百煉百勝北師大版九年級數學上冊學案:第四章圖形的相似_第1頁
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文檔簡介

PAGE圖形的相似1成比例線段專題綜合運用比例性質1.若==,且2a-b+3c=21,求4a-3b+c的值.2.如圖,已知==,求證:=.【知識要點】1.成比例線段:在四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,我們就把這四條線段叫做成比例線段.2.比例的基本性質(1)如果eq\f(a,b)=eq\f(c,d),那么ad=bc,(2)如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c),那么b2=ac,(3)如果eq\f(a,b)=eq\f(c,d),那么eq\f(a±b,b)=eq\f(c±d,d).【溫馨提示】四條線段的長度單位不統(tǒng)一時,要化成統(tǒng)一的長度單位后,再計算判斷是否成比例,防止出錯.【方法技巧】1.比例式是等式,故可利用等式性質將比例式變形.2.遇到比例式時,可設輔助未知數k,即設這些比的比值為k,這種借助另一個未知數的解題方法叫輔助未知數法.3.利用比例的基本性質可求長度,通常是“知三求一”,有時也可以設適當未知數列方程求解.參考答案:1.解:設===k,則a+2=3k,b=4k,c+5=6k,

即a=3k-2,b=4k,c=6k-5.

∵2a-b+3c=21,∴2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21,

∴k=2.∴a=4,b=8,c=7.

∴4a-3b+c=4×4-3×8+7=-1.2.證明:∵==,∴=,即=,∴=,即=.2平行線分線段成比例專題平行線分線段成比例定理的靈活運用如圖,AB∥CD、AD∥CE,F(xiàn)、G分別是AC和FD的中點,過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點M、N、P、Q,求證:MN+PQ=2PN.【知識要點】1.兩條直線被一組平行線所截,所得的應對線段成比例。2.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的對應線段成比例?!痉椒记伞?.當題目中出現(xiàn)三條以上平行線,且求線段的長度或比值時常利用平行線獲得比例線段.2.證明比例式(或等積式)的常用方法是利用平行線分線段成比例定理,或者通過判定三角形相似,有時要通過兩次相似的判定,等量代換,尋找中間比等才能得到待證的比例式.參考答案:證明:延長BA、EC,設交點為O,則四邊形OADC為平行四邊形.

∵F是AC的中點,∴DF的延長線必過O點,且=.

∵AB∥CD,∴=.

∵AD∥CE,∴=.

∴+=+=.

又∵==,∴OQ=3DN.

∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD,AN=AD-DN.

∴AN+CQ=2DN.

∴+==2.即MN+PQ=2PN.3相似多邊形專題與相似多角形的性質與判定有關的題1.相似多邊形指的是()A.各角都相等的多邊形B.各邊都相等的多邊形C.各邊對應成比例的多邊形D.邊數相同,對應角相等,對應邊成比例的多邊形2.如圖,若兩個多邊形相似,求x的值.3.圖中的兩個多邊形相似嗎?說說你判斷的理由.【知識要點】各角分別相等,各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形的對應邊的比叫做相似比.【溫馨提示】相似多邊形的性質為:①對應角相等;②對應邊的比相等.【方法技巧】找準對應角、對應邊是解決本題的關鍵.參考答案1.D2.解:∵相似多邊形的對應邊成比例,

∴12:18=21:x,

解得:x=31.5.3.解:不相似.

