數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)（2013年新編）13-1-2 線段垂直平分線的性質(zhì)和判定（教學(xué)設(shè)計(jì)）

13.1.2線段垂直平分線的性質(zhì)和判定教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.理解并掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定方法．2.會(huì)用尺規(guī)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.3.能夠運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)和判定的探究和運(yùn)用.難點(diǎn)：線段垂直平分線性質(zhì)和判定的理解和準(zhǔn)確運(yùn)用.三、教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)回顧一、軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.二、兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).三、線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.l⊥AB，垂足為O，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線.知識(shí)精講觀察演示，動(dòng)手操作:仔細(xì)觀察折紙過(guò)程，回答問(wèn)題.猜想：線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上.求證PA=PB.證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°，又∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵PC⊥AB，PC平分AB∴PA=PB如圖，用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡(jiǎn)易的“弓”，“箭”通過(guò)木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的箭的方向與木棒垂直呢？為什么？如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？猜想：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.如圖，線段AB，PA=PB.求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.證法1：過(guò)點(diǎn)P作線段AB的垂線PC.∴∠PCA=∠PCB=90°，又∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)，∴AC=BC，∴PC是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.證法2：取AB的中點(diǎn)C，過(guò)P，C作直線.∴AC=BC，又∵PA=PB，PC=PC，∴△PAC≌△PBC(SSS)，∴∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°，即PC⊥AB，∴PC是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.線段的垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.從上面兩個(gè)結(jié)論可以看出：在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與點(diǎn)A、B的距離都相等；反過(guò)來(lái)，與A、B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合.典例解析例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：如圖，直線AB和AB外一點(diǎn)C.

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB兩旁.

(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.

(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.

(4)作直線CF.

則：直線CF就是所求作的垂線.想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？∵CD=CE，F(xiàn)D=FE

∴C、F都在DE的垂直平分線上

∴CF垂直平分DE

∴CF⊥AB例2.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為()A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cm【針對(duì)練習(xí)】1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（）A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是.例3.如圖，在△ABC中，AB，AC邊的垂直平分線交BC于E，F(xiàn),垂足分別為M,N，若△ABC周長(zhǎng)為18cm,且AB:BC:CA=2:4:3,求△AEF的周長(zhǎng).解:ME，NF分別是AB，AC的垂直平分線∴AE=BE，AF=CF∴C△AEF=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC設(shè)AB=2x，則BC=4x，CA=3x則2x+4x+3x=18解得x=2∴BC=8cm即△AEF的周長(zhǎng)為8cm.例4.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.∴OE是CD的垂直平分線.例5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【分析】(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.課堂小結(jié)1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD．若△ABC的周長(zhǎng)等于17，△ADC的周長(zhǎng)為9，那么線段AE的長(zhǎng)等于（

）A．3 B．3.5 C．4 D．82．如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長(zhǎng)為30，則BE的長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．12 D．133．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°4．如圖，∠BAC的角平分線AD與線段BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AE=10cm，A．32 B．34 C．22 D．165．如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連結(jié)P1P2交OA于M，交OB于N，若線段P1P2的長(zhǎng)為12cm，則△PMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．6．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，△APC周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___．7．如圖，D為△ABC外一點(diǎn)，DG為BC的垂直平分線，分別過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E(1)求證：AD為∠CAB(2)探究AB，AC，AE之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明【參考答案】CCBA12137.證明：連接CD，BD，如圖所示：∵DG為BC∴CD∵DE∴∠DEB在Rt△DEB和BE=∴Rt△DEB∴DE在Rt△A