2022-2023學年北京市重點學校高二（下）期中數(shù)學試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年北京市重點學校高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4=2，aA.an=?2n+10 B.2.一次演出，原計劃要排4個節(jié)目，因臨時有變化，擬再添加2個小品節(jié)目，若保持原有4個節(jié)目的相對順序不變，則這6個節(jié)目不同的排列方法有(

)A.20種 B.25種 C.30種 D.32種3.下列函數(shù)的求導運算中，錯誤的是(

)A.(x2+3ex)′=4.在(x?2)6的展開式中，A.160 B.?160 C.120 D.5.設a∈R，函數(shù)f(x)=x3+aA.y=?3x B.y=?6.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a3a5A.128 B.127 C.126 D.1257.在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個數(shù)，將其組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則能被5整除，且比4351大的數(shù)共有(

)A.54個 B.62個 C.74個 D.82個8.已知R上可導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x?A.(?2,2)∪(3,9.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=?5，A.最小項為b3 B.最大項為b3 C.最小項為b4 10.關于函數(shù)f(x)=A.x=2是f(x)的極小值點

B.函數(shù)y=f(x)?x有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)k，使得f(二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）11.函數(shù)f(x)=l12.若(x2?1x)n展開式中的所有二項式系數(shù)和為512，則n=13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(an,Sn)在直線3x?2y?14.當x>0時，函數(shù)f(x)=215.數(shù)列{an}中的所有項排成如下數(shù)陣：

a1

a2a3a4

a5a6a7a8a9

……

已知從第二行開始每一行比上一行多兩項，第一列數(shù)a1，a2，a5，…成等差數(shù)列，且a2=4三、解答題（本大題共6小題，共85.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題14.0分)

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2=?9，a5=0．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)17.(本小題14.0分)

已知x=3是函數(shù)f(x)=x3?ax2?9x18.(本小題14.0分)

4名男生和4名女生(包含甲、乙)站成一排表演節(jié)目．

(Ⅰ)若這4名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？

(Ⅱ)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？

(Ⅲ)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？19.(本小題14.0分)

已知函數(shù)f(x)=ex?cosx．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))20.(本小題14.0分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+(a?2)x?xlnx．

(1)設a=21.(本小題15.0分)

若數(shù)列A：a1，a2，…，an滿足：對任意1≤i<j≤n，均有ai+i≤aj+j成立，則稱數(shù)列A為“D?數(shù)列”．

(Ⅰ)直接判斷下面三個數(shù)列是否是“D?數(shù)列”；

①A：1，2，3，4；②A：1，3，2，4；③A：4，3，2，1；

(Ⅱ)若“D數(shù)列”A：a1，a2，…，a2018滿足a1=2018，證明：數(shù)列A是等差數(shù)列的充分不必要條件是a2018答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．

設等差數(shù)列{an}的公差為d.由于a4=2解：設等差數(shù)列{an}的公差為d．

∵a4=2，a7=?4，

∴a1

2.【答案】C

【解析】解：本題需要分類來解，

首先當兩個節(jié)目放在相鄰的位置，有C51A22=10種結果，

當兩個節(jié)目不相鄰，從原來形成的五個空中選兩個空排列，共有A52=20種結果，

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有10+20=3.【答案】C

【解析】解：對于A，(x2+3ex)′=2x+3ex，故A正確；

對于B，(2sinx?3)′=2co4.【答案】B

【解析】解：在(x?2)6的展開式中，通項公式為Tr+1=C6r?x6?r?(?2)r，令6?r5.【答案】A

【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+(a?3)，

∵f′(x)是偶函數(shù)，

∴3(?x)6.【答案】C

【解析】解：數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，

設等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，an>0，

a3a5=a42=647.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了分步乘法和分類加法計數(shù)原理，屬于中檔題．

由題意分千位數(shù)為4，百位數(shù)為3；千位數(shù)為4，百位數(shù)為5；千位數(shù)為4，百位數(shù)為6；千位數(shù)為5；千位數(shù)為6五種情況分析求解即可．【解答】解：若這個數(shù)的千位數(shù)為4，百位數(shù)為3，則這個數(shù)可以是4360，4365，共2個，

若這個數(shù)的千位數(shù)為4，百位數(shù)為5，則這個數(shù)的個位只能是0，滿足條件的數(shù)共有C41=4個，

若這個數(shù)的千位數(shù)為4，百位數(shù)為6，則滿足條件的數(shù)共有C21C41=8個，

若這個數(shù)的千位數(shù)為5，這個數(shù)的個位只能是0，則滿足條件的數(shù)共有A52=20

8.【答案】A

【解析】解：由函數(shù)f(x)的圖象可得，

當x∈(?∞,?2)，(2,+∞)時，f′(x)>0，

當x∈(?2,2)時，f′(x)<0．

由(x9.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式，還考查了利用數(shù)列的單調性定義求解數(shù)列的最值項，函數(shù)思想的應用是求解問題的關鍵．