理由:∵∠D=360°-135°-95°-72°=58°,∠E=360°-135°-95°-59°=71°,

∴兩個四邊形中不可能有“對應角相等”,

又∵沒法判定對應邊成比例,

∴不相似.4探索三角形相似的條件專題一與相似三角形判定有關的題1.如圖,P是Rt△ABC斜邊AB上任意一點(A,B兩點除外),過P點作一直線,使截得的三角形與Rt△ABC相似,這樣的直線可以作()A.1條B.2條C.3條D.4條2.如圖所示,正方形ABCD邊長是2,BE=CE,MN=1,線段MN的端點M、N分別在CD、AD上滑動,當DM=________時,△ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似.3.(2012·懷化)如圖,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,點C是弦AB上任意一點(不與點A、B重合),連結CO并延長交⊙O于點D,連結AD、DB.(1)當∠ADC=18°時,求∠DOB的度數;(2)若AC=2eq\r(3),求證:△ACD∽△OCB.專題二黃金分割在實際中的應用4.美是一種感覺,本應沒有什么客觀的標準,但在自然界里,物體形狀的比例卻提供了在勻稱與協(xié)調上的一種美感的參考,在數學上,這個比例稱為黃金分割.在人體軀干(由腳底至肚臍的長度)與身高的比例上,肚臍是理想的黃金分割點,也就是說,若此比值越接近0.618,就越給別人一種美的感覺.如果某女士身高為1.65m,軀干與身高的比為0.60,為了追求美,她想利用高跟鞋達到這一效果,A.2.5cmBC.7.8cmD5.(2012·宿遷)如圖,已知P是線段AB的黃金分割點,且PA>PB,若S1表示PA為一邊的正方形的面積,S2表示長是AB,寬是PB的矩形的面積,則S1________S2.(填“>”“=”或“<”)6.寬與長之比為eq\f(\r(5)-1,2)∶1的矩形叫黃金矩形,黃金矩形令人賞心悅目,它給我們以協(xié)調、勻稱的美感,如圖,如果在一個黃金矩形里畫一個正方形,那么留下的矩形還是黃金矩形嗎?請證明你的結論.【知識要點】1.相似三角形的定義三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.2.相似三角形的條件(1)兩角分別相等的兩個三角形相似.(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.(3)三邊成比例的兩個三角形相似.3.黃金分割一般的,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果eq\f(AC,AB)=eq\f(BC,AC),那么稱線段AB被點C黃金分割.點C叫做線段AB的黃金分割點.【溫馨提示】1.運用相似三角形的關鍵是找準對應邊和對應角.2.全等三角形是特殊的相似三角形.3.兩邊對應成比例,必須是夾角對應相等,這兩個三角形才相似.4.黃金比即AC∶AB=eq\f(\r(5)-1,2)∶1≈0.618.【方法技巧】識別兩個三角形相似的幾種思路:(1)若有一對等角,可找另一對等角,或找夾它的兩邊對應成比例;(2)若有兩邊對應成比例,可找其夾角相等;(3)若有等腰三角形,則可找頂角相等,或找一對底角相等,或找底和腰對應成比例;(4)若有平行線,則可直接得相似三角形相似;(5)若所證成比例的四條線段不在兩個相似三角形中,可用中間比轉換.答案1.C解析:有三條:①過點P作AB邊上的垂線,可得出一條符合要求的直線;②另外兩條分別是AC、BC兩邊的平行線.故選C.2.eq\f(\r(5),5)或eq\f(2\r(5),5)解析:∵正方形ABCD的邊長是2,∴BE=CE=1,∠B=∠D=90°,∴在Rt△ABE中,AE=eq\r(22+12)=eq\r(5).第一種情況:當△ABE∽△MDN時,AE∶MN=AB∶DM,即eq\r(5)∶1=2∶DM,∴DM=eq\f(2\r(5),5);第二種情況:當△ABE∽△NDM時,AE∶MN=BE∶DM,即eq\r(5)∶1=1∶DM,∴DM=eq\f(\r(5),5).∴DM=eq\f(2\r(5),5)或eq\f(\r(5),5).3.解:(1)連接AO,則∠OAC=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,∴∠DAC=30°+18°=48°,∴∠DOB=2∠DAC=96°.(2)證明:過點O作AB的垂線,垂足為G,在Rt△OGB中,OB=4,∠OBC=30°,∴OG=2,GB=2eq\r(3).∵AC=2eq\r(3),∴點C與點G重合,∴∠ACD=∠BCO=90°.又eq\f(AC,OC)=eq\r(3)=eq\f(CD,CB),∴△ACD∽△OCB.4.C解析:根據已知條件得下半身長是165×0.6=99(cm),設選的高跟鞋的高度是xcm,則根據黃金分割的定義得:eq\f(99+x,165+x)=0.618,解得:x≈7.8(cm).故選C.5.=解析:∵P是線段AB的黃金分割點,且PA>PB,∴PA2=PB·AB.又∵S1表示PA為一邊的正方形的面積,S2表示長是AB,寬是PB的矩形的面積,∴S1=PA2,S2=PB·AB,∴S1=S2.故答案為=.6.解:留下的矩形CDFE是黃金矩形.證明:∵四邊形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF.又∵eq\f(AB,AD)=eq\f(\r(5)-1,2),∴eq\f(AF,AD)=eq\f(\r(5)-1,2),即點F是線段AD的黃金分割,∴eq\f(FD,AF)=eq\f(AF,AD)=eq\f(\r(5)-1,2),即eq\f(FD,DC)=eq\f(\r(5)-1,2),∴矩形CDFE是黃金矩形.5相似三角形判定定理的證明專題相似三角形判定定理的證明“兩邊對應成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似”,如圖,已知(AB>DE),∠A=∠D,求證:△ABC∽△DEF.請利用轉化的數學思想,通過添設輔助線,將未知的判定方法轉化為前面已經學過的方法(即已知兩組角對應相等推得相似或已知平行推得相似).請利用上述方法完成這個定理的證明.【方法技巧】解題的關鍵是正確作出輔助線構造平行線或全等三角形.答案:證明:在AB上截取AG=DE,作GH∥BC,

