四川省內(nèi)江市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 理(含解析)-人教版高二全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

B．棱臺(tái)111111B．命題“若x2=1，則B．棱臺(tái)111111B．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x=1，則x≠1”

“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥βD．若m?α，n?β且m∥n，則α∥βC．圓錐C．2D．棱柱D．

某某省內(nèi)江市2014-2015學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（）

A．棱錐

2．（5分）下列關(guān)于隨機(jī)抽樣的說法不正確的是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種逐個(gè)抽取不放回的抽樣B．系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等C．有2006個(gè)零件，先用隨機(jī)數(shù)表法剔除6個(gè)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽取20個(gè)作為樣本，每

個(gè)零件入選樣本的概率都為

D．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)適宜采取分層抽樣

3．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣ABCD中，AB=BC=2，AA=1，則異面直線AC與BB的角的余弦值為（）

A．

4．（5分）下列說法正確的是（）A．B．“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b都不是有理數(shù)”C．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題D．

5．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥nC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，則m∥α

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、＜＞B．D．③，則下列判斷正確的是（），乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定C．B．D．D．＜＞，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

word、＜＞B．D．③，則下列判斷正確的是（），乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定C．B．D．D．＜＞，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

6．（5分）在“唱響內(nèi)江”選拔賽中，甲、乙兩位歌手的5次得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別

A．

C．

7．（5分）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就稱甲乙“心相近”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心相近”的概率為（）

A．

8．（5分）如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中：①BM與ED平行②與BE是異面直線③與BM成60°角④DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是（）

A．①②③B．②④C．③④

9．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（）

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B．1111B．C．﹣1C．πD．2D．

wordB．1111B．C．﹣1C．πD．2D．

A．

10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣ABCD的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，4為半徑作一個(gè)球，則圖中球面與正方體的表面相交所得的兩段弧長(zhǎng)之和等于（）

A．

二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．（5分）讀如圖兩段程序，完成下面題目．若Ⅰ、Ⅱ的輸出結(jié)果相同，則程序Ⅱ中輸入的值x為．

12．（5分）一段細(xì)繩長(zhǎng)10cm，把它拉直后隨機(jī)剪成兩段，則兩段長(zhǎng)度都超過4的概率為．

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．2

11

1．2

11

11

1

13．（5分）在分別標(biāo)有2，3，4，6，8，9的6X卡片中，隨機(jī)取出兩X卡片，記下它們的標(biāo)號(hào)，則較大標(biāo)號(hào)能被較小標(biāo)號(hào)整除的概率是．

14．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積是．

15．（5分）對(duì)于四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心；③四面體A﹣BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形；④若點(diǎn)A到底面三角形BCD三邊的距離相等，則側(cè)面與底面所成的二面角相等；

⑤若四面體A﹣BCD是棱長(zhǎng)為1的正四面體，則它的內(nèi)切球的表面積為

其中，正確的命題是（寫出所有正確命題的編號(hào)）．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（12分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命題“若q，則p”為真，某某數(shù)a的取值X圍；（2）若p是￢q的充分條件，某某數(shù)a的取值X圍．

17．（12分）已知三棱柱ABCD﹣ABC中，側(cè)棱垂直于底面，AC=BC，點(diǎn)D是AB證：（1）平面CAD⊥平面AAB（2）BC∥平面CA

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word

18．（12分）某校早上7：30開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小X與小王在早上7：00﹣7：20之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到是等可能的，則小X比小王至少早5分鐘到校的概率為多少？

19．（12分）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．現(xiàn)以AD為

一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；（2）求證：BC⊥平面BDE；（3）求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

20．（13分）某企業(yè)員工共500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第一組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．區(qū)間[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人數(shù)5050a150b（1）表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估算該企業(yè)員工的平均年齡及年齡的中位數(shù)；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．

21．（14分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)．且BF⊥平面ACE．（1）求證：平面ADE⊥平面BCE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大??；（3）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE．

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word

某某省內(nèi)江市2014-2015學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（）

A．棱錐B．棱臺(tái)C．圓錐D．棱柱

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：直接利用三視圖判斷直觀圖即可．解答：解：由題意不難判斷幾何體是三棱柱，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的三視圖與直觀圖的關(guān)系，基本知識(shí)的考查．

2．（5分）下列關(guān)于隨機(jī)抽樣的說法不正確的是（）A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種逐個(gè)抽取不放回的抽樣B．系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等C．有2006個(gè)零件，先用隨機(jī)數(shù)表法剔除6個(gè)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽取20個(gè)作為樣本，每

