2022-2023學年山東省濰坊市六縣區(qū)高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的值為()

A.B.C.D.

2.“角是第三象限角”是“”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.為了得到函數(shù)的圖象，只需把的圖象上的所有點()

A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位

4.函數(shù)圖象的一個對稱中心是()

A.B.C.D.

5.已知是的邊上的點，且，則向量()

A.B.C.D.

6.函數(shù)的圖象大致是()

A.B.C.D.

7.向量在向量上的投影向量的坐標為()

A.B.C.D.

8.某數(shù)學興趣小組設計了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為的線段，并作等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點；再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點；再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點；再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，；以此類推，得到的螺線如圖所示當螺線與直線有個交點不含點時，則螺線長度為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.以下各式化簡結(jié)果正確的是()

A.

B.

C.

D.

10.下列說法錯誤的是()

A.若，則

B.若，則存在唯一實數(shù)使得

C.若，，則

D.與非零向量共線的單位向量為

11.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()

A.當時，的取值范圍是

B.當時，的取值范圍是

C.當時，的取值范圍是

D.當時，的取值范圍是

12.小說三體中的“水滴”是三體文明派往太陽系的探測器，由強相互作用力材料制成，被形容為“像一滴圣母的眼淚”小明是三體的忠實讀者，他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中水滴的軸截面如圖，該水滴軸截面由線段，和優(yōu)弧圍成，設優(yōu)弧所在圓的圓心為，半徑為，其中，，與圓弧相切，已知水滴軸截面的水平寬度與豎直高度之比為，則()

A.優(yōu)弧的長度

B.

C.

D.“水滴”的軸截面的最大面積為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量，若向量與平行，則______．

14.已知，且，則______．

15.已知，______．

16.設正八邊形的外接圓半徑為，圓心是點，點在邊上，則______；若在線段上，且，則的取值范圍為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知點其中在角的終邊上，，且是第_____象限角從一，二，三，四，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并據(jù)此解答以下問題：

求，，的值；

在的條件下化簡并求值：．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

18.本小題分

設，是平面內(nèi)不平行的非零向量，，．

證明：，組成平面上向量的一組基底；

請?zhí)骄渴欠翊嬖趯崝?shù)，使得和平行？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

19.本小題分

在一次研究性學習中，小華同學在用“五點法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：

請利用上表中的數(shù)據(jù)，寫出的值，并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把所得圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

20.本小題分

已知向量，．

求，和的值；

令，，若存在正實數(shù)和，使得，求此時的最小值．

21.本小題分

北方某養(yǎng)殖公司有一處矩形養(yǎng)殖池，如圖所示，米，米，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的水加溫，該公司計劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設三條加溫帶，和，考慮到整體規(guī)劃，要求是邊的中點，點在邊上，點在邊上，且．

設，試將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；

在的條件下，為增加夜間水下照明亮度，決定在兩條加溫帶和上按裝智能照明裝置，經(jīng)核算，兩條加溫帶每米增加智能照明裝置的費用均為元，試問如何設計才能使新加裝的智能照明裝置的費用最低？并求出最低費用．

備用公式：，

22.本小題分

已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，且過點．

若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；

令，記函數(shù)在上的零點從小到大依次為，，，，求的值；

設函數(shù)，，如果對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，對于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，若恒有成立，則稱函數(shù)是上的級周期函數(shù)，周期為是否存在非零實數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級周期函數(shù)？請證明你的結(jié)論．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故選：．

原式中的角度變形后，利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．

此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：當角是第三象限角時，則，，，充分性成立，

當角是第二象限角時，則且，，必要性不成立，

角是第三象限角是的充分不必要條件．

故選：．

利用三角符號的判斷，充要條件的定義判定即可．

本題考查了三角符號的判斷，充要條件的判定，屬于中檔題．

3.【答案】

【解析】解：為了得到函數(shù)的圖象，只需把的圖象上的所有點向右平移個單位．

故選：．

由已知結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移即可求解．

本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：令，，

則，，

結(jié)合選項可知，符合題意．

故選：．

由已知結(jié)合正切函數(shù)的對稱性即可求解．

本題主要考查了正切函數(shù)對稱性的應用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：，

，

．

故選：．

根據(jù)可得出，然后根據(jù)向量的數(shù)乘運算即可用表示出．

本題考查了向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，，

有，為偶函數(shù)，排除，

在區(qū)間上，，，則有，排除，

故選：．

根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除，再判斷函數(shù)在上的符號，排除，即可得答案．

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值符號的分析，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，，

，，

在上的投影向量為

故選：．

利用投影向量公式求解即可．

本題考查投影向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；

第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計次；

第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計次；

第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；

第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計次；

前次累計畫線；

第次畫線：以點為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，

交累計次，累計畫線．

故選：．

根據(jù)題意，找到螺線畫法的規(guī)律，確定每次劃線時圓弧的半徑以及圓心角，結(jié)合扇形的弧長公式可求得結(jié)果．

本題考查扇形弧長公式，考查三角函數(shù)在實際中的應用，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，，故正確；