∴△AGH∽△ABC,AG=DE,

∴AH=DF,

∵∠A=∠D,

∴△AGH≌△DEF,

∴△ABC∽△DEF.6利用相似三角形測高專題利用相似三角形的性質求樹或建筑物的高1.如圖,小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調整自己的位置,設法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE=40cm,EF=20cm,測得邊DF離地面的高度AC=1.5m,CD=2.如圖,為測量學校圍墻外直立電線桿AB的高度,小亮在操場上點C處直立高3m的竹竿CD,然后退到點E處,此時恰好看到竹竿頂端D與電線桿頂端B重合;小亮又在點C1處直立高3m的竹竿C1D1,然后退到點E1處,此時恰好看到竹竿頂端D1與電線桿頂端B重合.小亮的眼睛離地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EC1=6(1)△FDM∽△________,△F1D1N∽△________;(2)求電線桿AB的高度.【知識要點】1.利用相似三角形求物高或影長.2.構建相似三角形測量河寬.【溫馨提示】利用影長計算或測量時,注意在同一時刻,物體的實際高度/影長=被測物體的實際高度/被測物體的影長.【方法技巧】1.牢記相似三角形的性質和條件.2.在測量無法到達頂部的物體的高度或測量不能直接到達的兩點間的距離時,常構造相似三角形求解.答案1.5.5解析:利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長后加上小明同學的身高即可求得樹高AB.∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴eq\f(BC,EF)=eq\f(DC,DE).∵DE=40cm=0.4m,EF=20cm=0.2m,∴eq\f(BC,0.2)=eq\f(8,0.4),∴BC=4(m),∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).2.解:(1)FBGF1BG(2)根據題意,∵D1C1∥BA,∴△F1D1N∽△F1BG,∴eq\f(D1N,BG)=eq\f(F1N,F1G).∵DC∥BA,∴△FDM∽△FBG,∴eq\f(DM,BG)=eq\f(FM,FG),∵D1N=DM,∴eq\f(F1N,F1G)=eq\f(FM,FG),即eq\f(3,GM+11)=eq\f(2,GM+2),∴GM=16.∵eq\f(D1N,BG)=eq\f(F1N,F1G),∴eq\f(1.5,BG)=eq\f(3,27),∴BG=13.5,∴AB=BG+GA=15(m).答:電線桿AB的高度為157相似三角形的性質專題一相似三角形性質的綜合運用1.已知兩個相似三角形對應高的比為3∶10,且這兩個三角形的周長差為5602.如圖,Rt△ABC到Rt△DEF是一個相似變換,AC與DF的長度之比是3∶2.(1)DE與AB的長度之比是多少?

(2)已知Rt△ABC的周長是12cm,面積是63.如圖所示,已知平行四邊形ABCD中,E是AB延長線上一點,DE交BC于點F,BE∶AB=2∶3,S△BEF=4,求S△CDF.專題二相似多邊形的性質4.如圖,一般書本的紙張是在原紙張多次對開得到.矩形ABCD沿EF對開后,再把矩形EFCD沿MN對開,依此類推.若各種開本的矩形都相似,那么AB∶AD等于.5.已知兩個相似多邊形的周長比為1∶2,它們的面積和為25,則較大多邊形的面積是.6.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB上的一點,EF∥BC,并且EF將梯形ABCD分成的兩個梯形AEFD、EBCF相似,若AD=4,BC=9,求AE∶EB.【知識要點】1.相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比,都等于相似比.2.相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.3.相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.【溫馨提示】1.應用性質時,抓住關鍵詞“對應”,找準對應邊.2.不要誤認為相似三角形面積的比等于相似比.3.由線段的比求面積的比,或由面積的比求線段的比時,應分兩種情況:(1)兩個圖形是否相似,若是相似圖形,則面積比等于相似比的平方;(2)兩個圖形不相似時,常會出現(xiàn)底在同一條直線上,有同一條高,那么兩個三角形面積比等于對應底的比.【方法技巧】1.利用相似三角形性質是求線段長度,角的度數,周長,面積及線段的比等問題的依據.2.等底等高的兩三角形面積相等,這個規(guī)律在求三角形面積中經常用到.3.應用相似三角形(多邊形)的性質,常與三角形(多邊形)相似的判定相結合.4.相似多邊形的定義是判定多邊形相似的主要依據,也是多邊形相似的重要性質.參考答案:1.解:設一個三角形周長為Ccm,

則另一個三角形周長為(C+560)cm,

則C∶(C+560)=3∶10,∴C=240,C+560=800,即它們的周長分別為240cm,2.解:(1)由相似變換可得:DE∶AB=DF∶AC=2∶3;

(2)∵AC∶DF=3∶2,∴△DEF的周長∶△ABC的周長=2∶3,S△DEF:S△ABC=4∶9.