個(gè)零件入選樣本的概率都為

D．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)適宜采取分層抽樣

考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣方法；分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)抽樣的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行碰到即可．解答：解：A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種逐個(gè)抽取不放回的抽樣，正確．

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，故C錯(cuò)誤，111111B．1，故C錯(cuò)誤，111111B．1111

1111

1=．2C．D．

B．系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，正確．C．有2006個(gè)零件，先用隨機(jī)數(shù)表法剔除6個(gè)，再用系統(tǒng)抽樣方法抽取20個(gè)作為樣本，每

個(gè)零件入選樣本的概率都為

D．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)適宜采取分層抽樣，正確．故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與抽樣有關(guān)的命題的真假判斷，比較基礎(chǔ)．

3．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣ABCD中，AB=BC=2，AA=1，則異面直線AC與BB的角的余弦值為（）

A．

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：如圖所示，連接AC，由BB∥CC，可得∠ACC是異面直線AC與BB利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．解答：解：如圖所示，連接AC，∵BB∥CC，∴∠ACC是異面直線AC與BB在Rt△ACC中，AC===3，

cos∠AC

故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線所成的角、長(zhǎng)方體的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

4．（5分）下列說法正確的是（）A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x=1，則x≠1”B．“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b都不是有理數(shù)”C．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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2、＜＞，則下列判斷正確的是（），乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B．D．＜＞，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

word2、＜＞，則下列判斷正確的是（），乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B．D．＜＞，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：利用否命題的定義判斷A的正誤；利用命題的否定判斷B的正誤；利用逆否命題的真假判斷C的正誤；充要條件判斷D的正誤；解答：解：對(duì)于，命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x≠1，則x≠1”，所以A不正確；對(duì)于B，“a、b都是有理數(shù)”的否定是“a、b不都是有理數(shù)”，所以B不正確；對(duì)于C，命題“若x=y，則sinx=siny”，因?yàn)樵}是真命題，所以它的逆否命題為真命題，所以C正確；對(duì)于，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要條件，所以D不正確；故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查四種命題的關(guān)系，充要條件的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的考查．

5．（5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥nB．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，則m∥αD．若m?α，n?β且m∥n，則α∥β

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：利用空間中線線、線面、面面間的關(guān)系求解．解答：解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，則由平面與平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正確；若α⊥β，m∥n且n⊥β，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；若m?α，n?β且m∥n，則α與β相交或平行，故D錯(cuò)誤．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

6．（5分）在“唱響內(nèi)江”選拔賽中，甲、乙兩位歌手的5次得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別

A．

C．

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莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．概率與統(tǒng)計(jì)．根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解，結(jié)合數(shù)據(jù)分布情況判斷穩(wěn)定性解：由莖葉圖可知=86，則B．=（77+76+88+90+94）=＜C．，，D．

word莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．概率與統(tǒng)計(jì)．根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解，結(jié)合數(shù)據(jù)分布情況判斷穩(wěn)定性解：由莖葉圖可知=86，則B．=（77+76+88+90+94）=＜C．，，D．

考點(diǎn)：專題：分析：

解答：

=（75+86+88+88+93）=

乙的成績(jī)主要集中在88附近，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)平均數(shù)和數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性是解決本題的關(guān)鍵．

7．（5分）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就稱甲乙“心相近”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心相近”的概率為（）

A．

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：由題意知本題是一個(gè)古典概型．試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從1，2，3，4，5，6中任取兩個(gè)數(shù)由分步計(jì)數(shù)原理知共有6×6=36種不同的結(jié)果，而滿足條件的|a﹣b|≤1的情況通過列舉得到共16種情況，代入公式得到結(jié)果．解答：解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從1，2，3，4，5，6任取兩個(gè)共有6×6=36種不同的結(jié)果，則|a﹣b|≤1的情況有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）共16種情況，

他們”心有靈犀”的概率為P=

故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率的簡(jiǎn)單計(jì)算能力，是一道列舉法求概率的問題，屬于基礎(chǔ)題，可以直接應(yīng)用求概率的公式．

8．（5分）如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中：①BM與ED平行②與BE是異面直線③與BM成60°角④DM與BN垂直以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是（）

