機電控制工程基礎-第2版課件第5章-系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

第五章系統(tǒng)穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念勞斯穩(wěn)定判據(jù)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Bode穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定性的定義基本概念：若控制系統(tǒng)在初始偏差的作用下，其時間響應隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。否則，稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部。即：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部位于[s]平面的左半平面。臨界穩(wěn)定狀態(tài)：一對共軛極點位于虛軸上或有一極點位于原點。臨界穩(wěn)定狀態(tài)——不穩(wěn)定系統(tǒng)勞斯穩(wěn)定判據(jù)

避免對特征方程的直接求解，討論特征根的分布情況，看起是否具有負實部，來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。勞斯Routh穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）——基于特征方程根與系數(shù)的關系，通過對系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)進行代數(shù)運算，得出全部特征根具有負實部的條件，以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的特征方程穩(wěn)定的必要條件：特征方程各項系數(shù)ai符號相同，且不等于零。勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程穩(wěn)定的充分條件(勞斯穩(wěn)定判據(jù))：勞斯表中第一列各元素均為正值，且不為零。勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯表勞斯穩(wěn)定判據(jù)二階系統(tǒng)(n=2)，特征方程為，勞斯表為得二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：a2>0，a1>0，a0>0，即

ai>0

。三階系統(tǒng)(n=3)，特征方程為，勞斯表為得三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0，a2>0，a1>0，a0>0，a1a2>a0a3，

即

ai>0，a1a2>a0a3

。解：列勞斯表系數(shù)符號不全為正值，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。設系統(tǒng)的特征方程為試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯表中第一列各元素符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。設系統(tǒng)的特征方程為試確定使該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。解：列勞斯表解得，K>0.5已知某系統(tǒng)的特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表當ε→0時，(2-2/ε)<0，勞斯表中第一列各元素符號不全為正，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯判據(jù)的特殊情況(1)(1)勞斯表中某一行的第一列元素為零，但其余元素不全為零用一個很小的正數(shù)ε代替第一列等于零的元素，計算表中其他各元素，最后令ε→0，再按照前述方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判別。設系統(tǒng)的特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表由于s3行的元素全為零，由其上一行構成輔助多項式為勞斯判據(jù)的特殊情況(2)A(s)對s求導，得一新方程

新勞斯表表中第一列各元素符號都為正，說明系統(tǒng)沒有右根，但是因為s3行的各項系數(shù)全為零，說明虛軸上有共軛虛根。令A(s)=0，解得勞斯判據(jù)的特殊情況(2)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。(2)勞斯表中某一行的元素全部為零

利用該行的上一行的元素構成輔助多項式，并利用這個多項式方程的一階導數(shù)所得到的一組系數(shù)來代替該零行，然后繼續(xù)進行計算。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（幾何判據(jù)）——利用開環(huán)Nyquist圖，判斷系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性。無需求解特征根，還可得知系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備。米哈伊洛夫定理米哈伊洛夫定理：研究系統(tǒng)特征方程的頻率特性，根據(jù)相角的變化，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)特征方程：米哈伊洛夫定理頻率特性模和相角向量（jω－si）的表示向量（jω－si）的相角變化米哈伊洛夫定理假定n階特征方程D(jω)有p個根在[s]平面的右半平面，(n-p)個根在左平面，則當ω由-∞變到+∞時，向量D(jω)的相角變化為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，p=0，則向量D(jω)的相角變化為：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)令開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(1)若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)也穩(wěn)定，有：GK(jω)的Nyquist圖不包圍(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

(2)若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有：

欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，有：當ω從0變化到＋∞時，F(xiàn)(jω)相角逆時針變化為pπ，即F(jω)的Nyquist圖逆時針包圍原點p/2次，

GK(jω)的Nyquist圖逆時針包圍(-1,j0)點p/2次，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在[s]的右半平面有p個極點，當ω從0變化到＋∞時，其開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時針方向包圍(-1,j0)點p/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。

開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，p=0，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析

開環(huán)系統(tǒng)的零根作為左根處理Ⅰ型Ⅱ型Ⅲ型開環(huán)傳遞函數(shù)具有延時環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

不改變幅頻特性，僅使相頻特性滯后增加。τ越大，滯后越多。開環(huán)傳遞函數(shù)，求其閉環(huán)穩(wěn)定性。p=0，開環(huán)穩(wěn)定，Nyquist圖不包圍（-1,j0），閉環(huán)穩(wěn)定。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例

解：做Nyquist圖，開環(huán)傳遞函數(shù)，求其閉環(huán)穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例

解：做Nyquist圖，閉環(huán)穩(wěn)定與負實軸交叉點開環(huán)傳遞函數(shù)，求其閉環(huán)穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例

解：做Nyquist圖，p=0，1—T4小，閉環(huán)不穩(wěn)定2—T4大，閉環(huán)穩(wěn)定Bode穩(wěn)定判據(jù)Nyquist圖與Bode圖之間的對應關系剪切頻率ωc相位穿越頻率ωg穿越的概念開環(huán)Nyquist曲線在(-1,j0)點以左穿過負實軸。在L(ω)≥0的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性穿過-180o線。負穿越Bode穩(wěn)定判據(jù)如果系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的p＝0，則在開環(huán)Bode圖上L(ω)≥0的所有頻率范圍內(nèi)，其對數(shù)相頻特性曲線φ(ω)不超過-180o線或正負穿越次數(shù)相等，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]的右半平面有p個極點，在開環(huán)Bode圖上L(ω)≥0的頻率范圍內(nèi)，其對數(shù)相頻特性曲線φ(ω)在-180°線上正負穿越次數(shù)之差為p/2，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)p=0，正負穿越之差0次，閉環(huán)穩(wěn)定。(b)p=1，半次正穿越，閉環(huán)穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)舉例(c)p=2，正負穿越之差-1次，閉環(huán)不穩(wěn)定。(d)p=2，正負穿越之差1次(p/2)，閉環(huán)穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)舉例系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性：相對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)距離不穩(wěn)定（或臨界穩(wěn)定）狀態(tài)的程度。

GK(jω)靠近(-1,j0)的程度。

定量指標：

相位裕度γ

幅值裕度Kg系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相位裕度γω=ωc時，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相位滯后量。正相位裕度：γ>0γ在Nyquist圖負實軸以下，在Bode圖-180o線以上，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；負相位裕度：γ<0

γ在Nyquist圖負實軸以上，在Bode圖-180o線以下，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。幅值裕度Kg正幅值裕度:Kg(dB)>0，Kg(dB)在Bode圖0dB線以下，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;負幅值裕度:Kg(dB)<0Kg(dB)在Bode圖0dB