∵直角三角形ABC的周長是12cm,面積是6∴△DEF的周長為8cm,S△DEF=cm23.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥DC,

∴△BEF∽△CDF.∵AB=DC,BE∶AB=2∶3,

∴BE∶DC=2∶3,∴S△DCF=()2?S△BEF=×4=9.4.[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA,

∴AB∶BF=AD∶AB,∴AD?BF=AB?AB.

又∵BF=AD,∴AD2=AB2,則==.5.20[解析]根據相似多邊形周長的比等于相似比,而面積的比等于相似比的平方,即可求得面積的比值,依據面積和為25,就可求得兩個多邊形的面積.設兩個多邊形中較小的多邊形的面積是x,則較大的面積是4x.根據題意得:x+4x=25,解得x=5.因而較大多邊形的面積20.6.解:∵梯形AEFD∽梯形EBCF,∴==.

又∵AD=4,BC=9,∴EF2=AD?BC=4×9=36.

∵EF>0,∴EF=6,∴==,即=.8圖形的位似專題一位似作圖1.如圖所示,圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△ABC與△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上.(1)畫出位似中心點O;

(2)直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比;

(3)以位似中心O為坐標原點,以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,畫出△A′B′C′關于點O中心對稱的△A″B″C″,并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標.2.如圖,在4×5網格圖中,其中每個小正方形邊長均為1,梯形ABCD和五邊形EFGHK的頂點均為小正方形的頂點.(1)以B為位似中心,在網格圖中作四邊形A′BC′D′,使四邊形A′BC′D′和梯形ABCD位似,且位似比為2:1;

(2)求(1)中四邊形A′BC′D′與五邊形EFGHK重疊部分的周長.(結果保留根號)3.如圖,在給定的銳角中,求作一個正方形,使落在上,分別落在邊上,要求寫出畫法.專題二坐標系下的位似變換4.如圖,△ABC三個頂點坐標分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原點O為位似中心,在圖中第一象限內,將△ABC放大為原來的2倍得△A′B′C′.(不要求寫畫法)

5.如圖,對Rt△OAB依次進行位似、軸對稱和平移變換后得到△O′A′B′.

(1)在坐標紙上畫出這幾次變換相應的圖形;

(2)設P(x,y)為△OAB邊上任一點,依次寫出這幾次變換后點P對應點的坐標.6.如圖,△ABC中,A、B兩點在x軸的上方,點C的坐標是(-1,0).以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點B的對應點B'的橫坐標是2,求點B的橫坐標.【知識要點】1.位似圖形的性質:(1)兩個圖形相似;(2)每組對應點所在的直線交于一點;(3)對應邊平行或在同一條直線上;(4)對應點到位似中心的距離之比等于相似比.2.位似圖形的畫法:(1)作圖時首先連接頂點和位似中心并延長;(2)按照比例確定對應點位置;(3)連接結對應點即可作出相應的位似圖形.3.(1)同向位似圖形:若以點O為位似中心在y軸的右側將圖形放大到n倍,則對應點坐標為原坐標的n倍.(2)反向位似圖形:若以點O為位似中心在y軸的左側將圖形放大到n倍,則對應點坐標為原坐標的-n倍.【溫馨提示】1.相似只強調圖形的形狀相同,與位置無關,而位似是特殊位置的相似圖形,具有相似的所有性質.2.兩個位似圖形一定相似,但相似圖形不一定位似.3.直角坐標系下的位似變換通??紤]兩個方面:(1)位似圖形的點的坐標的變化規(guī)律;(2)利用這種坐標變化的特點,畫出平面直角坐標系下的位似圖形.4.在畫位似圖形或求點的坐標時,一定要注意位似圖形的位置關系,以防漏解.5.在畫位似圖形時,要分清位似比是新圖形與原圖形的比,還是原圖形與新圖形的比.6.在畫位似圖形時,關鍵的頂點與位似中心要準確定位.【方法技巧】

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