湖南省邵陽市高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年上學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)本試卷分為問卷和答卷.考試時量為120分鐘，滿分150分.請將答案寫在答題卡上.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.實數(shù)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，3.某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)8nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為，，，則從這25塊芯片中隨機抽取一塊，該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是（）A. B. C. D.4.如圖，某圓柱體的高為1，ABCD是該圓柱體的軸截面.已知從點B出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面到點D的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的側(cè)面積是（）A.14 B. C.7 D.5.已知、是兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距的C，D兩點，測得，，，，A，B兩點的距離為（）A. B. C. D.7.如圖正方形邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（）A. B. C. D.8.已知的外接圓圓心為O，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下說法正確的是（）A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B.z的虛部是C. D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為10.黃金三角形有兩種，一種是頂角為的等腰三角形，另一種是頂角為的等腰三角形.已知在頂角為的黃金三角形中，角對應(yīng)邊與角對應(yīng)邊的比值為，這個值被稱為黃金比例.若，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.11.甲乙兩家公司獨立研發(fā)疫苗A，甲成功的概率為，乙成功的概率為，丙獨立研發(fā)疫苗B，研發(fā)成功的概率為.則（）A.甲乙都研發(fā)成功的概率為 B.疫苗A研發(fā)成功的概率為C.疫苗A與疫苗B均研發(fā)成功的概率為 D.僅有一款疫苗研發(fā)成功的概率為12.已知三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是B.若D是AC邊上的一點，且，，則的面積的最大值為C.若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D.若三角形是銳角三角形，BD平分交AC于點D，且，則的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱均與底面垂直，側(cè)棱長為2，，，點D是的中點，F(xiàn)是側(cè)面（含邊界）上的動點.要使平面，則線段的長的最大值為______.14.某班共有40名學(xué)生，其中22名男生的身高平均數(shù)為173cm，方差為28；18名女生的身高平均數(shù)為163cm，方差為32；則該班級全體學(xué)生的身高方差為______.15.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為.假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為______.16.在古代數(shù)學(xué)中，把正四棱臺叫做方亭，數(shù)學(xué)家劉徽用切割的方法巧妙地推導(dǎo)出了方亭的體積公式，a為方亭的下底面邊長，b為上底面邊長，h為高.某地計劃在一片平原地帶挖一條筆直的溝渠，渠的橫截面為等腰梯形，上底為10米，下底為6米，深2米；渠長為米，并把挖出的土堆成一個方亭，設(shè)計方亭的下底面邊長為70米，高為6米，則其側(cè)面與下底面所成的二面角的正切值為______.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）某中學(xué)為了解該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對一模考試數(shù)學(xué)成績進行分析，從中抽取了200名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（若該校全體學(xué)生的成績均在分），按照，，，，，，，的分組做出頻率分布直方圖如圖所示，若用分層抽樣從分?jǐn)?shù)在內(nèi)抽取17人，則抽得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為6人.（1）求頻率分布直方圖中的x，y的值；并估計本次考試成績的平均數(shù)（以每一組的中間值為估算值）；（2）該高三數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備選取數(shù)學(xué)成績在前4%的學(xué)生進行培優(yōu)指導(dǎo)，若小明此次數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是132，請你估算他能被選取嗎？18.（本小題滿分12分）如圖，三棱錐中，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）某市為提升城市形象，打造城市品牌，擬規(guī)劃建設(shè)一批富有地方特色、彰顯獨特個性的城市主題公園，某主題公園為五邊形區(qū)域ABCDE（如圖所示），其中三角形區(qū)域ABE為健身休閑區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為文娛活動區(qū)，AB、BC、CD、DE、EA、BE為主題公園的主要道路（不考慮寬度），已知，，，.（1）求道路BE的長度；（2）求道路AB、AE長度之和的最大值.20.（本小題滿分12分）杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目.同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設(shè)了霹靂舞、電子競技兩個競賽項目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞.傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率.假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組.之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會發(fā)生一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制：假設(shè)四支隊伍分別為A，B，C，D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為.最初分組時AB同組，CD同組.（1）若，在淘汰賽賽制下，A，C獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用p表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？21.（本小題滿分12分）如圖，已知四邊形ABDE為平行四邊形，點C在AB延長線上，點M在線段AD上，且，，設(shè)，.（1）用向量，表示；（2）若線段CM上存在一動點P，且，求的最大值.22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面底面ABCD，M是線段PD的中點，N是線段PC的中點.（1）求證：平面PAB；（2）求PC與底面ABCD所成角的正切值.2023年上學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）題號12345678答案ACBAADCD二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案BDACDABAC【詳解】因為，所以，所以，所以，即，又，所以，，因為，所以，所以，所以，故A正確；因為，所以，所以，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B錯誤；，因為，所以，所以，所以，所以，故C正確；由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，而，所以，與三角形是銳角三角形矛盾，所以等號不成立,故D錯誤；故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.3 14.54.55 15. 16.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）設(shè)由分層抽樣可得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在的人數(shù)之比為，所以，則，………………（1分），………………（3分）又由頻率分布直方圖可知分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為．則平均數(shù)為分.………………（5分）（2）由題意可知分?jǐn)?shù)在的頻率為6%，所以前4%在該組，不妨設(shè)第4%名的分?jǐn)?shù)為，則可得等式為 ………………（7分）∵， ………………（9分）故小明不能被選取. ………………（10分）18.（1）取線段AB的中點E，連結(jié)VE、CE， ………………（1分）因為，，所以，. ………………（3分）∵，平面，平面，…………（4分）∴平面VEC，……（5分）∵平面VEC，……（6分），∴……（7分）（2）由（1）知：是二面角的平面角，……（8分）又等邊與等邊的邊長為4，∴……（9分）∴……（11分）故所求二面角的余弦值為……（12分）19.（1）如圖，連結(jié)，在中，由余弦定理得，∴……………（2分）∵，則，………………（3分）又，∴，……（4分）在中，，，由正弦定理，，∴，或（舍去），即，……………（5分）由，得，即的長度是.…………（6分）（方法二：在三角形BDE中利用余弦定理求BE）（2）設(shè)，由，得，在△中，由正弦定理，…………（8分）∴∴又，∴，…………（11分）當(dāng)，即時，取得最大值，即道路，長度之和的最大值為.…………（12分）20.（1）記拿到冠軍分別為事件，淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此P(N)=12×34（2）記淘汰賽賽制和雙敗賽制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，…………（8分）.若，雙敗賽制下，隊伍獲得冠軍的概率更大，其他隊伍獲得冠軍的概率會變小，…………（10分）若，雙敗賽制下，隊伍獲得冠軍的概率更小，其他隊伍獲得冠軍的概率會變大，…………（11分）綜上可知：雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”,人們“對強者不公平”的質(zhì)疑是不對的…………（12分）.21.（1）．（2）∵點P在線段CM上，即點M，P，C三點共線，∴存