2019年上海高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第08講 函數(shù)的奇偶性

2019年上海高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第08講函數(shù)的奇偶性

第08講：函數(shù)的奇偶性【基礎(chǔ)篇】一、函數(shù)的奇偶性在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，定義如下：-奇函數(shù)：對于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=-f(x)（或f(x)+f(-x)=0），那么就把函數(shù)f(x)稱為奇函數(shù)。-偶函數(shù)：對于函數(shù)f(x)的定義域D內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=f(x)（或f(x)-f(-x)=0），那么就把函數(shù)f(x)稱為偶函數(shù)。【備注】-判斷函數(shù)的奇偶性，是根據(jù)定義來判斷的。-函數(shù)中可以有奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，還有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，例如常數(shù)函數(shù)f(x)=a（x∈R），當(dāng)a≠0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)a=0時(shí)，它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。-判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)也可以根據(jù)下面的式子來判斷：-對于f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，①若有f(x)-f(-x)=0成立，則f(x)為偶函數(shù)；②若有f(x)+f(-x)=0成立，則f(x)為奇函數(shù)。二、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。-奇函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于對稱（反過來，若一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，若一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)）。-若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0。-奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性。-奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)。三、奇、偶函數(shù)證明方法1、判斷函數(shù)的奇偶性的方法：-定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)中心對稱。若不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對稱，則再判斷f(x)=-f(x)或f(x)=f(-x)是否定義域上的恒等式。-圖像法。-性質(zhì)法：設(shè)f(x)、g(x)的定義域分別是D1、D2，那么在它們的公共定義域D=D1∩D2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。-若某奇函數(shù)若存在反函數(shù)，則其反函數(shù)必是奇函數(shù)。2、判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0，f(x)/f(-x)=±1。【技能篇】題型一：函數(shù)奇偶性的證明例題1-1：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）y=111+x題目1：函數(shù)命題已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，則命題“存在x∈R，使得f(?x)≠f(x)且f(?x)≠?f(x)”是函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)的充要條件。題目2：函數(shù)奇偶性的概念已知f(x)=ax+bx+3a+b是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-1,2a]，則a=__，b=__。已知f(x)=ax+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù)，求證a+b=2a。題目3：奇偶函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用函數(shù)f(x)=ax+bx+cx-2，若f(?4)=4，則f(4)=__。已知f(x)=1/(2x+1)+m為奇函數(shù)，則f(?1)=__。設(shè)a∈R，f(x)=a(2x+1)，若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則a=__。已知y=f(x)+x^2是奇函數(shù)，且f(1)=1，令g(x)=f(x)+2，則g(?1)=__。題目4：奇、偶函數(shù)的圖像設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇?5,5]，當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖像如下圖所示，則不等式f(x)<0的解為__。函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[?c,c]上的奇函數(shù)，其圖像如下圖所示：令g(x)=af(x)+b，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說法正確的是（）。A.若a<0，則函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。B.若a=1，|b|<2，則方程g(x)=0有大于2的實(shí)根。C.若a=?2，b=0，則函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱。D.若a≠0，b=2，則方程g(x)=0有三個(gè)實(shí)根。題目5：抽象函數(shù)奇偶性定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x,y∈R，有f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0。（1）求證：f(0)=1。（2）判斷y=f(x)的奇偶性。已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤≠0的所有實(shí)數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意x1,x2，都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(2)=1。（1）證明f(x)是偶函數(shù)。對于任意實(shí)數(shù)x，有f(-x)=f((-1)x)=f(-1)+f(x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)。（2）證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。對于任意x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，有x2/x1>1，所以f(x2/x1)=f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。（3）解不等式f(2x-1)<24/(2x^2-1)。將f(x1x2)=f(x1)+f(x2)代入原不等式得到f(2x-1)<24/(2x-1)(2x+1)。因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以只需考慮x∈(1,+∞)的情況，此時(shí)2x-1>1，2x+1>1，所以f(2x-1)>f(1)>0，即24/(2x-1)(2x+1)<f(1)，解得x∈(1,√3/2)。（競技篇）一、填空題：1、若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)+f(-x)=0；若f(x)為偶函數(shù)，則f(2+x)-f(1)=0。2、已知f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a-1,2a]，則a=1/2；b=3a。3、給定函數(shù)：①y=1/x^2；②y=x+1；③y=2；④y=log2x；⑤y=x/(x+1)；⑥y=(a^x-1)/(a^x+1)；在這六個(gè)函數(shù)中，奇非偶函數(shù)是①、④；偶非奇函數(shù)是②、⑤；非奇非偶函數(shù)是③；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的是無。4、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x-2x，當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=ax+bx^-1；當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=ax+bx^2。5、設(shè)a∈R，f(x)=(2x+1)/(ax^2-1)（x≠0），若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則a的值為-1。6、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=x(1+3x)，則f(x)的解析式為f(x)=x(1+3x)。7、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)=logx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是(1,+∞)。8、已知函數(shù)f(x)=log(1-x^2)/(1+x^2)（-1≤x≤1），則它的最大值與最小值的和為0。9、設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x)/(1+x)（-1≤x≤1），若f(a)=b，則f(-a)=-b。10、若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)=2x+1，那么當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，f(x)=-2x-1。11、f(x)=ax^9+bx^3+cx+2，若