＝DE＝

2得△CDE

為等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE⊥平面PCD.跟蹤訓(xùn)練3解析答案(2)求二面角A-PD-C的余弦值.解析答案4解

由(1)知，△CDE

為等腰直角三角形，∠DCE＝π，如圖，過D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝π得DF∥AC，DF＝FB＝2，2

AC

BC

3解析答案故AC＝3DF＝3.2

2以C

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以→，→，→的方向?yàn)閤

軸，y

軸，z

軸的正CA

CB

CP方向，建立空間直角坐標(biāo)系，32→則

C(0,0,0)，P(0,0,3)，A

，0，0，E(0,2,0)，D(1,1,0)，ED＝(1，－1,0)，→

→DP＝(－1，－1,3)，DA＝

12，－1，0.設(shè)平面PAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，解析答案→

→－x1－y1＋3z1＝0，由n1·DP＝0，n1·DA＝0，得121

1

x

－y

＝0，由

⊥平面

PCD，故平面PCD

的法向量2→n

可取為ED，即故可取n1＝(2,1,1).(1)可知DEn2＝(1，－1,0).從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cos〈n1，n2〉＝1

2＝|n1|·|n2|

6n

·n

3，故所求二面角A-PD-C

的余弦值為63.例4

如圖，△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面

MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝

2

3，求點(diǎn)A到平面

MBC的距離.(供選用)題型四求空間距離題型四思維升華解析答案解

如圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM，因?yàn)椤鰾CD與△MCD均為正三角形，所以O(shè)B⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)椤鰾CD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，思維升華解析答案所以

OB＝OM＝

3，則

O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，

3)，B(0，－3，0)，A(0，－

3，2

3)，→所以→

＝(1，

3，0)，BM＝(0，

3，

3).BC設(shè)平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，由n⊥BC，→n⊥BM，得→

→→n·BM＝0，即n·BC＝0，

x＋3y＝0，

3y＋

3z＝0，思維升華解析答案取

x＝

3，可得平面

MBC

的一個(gè)法向量為

n＝(

3，－1,1).又→BA＝(0,0,2

3)，→|n|所以所求距離為d＝|BA·n|＝2515.思維升華求點(diǎn)面距一般有以下三種方法：①作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；②等體積法；③向量法.其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便.思維升華如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA1.(1)求證：CD＝C1D；解析答案證明

連接AB1，交BA1于點(diǎn)O，連接OD.∵B1P∥平面BDA1，B1P?平面AB1P，平面AB1P∩平面BA1D＝OD，∴B1P∥OD.又∵O為B1A的中點(diǎn)，∴D為AP的中點(diǎn).∵C1D∥AA1，∴C1為A1P的中點(diǎn).12

21

1

1∴DC

＝1AA

＝1CC

，∴C

D＝CD.(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；解析答案解

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz，12則B

(1,0,0)，B(1,0,1)，D(0,1，1)，∴

→

→1

1

1

1→12A

B

＝(1,0,0)，A

B＝(1,0,1)，A

D＝(0,1，

).設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為n＝(x1，y1，z1).

→A1B·n＝0，1由

→A

D·n＝0，得x1＋z1＝0，1121y

＋

z

＝0.解析答案令z1＝2，則x1＝－2，y1＝－1，又

→∴n＝(－2，－1,2).A1B1＝(1,0,0)為平面AA1D的一個(gè)法向量，→∴cos〈n，A1B1〉＝n·A

B1

1→|n||A1B1|－2→

3×13＝

＝－2.由圖形可知二面角A－A1D－B為銳角，13∴二面角A－A

D－B

的平面角的余弦值為2.(3)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離.解析答案返回21解

∵C(0,1,1)，D(0,1，1)，B

(1,0,0)，P(0,2,0)，∴

→CD＝(0,0，－

)，1DB

＝1

12

2→

→(1，－1，－

)，DP＝12(0,1，－

).

→DB1·m＝0，由

→DP·m＝0，得設(shè)平面B1DP的一個(gè)法向量為m＝(x2，y2，z2).1x2－y2－2z2＝0，2122y

－

z

＝0.1令z2＝2，則x2＝2，y2＝1，∴m＝(2,1,2).→|m|

3∴點(diǎn)C

到平面B

DP

的距離d＝|CD·m|＝1.返回答題模板系列答題模板系列6.利用空間向量求解空間角典例

(12分)

(2014·天津)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：BE⊥DC；求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值.解析答案答題模版溫馨提醒返回規(guī)范解答(1)證明

依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).