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word

A．①②③B．②④C．③④D．③

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：空間位置關(guān)系與距離；簡(jiǎn)易邏輯．分析：由正方體可得：①BM與ED為異面直線，②四邊形BE為平行四邊形，可得∥BE，③由于△BEM為等邊三角形，BE∥，可得與BM成60°角，④由正方體的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)可得DM與BN垂直．解答：解：由展開圖可得正方體．由正方體可得：①BM與ED為異面直線，不正確；②四邊形BE為平行四邊形，可得∥BE，因此不正確；③由于△BEM為等邊三角形，BE∥，可得與BM成60°角，正確；④由正方體的性質(zhì)可得：DM⊥平面B，∴DM與BN垂直，正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體的性質(zhì)、空間線面位置關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題．

9．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（）

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B．1=2；=2；111C．﹣1D．2

wordB．1=2；=2；111C．﹣1D．2

A．

考點(diǎn)：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得出該程序是計(jì)算y的值，并且以3為周期，從而得出程序運(yùn)行的結(jié)果是什么．解答：解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下：

y=2，i=1，1≥2014？，否，y=1﹣=；

i=1+1=2，2≥2014？，否，y=1﹣=﹣1；

i=2+1=3，3≥2014？，否，y=1﹣

i=3+1=4，4≥2014？，否，y=1﹣=；

，…，i=2012+1=2013，2013≥2014？，否，y=1﹣

i=2013+1=2014，2014≥2014？，是，輸出y：2．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，尋找解答問題的途徑，是基礎(chǔ)題．

10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣ABCD的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，4為半徑作一個(gè)球，則圖中球面與正方體的表面相交所得的兩段弧長(zhǎng)之和等于（）

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B．11111

11111

11B．11111

11111

111

1111111

11=1=+C．π，．=D．．

A．

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AABB、面ABCD和面AADD上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BBC面CCDD和面ABCD解答：解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AABB、面ABCD和面AADD另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BBCC、面CCDD和面ABCD在面AABB上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因?yàn)锳E=4，AA，

則∠AAE=1．同理∠BAF=，所以∠EAF=，

故弧EF的長(zhǎng)為：2×

而這樣的弧共有三條．在面BBCC上，交線為弧FG且在距球心為1

此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為2，∠FBG=，

所以弧FG的長(zhǎng)為：1×

于是，所得的曲線長(zhǎng)為：

故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．

二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）

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=0.2

word=0.2

11．（5分）讀如圖兩段程序，完成下面題目．若Ⅰ、Ⅱ的輸出結(jié)果相同，則程序Ⅱ中輸入的值x為0．

考點(diǎn)：偽代碼．專題：算法和程序框圖．分析：根據(jù)題意，模擬偽代碼的運(yùn)行過程，即可得出正確的結(jié)論．解答：解：根據(jù)題意，Ⅰ中偽代碼運(yùn)行后輸出的是x=3×2=6；Ⅱ中運(yùn)行后輸出的也是y=6，∴x2+6=6，∴x=0；即輸入的是0．故答案為：0．點(diǎn)評(píng)：本題考查了算法語(yǔ)言的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬算法語(yǔ)言的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題．

12．（5分）一段細(xì)繩長(zhǎng)10cm，把它拉直后隨機(jī)剪成兩段，則兩段長(zhǎng)度都超過4的概率為0.2．

考點(diǎn)：幾何概型．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：測(cè)度為長(zhǎng)度，一段細(xì)繩長(zhǎng)10cm，把它拉直后隨機(jī)剪成兩段，只能在中間2厘米的繩子上剪斷，從而可求概率．解答：解：記“兩段的長(zhǎng)都超過4厘米”為事件A，則只能在中間2厘米的繩子上剪斷，此時(shí)剪得兩段的長(zhǎng)都超過4厘米，

所以事件A發(fā)生的概（A）=

故答案為：0.2．點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，明確測(cè)度，正確求出相應(yīng)測(cè)度是關(guān)鍵．

13．（5分）在分別標(biāo)有2，3，4，6，8，9的6X卡片中，隨機(jī)取出兩X卡片，記下它們的

標(biāo)號(hào)，則較大標(biāo)號(hào)能被較小標(biāo)號(hào)整除的概率是．

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：先列舉出所有的基本事件，再找到較大標(biāo)號(hào)被較小標(biāo)號(hào)整除的基本事件，根據(jù)概率公式計(jì)算即可

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．由三視圖求面積、體積．計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．由題意，幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為3的長(zhǎng)方體，切去一個(gè)角得到，切面的面積=4=28，即可得出結(jié)論．解：由題意，幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為3的長(zhǎng)方體，切去一個(gè)角得到，切面的=4=28，，

word．由三視圖求面積、體積．計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．由題意，幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為3的長(zhǎng)方體，切去一個(gè)角得到，切面的面積=4=28，即可得出結(jié)論．解：由題意，幾何體為底面邊長(zhǎng)為2，高為3的長(zhǎng)方體，切去一個(gè)角得到，切面的=4=28，，