由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求bn【解答】解：等差數(shù)列{an}中，a1=?5，a3=?1，

所以d=2，an=?5+2(n?1)=2n?7，Sn=?5n+n(n?1)2×

10.【答案】C

【解析】解：f(x)=2x+lnx，(x>0)，f′(x)=?2x2+1x=x?2x2，

當x∈(0,2)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減；

當x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增；

所以x=2是f(x)的極小值點，A正確；

所以f(x)極小值為f(2)=ln2+1，

f(x)圖像如下圖所示：

設h(x)=kx，因為k是正整數(shù)，最小值為1，如圖所示，

當k=1時，有f(1)>h(1)，f(2)<h(2)，

故不滿足f(x)>kx恒成立，

當k>1時，由圖像可知，h(x)=kx與f(x)=2x+l11.【答案】(0【解析】解：函數(shù)f(x)=lnxx+1的定義域為(0,+∞)，求導得f′(x)=1?ln12.【答案】9

?

【解析】解：由已知可得2n=512，解得n=9，

則(x2?1x)9的展開式的通項為Tr+1=(?1)rC9rx18?3r，

令1813.【答案】2

2?3n【解析】解：由題意，點(an,Sn)在直線3x?2y?2=0上，

則3an?2Sn?2=0，

整理，得Sn=32an?1，

當n=1時，a1=S1=32a1?1，解得a1=2，

當n≥214.【答案】(e【解析】解：f′(x)=?ex+2mx(x>0)，

根據(jù)題意，可得f′(x)=0在(0,+∞)上兩個根，

即?ex+2mx=0在(0,+∞)上有兩個根，

即m=ex2x在(0,+∞)上有兩個根，

設15.【答案】①③【解析】解：對①，∵第一列數(shù)a1，a2，a5，…成等差數(shù)列，且a2=4，a10=10，

∴d=a10?a22=10?42=3，故a1=a2?d=4?3=1，∴①正確；

對②，∵第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第n行的第一項為：1+(n?1)d=3n?2，

第一行共有1項，第二行共有3項，第三行共有5項，……，第n行共有(2n?1)項，

所以前一行共有12項，前二行共有22項，前三行共有32項，…，前n行共有n2項，

∴前44行共有442=1936項，而2022?1936=86，

∴a2022位于第45行86列，∴②錯誤；

對④，∵第一列數(shù)所組成的等差數(shù)列第n行的第一項為：1+(n?1)d16.【答案】解：(Ⅰ)設等差數(shù)列數(shù)列{an}的公差為d，

由a2=?9，a5=0，可得a1+d=?9，a1+4d=0，

解得a1=?12，d=3，

所以an=?【解析】(Ⅰ)由等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求；

(Ⅱ)由等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式可得公比，再由等比數(shù)列的求和公式可得所求和．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．

17.【答案】解：(1)∵x=3是f(x)的一個極值點．∴f′(3)=0.f′(x)=3x2?2ax?9，

∴f′(3)=27?6a?9【解析】(1)由題意利用f′(3)=0求得18.【答案】解：4名男生和4名女生(包含甲、乙)站成一排表演節(jié)目．

(1)要使這4名女生不相鄰，可以先排4名男生，再將4名女生插入4名男生產(chǎn)生的5個空中，

所以這4名女生不相鄰的排法有A44?A54=24×120=2880種．

(2)利用捆綁法，把甲和乙捆在一起，看作一個人，

則不同的排法有77A22A=10080種；【解析】(1)先排4名男生，再將4名女生插入4名男生產(chǎn)生的5個空中，利用插空法求解即可；

(2)利用捆綁法求解即可；

(19.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=ex+sinx，所以f(0)=0，f′(0)=1，

故曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x；

(Ⅱ)證明：由題意得g(x)=x(ex+sinx)?(【解析】(Ⅰ)由題意得f′(x)=ex+sinx，求出f(0)=0，f′20.【答案】解：(1)①當a=0時，f(x)=?2x?xlnx，(x>0)，

則f′(x)=?2?(1+lnx)=?3?lnx，

令f′(x)>0，得0<x<e?3，令f′(x)<0，得x>e?3，

∴f(x)在(0,e?3)上單調遞增，在(e?3,+∞)上單調遞減；

②結合①當x=e?3時，函數(shù)f(x)有極大值f(e?3)=?2e?3?e?3lne?3=e?3，無極小值．

(2)因為函數(shù)f(x)在(0,e【解析】(1)①求導，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間；②根據(jù)函數(shù)的單調性即可求解極值問題．

(2)由題意，轉化為方程a=2+lnxx+121.【答案】解：(I)①②③均為“D數(shù)列“．

(Ⅱ)充分性：對2≤i≤2017，由條件，a1+1≤ai+i≤a2018+2018，

即2019≤ai+i≤2019，∴ai+i=2019，ai=2019?i，

∵當2≤i≤2016時，ai+1?ai=(2018?i)?(201