對于，，故正確；

對于，，故正確；

對于，，故錯誤．

故選：．

對于，由同角的商數(shù)關(guān)系即可判斷；

對于，由二倍角公式化簡即可判斷；

對于，，由誘導公式化簡即可判斷；

本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的應用及誘導公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了向量的有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量的有關(guān)性質(zhì)判斷即可．

【解答】

解：對于：令，顯然不成立，

對于：與非零向量共線的單位向量為，故D正確；

故選：．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．

由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，求得的取值范圍．

【解答】

解：函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，

當時，，

，求得．

當時，，

，求得，

故選AD．

12.【答案】

【解析】解：如圖所示：

連接、、、，設與的交點為，

因為水滴軸截面的水平寬度與豎直高度之比為，

即有，所以，

所以，，故B正確；

在中，，，

所以，

所以，，

同理可得，，

所以，

所以優(yōu)弧所對的圓心角為，

所以優(yōu)弧所對的弧長為，故A錯誤；

中，，故C正確；

設優(yōu)弧所對的扇形的面積為，則，

四邊形所對應的面積為，則，

“水滴”的軸截面的面積為，故D正確．

故選：．

連接、、、，設與的交點為，由水滴軸截面的水平寬度與豎直高度之比為，可得，，從而判斷；

求出優(yōu)弧所對的圓心角，根據(jù)弧長公式計算，可判斷；

中，由計算可判斷；

由“水滴”的軸截面的面積為，其中優(yōu)弧所對的扇形的面積，四邊形所對應的面積，可判斷．

本題考查了扇形的弧長的計算、面積的計算，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：，，，

又向量與平行，，解得．

故答案為：．

由已知利用平面向量的加法運算求得，再由向量共線的坐標運算列式求得值．

本題考查平面向量的加法與共線的坐標運算，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】或

【解析】解：，且，

是第二象限角或是第四象限角，

當是第二象限角時，

，

，，

則．

當是第四象限角時，

，

，，

則．

故答案為：或．

利用誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式直接求解．

本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：，

．

故答案為：．

利用正弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)直接求解．

本題考查正弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：由正八邊形的性質(zhì)知，與，與，與，與均互為相反向量，

所以；

在正八邊形中，，

所以，

以為坐標原點，，的正方向分別為，軸建立平面直角坐標系，

則，，，，

所以，，，，

設，其中，則，

因為，

所以，

所以，即

故答案為：；

由正八邊形的性質(zhì)，可得，從而知；以為坐標原點建立平面直角坐標系，寫出，，，的坐標，設，其中，利用，推出，再求其取值范圍即可．

本題考查平面向量在幾何中的應用，熟練掌握平面向量的坐標運算是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：點其中在角的終邊上，

是第一象限角或是第二象限角．

選是第一象限角，

，解得，

，；

．

選是第四象限角，

，解得，

，；

．

【解析】點其中在角的終邊上，是第一象限角或是第二象限角．利用任意角的定義能求出結(jié)果；

利用誘導公式能求出結(jié)果．

本題考查任意角的定義和誘導公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：證明：，是平面內(nèi)不平行的非零向量，

，

若共線，則存在實數(shù)，使，即，

根據(jù)平面向量基本定理得：，不存在使，

不共線，

，組成平面上向量的一組基底；

，

若和平行，則存在實數(shù)，使，

根據(jù)平面向量基本定理得：，解得，

存在，使得和平行．

【解析】可根據(jù)條件得出，然后假設與共線，得出，然后說明不存在實數(shù)，使，從而得出結(jié)論；

若與平行，可得出，然后看能否解出，能解出說明存在使得和平行，否則不存在．

本題考查了平面向量基本定理和共線向量基本定理，基底的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：由題意可知：，

當時，；當時，，

所以，解得，

所以，

所以，解得，

由，，

可得，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得，

再把所得圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)，

所以，

又因為在上恒成立，

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

當時，，

所以，

所以，解得，

所以實數(shù)的取值范圍為

【解析】由題意可知，當時，；當時，，列出方程解出，的值，得的解析式，再根據(jù)，求解的值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)遞減區(qū)間即可；

由題意可求得，從而有在上恒成立，求出函數(shù)在上的值域，列出不等式組求解即可．

本題考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)、五點作圖法、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

20.【答案】解：已知向量，

則，

又，

，，；

令，，若存在正實數(shù)和，使得，

則，

即，

即，，

則，

當且僅當，即時取等號，

即的最小值為．

【解析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合平面向量的模的運算求解即可；

由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合基本不等式求解即可．

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，重點考查了平面向量模的運算及基本不等式的應用，屬基礎(chǔ)題．

21.【答案】解：在中，

，，，，

在中，，，，，

又，

，

即，

當點在點時，這時角最小，求得此時，

點在點時，這時角最大，求得此時，

故此函數(shù)的定義域為；

由題意知，要求照明裝置費用最低，只要求最小即可，

由得，，

設，則，

，

由，得，

令，可以證明在上為增函數(shù)，

所以當時最小，，此時，

所以當米時，照明裝置費用最低，最低費用為元．

【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義及勾股