解答：解：分別標(biāo)有2，3，4，6，9的6X卡片中，隨機(jī)取出兩X卡片的基本事件有（2，3），（2，4），（2，6），（2，8），（2，9），（3，4），（3，6），（3，8），（3，9），（4，6），（4，8），（4，9），（6，8），（6，9），（8，9）故15種，較大標(biāo)號(hào)被較小標(biāo)號(hào)整除有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（3，9），（4，8），共6種，

故較大標(biāo)號(hào)被較小標(biāo)號(hào)整除的概率是P=

故答案為：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是列舉出所有的基本事件，屬于與基礎(chǔ)題

14．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積是28+4．

考點(diǎn)：專題：分析：

為2×

其余側(cè)面的面積為2×2+2×3×2+2×

解答：

面積為2×

其余側(cè)面的面積為2×2+2×3×2+2×

∴側(cè)面積是28+4，故答案為：28+4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量．

15．（5分）對(duì)于四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心；

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．解：對(duì)于①，因?yàn)锳B=AC=AD，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O，因?yàn)閟in∠ABO=，sin∠ADO=，BE==﹣OE）2﹣OE2=（，，故⑥正確．，，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，即．解：對(duì)于①，因?yàn)锳B=AC=AD，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O，因?yàn)閟in∠ABO=，sin∠ADO=，BE==﹣OE）2﹣OE2=（，，故⑥正確．，，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，即則AB，AC，AD與底，，）2，

③四面體A﹣BCD的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形；④若點(diǎn)A到底面三角形BCD三邊的距離相等，則側(cè)面與底面所成的二面角相等；

⑤若四面體A﹣BCD是棱長(zhǎng)為1的正四面體，則它的內(nèi)切球的表面積為

其中，正確的命題是①③⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：對(duì)于①，根據(jù)線面角的定義即可判斷；對(duì)于②，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，對(duì)于③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個(gè)數(shù)，對(duì)于④點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)射影是△BCD的內(nèi)心，即可判斷，對(duì)于⑤作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積．

解答：

sin∠ACO=

面所成的角相等；故①正確；對(duì)于②設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影是O，則OB是AB在平面BCD內(nèi)的射影，因?yàn)锳B⊥CD，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB同理可證BD⊥OC，所以O(shè)是△BCD的垂心，故②不正確；對(duì)于③：如圖：直接三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4．故③正確對(duì)于④，四面體A﹣BCD，點(diǎn)A到三邊距離相等，則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)射影是△BCD的內(nèi)心，所以側(cè)面與底面所成的二面角不相等．故④不正確．對(duì)于⑤如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長(zhǎng)為：1；

所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，BF=AF=

所以AE=

因?yàn)锽O2﹣OE2=BE2，

所以（

所以O(shè)E=

所以球的表面積為：4π?OE2=

故答案為：①③⑤

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2

2，即或a≥3，，解得1＜a≤2．

word2

2，即或a≥3，，解得1＜a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，是中檔題．

三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（12分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a＜0（a＞0），q：x∈（2，3]（1）若命題“若q，則p”為真，某某數(shù)a的取值X圍；（2）若p是￢q的充分條件，某某數(shù)a的取值X圍．

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復(fù)合命題的真假．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：（1）若命題“若q，則p”為真，則q是p的充分條件，即可某某數(shù)a的取值X圍；（2）若p是￢q的充分條件，根據(jù)條件關(guān)系即可某某數(shù)a的取值X圍．解答：解：（）由x2﹣4ax+3a＜0（a＞0），得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，則a＜x＜3a，即p：x∈（a，3a），若命題“若q，則p”為真，即q是p的充分條件，即（2，3]?（a，3a），

即

（2）￢q：x∈（﹣∞，2]∪（3，+∞），若p是￢q的充分條件，則（a，3a）?（﹣∞，2]∪（3，+∞），∵a＞0，

∴

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11

11

111

11

111

1

1

1

11

1

11

1

解得0＜a≤或a≥3，

即實(shí)數(shù)a的取值X圍是0＜a≤或a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，

17．（12分）已知三棱柱ABCD﹣ABC中，側(cè)棱垂直于底面，AC=BC，點(diǎn)D是AB證：（1）平面CAD⊥平面AAB（2）BC∥平面CA

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面CAD⊥平面AAB（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC∥平面CA解答：證明：（1）由AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，得AB⊥CD，由AA⊥面ABC，得AA∵AA∩AB=A1∴CD⊥面AAB∵CD平面CA∴平面CAD⊥平面AAB（2）連接AC交AC于點(diǎn)E，連接因?yàn)樗倪呅蜛ACC是矩形，知E為AC又D是AB的中點(diǎn)，得到DE∥BC，1從而可得BC∥面CA