[1分]由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1).→

→BE＝(0,1,1)，DC＝(2,0,0)，故→→BE·DC＝0，所以BE⊥DC.[3

分]溫馨提醒答題模版解析答案→（2）解

BD＝(－1,2,0)，→PB＝(1,0，－2).設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量，則→n·BD＝0，→n·PB＝0，即－x＋2y＝0，x－2z＝0.不妨令y＝1，[5

分]溫馨提醒答題模版解析答案可得n＝(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.→→|n|·|BE|于是有cos〈n，→〉＝

n·BE

＝BE26×

2＝33，3所以，直線

BE

與平面

PBD

所成角的正弦值為

3.[7

分]溫馨提醒答題模版解析答案→

→

→

→(3)解

BC＝(1,2,0)，CP＝(－2，－2,2)，AC＝(2,2,0)，AB＝(1,0,0).由點(diǎn)F

在棱PC

上，設(shè)→＝λ

→，0≤λ≤1，CF

CP故→

→

→

→

→BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ，2－2λ，2λ).由BF⊥AC，得→·

→＝0，BF

AC4因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝3，溫馨提醒答題模版解析答案即→1

1

3BF＝(－2，2，2).[9

分]則→n1·AB＝0，1→n

·BF＝0，即x＝0，1

1

3－2x＋2y＋2z＝0.設(shè)n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，溫馨提醒答題模版解析答案不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量.取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)，則cos〈n1，n2〉＝n

·n1

2|n1|·|n2|－310×1＝

＝－31010.所以其余弦值為31010

.溫馨提醒答題模版返回[12

分]易知，二面角F－AB－P是銳角，答題模版

利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系.第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo).第四步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值).第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角.第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.溫馨提醒利用向量求角是高考的熱點(diǎn)，幾乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用.本題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不規(guī)范.將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否則易失分.溫馨提醒返回思想方法 感悟提高用向量來求空間角，都需將各類角轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)向量的夾角來計(jì)算，問題的關(guān)鍵在于確定對(duì)應(yīng)線段的向量.求點(diǎn)到平面的距離，若用向量知識(shí)，則離不開以該點(diǎn)為端點(diǎn)的平面的斜線段.方法與技巧利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角.因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、范圍不同.求點(diǎn)到平面的距離，有時(shí)利用等體積法求解可能更方便.求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角.失誤與防范返回練出高分1

2

3

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10

11

121.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面B.60°D.60°或30°解析

設(shè)直線l與平面α所成的角為β，直線l與平面α的法向量的夾角為γ.2則sin

β＝|cos

γ|＝|cos

120°|＝1.又∵β∈[0°，90°]，∴β＝30°，故選C.α所成的角等于(

C

)A.120°C.30°解析答案2.(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為()1

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11

12A.

1

10B.25C.

3010D.22解析答案解析

補(bǔ)成正方體，利用向量的方法求異面直線所成的角.1

2

3

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8

9

10

11

12∴

→→由于∠BCA＝90°，三棱柱為直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可將三棱柱補(bǔ)成正方體.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，BM＝(－1，－1,2)，AN＝(0,1,2).→

BM·AN→

→∴cos〈→，AN〉＝BM

→→|BM||AN|解析答案1

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11

12＝36×

5＝3010

.答案

C=

-1

+

4

(-1)2

+

(-1)2

+

22

·

02

+12

+

221

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10

11

123.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(

)A.12B.23C.33D.22解析答案1

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10

11

12解析

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1.12則A

(0,0,1)，E(1,0，1)，D(0,1,0)，1∴

→A

D＝(0,1，－1→121)，A

E＝(1,0，－

).設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1＝(1，y，z)，

→A1D·n1＝0，所以有

→1

1A

E·n

＝0，解析答案1

2

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10

11

12即y－z＝0，11－2z＝0，∴y＝2，z＝2.∴n1＝(1,2,2).∵平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝23×13＝2，3即所成的銳二面角的余弦值為2.答案

B1

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10

11

124.如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1

的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D

點(diǎn)在棱AA1

上且AD＝2DA1，P

點(diǎn)在棱C1C

上，則→

→PD·PB1的最小值為(

)A.52B.－14C.14D.－52解析答案1

2

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11

12解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，PD

PB11∴

→

→PD·PB

＝0＋0＋(2－z)(3－z)＝(z5

2

12

4–

)

－

，故當(dāng)z＝5時(shí)，→PD·PB14→取得最小值－1.2答案

B1

2

3

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7

8

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11

125.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于

.解析答案1

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11

12解析

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則→

→1→DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC

＝(0,1,2).1設(shè)平面

BDC

的法向量為n＝(x，y，z)，則→n⊥DB，1→n⊥DC

，所以有解析答案x＋y＝0，y＋2z＝0，1

2

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11

12令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1).設(shè)CD與平面BDC1所成的角為θ，

→

→

|n||DC|3則sin

θ＝|cos〈n，→〉|＝

n·DC

＝2.DC答案231

2

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11

126.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于

.解析答案1

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11

12解析

延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點(diǎn)H，連接EH，則∠EHB為所求二面角的平面角.∵BH＝3

