第五章二次型

幾何與代數(shù)

主講:吳霞

東南大學(xué)線性代數(shù)課程

一.二次型及其矩陣表示第五章二次型與二次曲面

§5.1二次型f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn

+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

+a33x32+…+2a3nx3xn

…

+

annxn2n元實二次型

令aji

=aij

§5.1二次型第五章二次型

f(x1,x2,…,xn)

A=a11

a12…a1na21

a22…a2n…………an1

an2…annx=x1x2…xnxTAx

f的矩陣A的二次型

f的秩:r(A)r(f

)對稱陣

§5.1二次型第五章二次型

f(x1,x2,…,xn)

k1y12+k2y22+…+knyn2

?f的標(biāo)準(zhǔn)形xTAx=(y1,y2,…,yn)=k10…00k2…0…………00…kn

y1

y2

…yn

§5.1二次型第五章二次型f(x)=xTAx尋求可逆矩陣P,使得尋求可逆的線性變換x=Py,

PTAP=k10…00k2…0…………00…kn

=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y

=g(y)

§5.2二次型第五章二次型二.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1.矩陣的合同A與B相合或合同(記為AB):(2)反身性:AA.可逆矩陣P,使得PTAP=B.注:(1)AB

AB.(4)傳遞性:A

B,B

CA

C.(3)對稱性:A

B

B

A.(5)AT=A(PTAP)=PTATP

=PTAP.T

§5.2二次型第五章二次型f(x)=xTAx尋求可逆矩陣P,使得尋求可逆的線性變換x=Py,

PTAP=k10…00k2…0…………00…kn

=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y

=g(y)

定理5.7.AT=A

Mn(R)正交矩陣Q使得

Q1AQ=QTAQ=.回憶§5.2二次型第五章二次型定理6.1.實對稱矩陣與對角矩陣合同.(EA)x=

|EA|=0特征值特征向量正交化單位化Q

§5.2二次型第五章二次型

f(x1,x2,…,xn)=xTAx=1y12+2y22+…+nyn2

(y1,y2,…,yn)=10…002…0…………00…n

y1

y2

…yn

x=Qy

=yT(QTAQ)y

(Qy)TA(Qy)2.二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形

§5.2二次型第五章二次型定理6.2.f(x1,x2,…,xn)=xTAx可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形1y12+2y22+…+nyn2,其中1,2,…,n為A的特征值.2.二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形

§5.2二次型第五章二次型例1.用正交變換把將二次型

f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3

化為標(biāo)準(zhǔn)形.|E–A|=(–1)(–2).所以A的特征值為1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=求得對應(yīng)的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它們是兩兩正交的.解:f的矩陣A=101010101,

§5.2二次型第五章二次型所以A的特征值為1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=求得對應(yīng)的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,1)T.它們是兩兩正交的.把它們單位化可得正交矩陣令x=Qy,得該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f=0y12+y22+2y32=y22+2y32.Q=0100,222211110

§5.2二次型第五章二次型例2.求二次型f=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3

在條件x12+x22+x32=1下的最大,最小值.由此可得A的對應(yīng)于特征值

=4的一個特征向量:1=(1,1,0)T,|EA|=(4)2(+2).初等行變換解:f的矩陣A=312132220,4EA=11211222410

0100200

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

A的對應(yīng)于特征值

=2的一個特征向量為3=(1,1,2)T,再作單位化,得可得A的對應(yīng)于特征值

=4的一個特征向量:1=(1,1,0)T,4E–A=112112224初等行變換10

0100200

=4的另外一個與1正交的特征向量為2=13=(1,1,1)T,

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

f=4y12+4y22

2y32

由此可得正交矩陣Q=x12+x22+x32=10,6162212131313161令x=Qy,得該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為f=4y12+4y222y32.=4(y12+y22+y32)6y32=46y32

最大值為4,最小值為2.

=6(y12+y22)2(y12+y22+y32)=6(y12+y22)2可化為y12+y22+y32=1,

此時

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

3.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

例3.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形.解:f=4x12+3x22+2x2x3+3x32令則f=4y12+3y22+(8/3)y32.

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

例4.用配方法化f=x123x222x1x26x2x3+2x1x3

為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的可逆線性變換.解:f=x123x222x1x26x2x3+2x1x3

=[x122x1(x2x3)+(x2x3)2]

(x2x3)2

3x22

6x2x3

=(x1x2+x3)2

(2x2+x3)2

=y12

y22

得y=x.10012011

1因而x=y.1001/21/203/21/2

1取y3

=x3,

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

例5.用配方法化f=2x1x2+2x1x3–6x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形.

并求所用的可逆變換矩陣.解:

令x1=y1+

y2,x2=y1–

y2,x3=y3.

則f=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3.

配方得f=2(y1–

y3)2–2(y2–2y3)2+6y32.

令z1=y1–

y3,z2=y2–2y3,z3=y3,

即

y3=z3,

則f=2z12–2z22+6z32.