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行，平面和平面垂直的判定，根據(jù)相應(yīng)的定理是解決本題的關(guān)鍵．

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得得．，即D（15，20），，即E（0，5），

word得得．，即D（15，20），，即E（0，5），

18．（12分）某校早上7：30開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小X與小王在早上7：00﹣7：20之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到是等可能的，則小X比小王至少早5分鐘到校的概率為多少？

考點(diǎn)：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：設(shè)小X到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y．（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一個(gè)矩形區(qū)域，則小X比小王至少早5分鐘到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合題意的圖象，由圖根據(jù)幾何概率模型的規(guī)則求解即可．解答：解：設(shè)小X到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y．（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{（x，y|0≤x≤20，0≤y≤20}是一個(gè)矩形區(qū)域，對(duì)應(yīng)的面積S=20×20=400，則小X比小王至少早5分鐘到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合題意的圖象，

則符合題意的區(qū)域?yàn)椤鰽DE，聯(lián)立

聯(lián)立

則S△ADE=×15×15，

幾何概率模型可知小X比小王至少早5分鐘到校的概率為

=

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概率模型與模擬方法估計(jì)概率，求解的關(guān)鍵是掌握兩種求概率的方法的定義及規(guī)則，求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．

19．（12分）如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．現(xiàn)以AD為

一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；（2）求證：BC⊥平面BDE；（3）求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

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．，22

word．，22

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）欲證AM∥平面BEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AM與平面BEC內(nèi)一直線平行，取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，根據(jù)中位線定理和條件可知MN∥AB，且MN=AB，從而得到四邊形ABNM為平行四邊形，則BN∥AM，BN?平面BEC，且AM?平面BEC，滿足定理所需條件；（2）欲證BC⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據(jù)勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；（3）過點(diǎn)D作EB的垂線交EB于點(diǎn)G，則DG⊥平面BEC，從而點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長(zhǎng)度，在直角三角形BDE中，利用等面積法即可求出DG，從而求出點(diǎn)D到平面BEC的距離．解答：解：（1）證明：取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN．在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，

所以MN∥CD，且

由已知AB∥CD，

所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）所以四邊形ABNM為平行四邊形．所以BN∥AM．（4分）又因?yàn)锽N?平面BEC，且AM?平面BEC，所以AM∥平面BEC．（5分）（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（7分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．在△BCD中，，所以BD2+BC=CD．所以BC⊥BD．（8分）所以BC⊥平面BDE．（10分）（3）由（2）知，BC⊥平面BDE又因?yàn)锽C?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）過點(diǎn)D作EB的垂線交EB于點(diǎn)G，則DG⊥平面BEC

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．（14分）234

word．（14分）234

所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長(zhǎng)度（12分）在直角三角形BDE中，

所以

所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定和點(diǎn)到面的距離的度量等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于綜合題．

20．（13分）某企業(yè)員工共500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動(dòng)，按年齡分組：第一組[25，30），第2組[30，35），第3組[35，40），第4組[40，45），第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．區(qū)間[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50]人數(shù)5050a150b（1）表是年齡的頻數(shù)分布表，求正整數(shù)a，b的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估算該企業(yè)員工的平均年齡及年齡的中位數(shù)；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求至少有1人年齡在第3組的概率．

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；頻率分布表；頻率分布直方圖．專題：計(jì)算題；2015屆高考數(shù)學(xué)專題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（I）由題設(shè)中頻率分布直方圖再結(jié)合頻率、頻數(shù)及樣本容量之間的關(guān)系可得a、b的值；（II）根據(jù)估計(jì)平均數(shù)及估計(jì)中位數(shù)的求解公式即可求解；（III）根據(jù)分成抽樣的定義知：第1，2，3組各部分的人數(shù)的比例為1：1：4，則共抽取6人時(shí)，所以第1，2，3組三個(gè)年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)為1，1，4，設(shè)第1組的1位同學(xué)為A，第2組的1位同學(xué)為B，第3組的4位同學(xué)為C，C，C，C概型運(yùn)算公式計(jì)算即可．解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50，

20/23

=35.75，=1=1=4234

234=35.75，=1=1=4234

2341

34121314232434．

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖可得，平均年齡為=（27.5×0.02+32.5