2，EB＝1，2∴tan∠EHB＝EB＝BH

32.答案

231

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11

127.(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；解析答案1

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11

12證明

如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD

中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，可得

AG＝GC＝

3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又

AE⊥EC，所以

EG＝

3，且

EG⊥AC.22.在

Rt

△EBG

中，可得

BE＝

2，故

DF＝在

Rt

△FDG

中，可得

FG＝

62

.解析答案1

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11

122，DF＝22，可得EF＝322，在直角梯形BDFE

中，由BD＝2，BE＝從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.1

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11

12(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.解析答案1

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11

12解

如圖，以

G

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以→

，

→

的方向?yàn)?/p>

x

軸，y

軸正方向，GB

GC→|GB|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，由(1)可得A(0，－

3，0)，E(1,0，

2)，F(xiàn)

－1，0，

22，C(0，

3，0)，→

→所以AE＝(1，

3，

2)，CF＝－1，－3，

22.→

→→

→|AE||CF|故cos〈→，→〉＝

AE·CF

＝－AE

CF33.所以直線

AE

與直線

CF

所成角的余弦值為

33

.1

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11

128.(2014·

課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，三棱柱ABC

－A1B1C1

中，側(cè)面BB1C1C

為菱形，

AB⊥B1C.(1)證明：AC＝AB1；證明

如圖所示，連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1，且O為B1C及BC1的中點(diǎn).又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.由于AO?平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.解析答案1

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11

12(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值.解析答案1

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10

11

12解

因?yàn)锳C⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，所以AO＝CO.又因?yàn)锳B＝BC，所以△BOA≌△BOC，故OA⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩互相垂直.1解析答案以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OB

、→

→

→OA的方向?yàn)閤

軸、y

軸、z

軸的正方向，→|OB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1

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11

12因?yàn)椤螩BB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形.又AB＝BC，OC＝OA，1則

A(0,0，

3)，B(1,0,0)，B

(0，

3，0)，C(0，－3

3

33，0)，

→

＝(0，AB133，3→

→

→3

3–

3)，

→

＝AB＝(1,0，－

)，B

C

＝BC＝(－1，－

，0).A1B1

3

1

1

3設(shè)n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，解析答案1

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11

12則→n·AB1＝0，1

1→n·A

B

＝0，即

3

3y－

33

z＝0，x－

33z＝0.所以可取

n＝(1，

3，

3).設(shè)m

是平面A1B1C1

的法向量，則→m·A1B1＝0，1

1→m·B

C

＝0.解析答案1

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11

12同理可取

m＝(1，－

3，

3).|n||m|

7則cos〈n，m〉＝

n·m

＝1.1

1

17所以二面角

A－A

B

－C

的余弦值為1.9.在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是(

)A.30°C.60°B.45°D.90°1

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12解析答案1

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12a2則

A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P0，－

，a2.則→CA＝(2a,0,0)，→AP＝

a－a，－

，a2

2→，CB＝(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，解析

如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.解析答案1

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12則→n·CA＝0，→n·AP＝0，解得x＝0，y＝z，可取n＝(0,1,1)，→→|CB|·|n|則cos〈→，n〉＝

CB·n

＝CBa2a2·

22＝1，又∵〈→，n〉∈(0°，180°)，CB∴〈→，n〉＝60°，CB∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°.答案

A1

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11

1210.如圖，在四棱錐S－ABCD

中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD

為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3.E，F(xiàn)

分別為線段BC，SB

上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，滿足SF＝CE＝λ，當(dāng)實(shí)數(shù)

λ

的值為

時(shí)，∠AFE

為BF

BE直角.解析答案1

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11

12解析

因?yàn)镾A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3).設(shè)BC＝m，則C(m,4,0)，∵SF＝CE＝λ，BF

BE∴→

→SF＝λFB.解析答案1

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10

11

12∴→

→

→

→AF－AS＝λ(AB－AF).∴→λ

1

→→AF＝1＋

(AS＋λAB)＝

1

1＋λ(0,4λ，3)，∴F(0，

4λ

，31＋λ

1＋λ).1＋λ同理可得

E(

m

，4,0)，→

m

4

－3∴FE＝(1＋λ，1＋λ，1＋λ).1

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11

12→－4λ

－3∵FA＝(0，1＋λ，1＋λ)，要使∠AFE

為直角，即→→FA·FE＝0，則

0·

m

＋－4λ·41＋λ

1＋λ

1＋λ

1＋λ

1＋λ＋

－3

·

－3

＝0，16∴16λ＝9，解得λ＝

9

.答案

9

161

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11

1211.(2015·江蘇)如圖，在四棱錐P-ABCD

中，已知PA⊥平面2ABCD，且四邊形ABCD

為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝π，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；解析答案1

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3

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10

11

12→

→

→解

分別以AB，AD，AP為

x，y，z

軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，→→則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).因?yàn)锳D⊥平面PAB，所以→是平面PAB

的一個(gè)法向量，AD＝(0,2,0).AD→因?yàn)镻C＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2).解析答案1