所用的變換矩陣為x=y

110110001y=z

101012001C=110110001101012001113111001=.y2=z2+2z3,y1=z1+

z3,

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

例5.f=2x1x2+2x1x3–6x2x3|E–A|=(–3)[+(3+)][+(3)].12171712分析:若用前面正交變換的方法化f為標(biāo)準(zhǔn)形,非常麻煩.因為但由此可見f可化為f=3y12

(3+)y22+(3)y32.1217171201110313

0,f(x1,x2,x3)的矩陣A=

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

f=2x1x2+2x1x3

6x2x3

用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形為:例5中,在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為:f=3y12

(3+)y22+(3)y32.12171712f=2z12

2z22+6z32.三.慣性定理與規(guī)范形r(A)=p+q

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

定理6.3.f(x1,x2,…,xn)=xTAxk1y12+k2y22+…+knyn2,k1,…,kn中r(A)個非零p個正的可逆線性變換x=Py

q個負(fù)的r,p,q是確定的,與P的選擇無關(guān).正慣性指數(shù)負(fù)慣性指數(shù)

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

f=2x1x2+2x1x3

6x2x3

用配方法得到的標(biāo)準(zhǔn)形為:例5中,在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為:f=3y12

(3+)y22+(3)y32.12171712f=2z12

2z22+6z32.r=3,p=2,q=1.

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

例6.4000000033000000040010101000010101001000010101000010103000400001/30001/200011/30001/20001100010000回憶

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

推論1.實二次型f(x)=xTAx總可以通過Rn中的可逆線性變換最終將其化為規(guī)范形且規(guī)范形是唯一的.p項q項r項這個真是唯一的!

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

推論2.設(shè)n階實對稱矩陣A的秩為r,正慣性指數(shù)為p,則存在可逆陣P,使PTAP=00…11…

11…Ep

Eq

O

.=p

rp=q

nr

A的規(guī)范形

§5.2二次型第五章二次型與二次曲面

兩個n階實對稱矩陣A與B合同

A與B具有相同的秩和正慣性指數(shù).推論3.Ep

Eq

O

A與B具有相同的規(guī)范形

§5.3正定性

第五章二次型與二次曲面

四.二次型的正定性1.定義:f(x)=xTAxxf(x)=xTAx>0實二次型

f(x),A正定

xf(x)=xTAx<0

f(x),A負(fù)定

注:只有實對稱矩陣才有正定,負(fù)定的概念.

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

2.性質(zhì)(1)Ann,Bnn正定A+B正定矩陣.x,xT(A+B)x

=xTAx+xTBx

>0

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

(3)A正定,P可逆2.性質(zhì)(1)Ann,Bnn正定A+B正定矩陣.(2)正定i,di>0.PTAP正定.d1

dn

…

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

Ann正定

A的正慣性指數(shù)

p=n

A的特征值1,…,n>0

A與單位矩陣E合同

可逆陣P使得A

=

PTP

定理6.4.設(shè)A為n階實對稱陣,則下列條件等價:(1)(2)(3)(4)(5)(即x

xTAx>0)推論.|A|=1…n

|A|>0.A正定|A|=|PTP|=|PT||P|=|P||P|3.判定

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例7.若實對稱陣A滿足A2

3A+2E=O,

故存在可逆矩陣P使得A=PTP.

證:A的化零多項式為x23x+2,根為1和2,由此可得A的特征值

=1或2,證明:存在可逆矩陣P使得A=PTP.

特征值

>0說明A正定,

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例8.若A為n階正定矩陣,

證:可知A的特征值1,…,n全大于零,由正定矩陣必然實對稱知,正交矩陣Q,|A+E|=(1+1)…(n+1)Q1AQ=Q1(A+E)Q1

n

…,=Q1AQ+E=1+1n+1…,證明:|A+E|>1.>1.

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例9.若A=正定,a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33(1,0,0)A

100則>0.a11=

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例9.若A=正定,a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33則x1

x2

x1

x2

0(x1,x2,0)x1

x2

0a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33>0.=

(x1,x2)x1

x2a11

a12

a21

a22

①

a11

>0.

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例9.若A=正定,a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33則a11

a12

a21

a22

正定,①

a11

>0.a11

a12

a21

a22

因而>0.

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例9.若A=正定,a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33則①

a11

>0.a11

a12

a21

a22

②>0.③a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33>0.A的順序主子式

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

定理6.5.n階實對稱矩陣A正定

A的各階順序主子式…,2=a11

a12a21

a22,1=a11,均大于零.n=|A|26

63

2==30,故A不是正定的.例如A=26463141

4中二階順序主子式

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例10.若f(x1,x2,x3)=x12+x22+5x32+2ax1x2

2x1x3+4x2x3

是正定的,求a的取值范圍.解:f(x1,x2,x3)的矩陣A=1a

1

a12125的順序主子式1=1>0,2=1a

a1=1a2>0,3=|A|=a(5a+4)>0.1a2>0且a(5a+4)>0

4/5<a<0.

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例11.設(shè)A,B都是實對稱矩陣,M=A

O

O

B

,證明:M正定A,B都正定.證明:()①M正定x,y,xTAx=>0,yTBy=(T,yT)M

y>0,A,B都正定.

(xT,T)M

x

§5.3正定性第五章二次型與二次曲面

例11.設(shè)A,B都是實對稱矩陣,M=A

O

O