與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的幾個結(jié)論

與三角形的內(nèi)切圓有關(guān)的幾個結(jié)論鄭建元(浙江省余姚市實驗學(xué)校315400)三角形與其內(nèi)切圓是直線與圓位置關(guān)系的重要內(nèi)容，運用切線、面積等知識可得到一些重要的結(jié)論，特別是當(dāng)三角形是直角三角形時，結(jié)論尤為豐富．如果我們平時解題的時候，不滿足于就題論題，而是向更深的層次去探究題目的內(nèi)在規(guī)律．這樣不僅可以培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力，而且可以免受題海之困擾，從而大大提高學(xué)習(xí)效率．例1如圖，在RtAABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=C,AABC的內(nèi)心為O,ΘO與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,ΘO的半徑為r.求證：r=a^c.證明：連接OE,OF.VΘO與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,

.?.∠OFC=∠OEC=90°,AD=AF,BD=BE,CF=CE.XV∠C=90°???四邊形OECF是正方形，.?.CE=OE=r,.0=CE=AC+BC—ABa+b—C22于是我們得到結(jié)論：“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半.”由于r=CE=—(a÷b÷c)-c,2r=a+b-c,2于是上述結(jié)論又可敘述為：“直角三角形內(nèi)切圓半徑等于它的半周長與斜邊的差.”或"直角三角形內(nèi)切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差.”例2如圖，在AABC中，BC=a,AC=b,AB=C,AABC的內(nèi)心為O,。0與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,ΘO的半徑為r.求證：S=((a+b+c)r.△ABC2證明：連接OE、OF、OD、OA、OB、OC.VΘO與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,

.?.OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,S△「SABOC+SAAOC+SAAOB=(2ar+2br+2cr尸2(a+b+C)r.于是我們得到結(jié)論：“三角形面積等于它的半周長與內(nèi)切圓半徑的積.2S由于r=——AABC-,

a+b+c所以又有結(jié)論：“三角形內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積與半周長的商.”ab特別是當(dāng)三角形是直角三角形時，r=---.a+b+c例3如圖，在Rt?ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=C,△ABC的內(nèi)心為O,ΘO與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,ΘO的半徑為r.求證：S△abc=cr+r2.證明：連接OE、OF、OD、OA、OB、OC.VΘO與AB,BC,CA分別相切于D、E、

.?.OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,AD=AF,

?.?∠OFC=∠OEC=∠C=90°,CF=CE,

???四邊形OECF是正方形，???CE=CF=OE=OF=r.,∕S=—(a+b+c)r=—(a+b)r+-cr,

△ABC2 2 2A又?.?1(a+b)r=1(AF+FC+BE+EC)r=1(AD+r+BD+r)r=1(c+2r)r=1cr+r2,‰√‰√‰√‰√‰√.?.S△ABCcr+r2.例4如圖，在RtAABC中，NC=90°,^ABC的內(nèi)心為O,0O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F.求證：S=ADXBD.

AABC證明：?.?0O與AB,BC,CA分別相切于D、E、F,

.?AD=AF,BD=BE,CF=CE.設(shè)BC=a,AC=b,AB=C,b+c-a a+c一b貝°AD=--一,BD=一--b+c-a???ADXBD= X2a+c-ba2+b2—c2+2ab2 4?.?∠C=90°,.?.a2+b2=c2,S=LabAABC 2???S=ADXBDAABC例5如圖，O為AABC的內(nèi)心，OE⊥BC于E,且AB-AC=2BE-EC.求證：∠A=90°.分析：由于O為AABC的內(nèi)心，不妨作出AABC的內(nèi)切圓，則由切線長定理和勾股定理逆定理可證．證明：設(shè)AABC的內(nèi)切圓O分別與AB、BC、CA相切于點D、E、F,BE=x,CF=y,AD=z.ΛBD=BE=x,CE=CF=y,AF=AD=z.VAB?AC=2BE?EC,；.(x+z)(y+z)=2Xy.；.AB2+AC2=(x+z)2+(y+z)2=[(x+z)—(y+z)]2+2(x+z)(y+z)=(x—y)2+4xy=(x+y)2=BC2.?.∠A=90°練習(xí)1.如圖，AABC中，內(nèi)切圓O和邊AB、BC、CA分別相切于點D、E、F,若∠DEF2.如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3,0)、(0,4),則RtAABO內(nèi)心的坐標(biāo)是..如圖，在RtAABC中，∠C=90°,AB=5,ΘO與RtAABC的三邊AB、BC、AC分相切于點D、E、F,若。O的半徑r=2,則RtAABC的面積為..若AABC的周長為18cm,面積為18cm2，則AABC的內(nèi)切圓的半徑為