專題二向量空間課程加持續(xù)

向量的線性表示=

+x2a2+L+b1 a11 a12 a1s

a11x1+a12x2+L+a1sxs x x+L+ x 2=x 21+x

22+L+x

2s

1 M 2

M s M bm am1 am2 ams

am1x1+am2x2+L+amsxs

無解

k1s

k

2s

r

rs若向量組

B=

Ax=b無 r(A)<r(A,b) Axb

=n,r(A)=r(A,b)<

,,若A

rAnrA)rAb)n,rA)rA x1

-1x1

1(a,a,a) =

1x=b

2

2 x

4x 0 3

3

=

=

=(-1) -1=-a-

-1x1

1當a4

0,方程組有唯一解

1x=b 0 2 0當a4

3

1 fi

b1+2b 當b?1時,r(b1+2b 3當b=1時,r(A)=r(A,b)=2< 3 顧 A= =-a-33

均為階矩陣，若AB=C,且B可逆，AB=

b1n

nn

,g)(a,1

2n

g=ba+ a++b

nn n

++ 均為階矩陣，若AB=C,且B可逆，AB=

k1nA=CB-

,g)

2n

g++

n

nn n ++ 向量組 線性相

+ksas=0，則必有k1=k2= 向量組 線性無 x1a1+x2a2++ n個n維向量 線性相 =n個n維向量

線性無 ?

4 21=2a+

4

與a線性相關(guān)，所以a2a33a41a1 1c1c2c3

1=

1-

C=C=0選項

3 0 01

0=2?

A a13A

,,b=

設(shè)向量組 3線性無關(guān)

3

23

a13

11

3=

23

11

a13k1

k=

23 2

2

23 2

a11x3 k3

a13k1 kb+kb+kb=(b,b,b)k

k=0

32

3 23 2

k

3

3

001 001

若ai,ai

i

i

i

向量組 初等 變換fiB(行階梯陣B中非零行的行數(shù)是向量組 的 組，對應(yīng)的是A的列向量組即a1,a2,L,as

T,a=

2,2,0)T 55無關(guān)組表示1 2 1

r1fi

r

r

T,a=

2,2,0)T 55255,a,25

0110 0001

+2

b5=2b1b+b

-2

-2

-4 2

12

4-

p- p+

p- p- p+ p -2

當p

2020

fi

2 2

0 0

a1a,2 若向量組 線性相關(guān)，則向量組 若向量組 b可由向量組 a11

a12

a1s

a11 a12

a1s aaa aaa

21 22

2sI:a=

21,a=

22,,a=

2s

II:

b

,

2=

s=

n1

n2

ns

n1 n2 ns

m1 m1 ￡（II）的

rr(a1,a2,ar￡r(b1,b2,,bs￡sa1,a2, 舉列說明(BC不對D)可自己舉反例

r(C)=

2a3 C:a1,a2,a3 B:a,a B:a,a因為rAr(BB:a1,a2,a3

,ar(a1,a2,L,as)=

a4=2

,a

r(a1,a2,L,as)< 即a5- =k1a1+k2a2+k 又

+(k3+l3所以組Cr(C)4,

向量空間 若a,a,L,a與b,b,L,b 均為Rm的基

p1m

p2m

=(

pmm

abc 2a3

b+c+1=

b+c=

0

3

1fi

2

R3中三個線性無R3中三個