廣東省深圳市龍城高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省深圳市龍城高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量若點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，則實(shí)數(shù)的值為（

）

A

B

C

D

參考答案：D2.若集合，則等于（

）

A．[0，1]

B．

C．

D．{1}參考答案：B略3.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別是、，則“”是“兩根均大于1”的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要.參考答案：B若，則，但是,滿足，但不滿足。所以是必要不充分條件。選B.

4.為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：C因?yàn)?，所以為了得到函?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，選C.5.已知集合，，則A∩B=（

）A． B．C． D．參考答案：B，，所以．故選B．6.若，則的夾角是

A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2+的離心率為（）A． B． C．或 D．或參考答案：D【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得m的值，分別看當(dāng)m大于0時(shí)，曲線為橢圓，進(jìn)而根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求得a和b，則c可求得，繼而求得離心率．當(dāng)m＜0，曲線為雙曲線，求得a，b和c，則離心率可得．最后綜合答案即可．【解答】解：依題意可知m=±=±4當(dāng)m=4時(shí)，曲線為橢圓，a=2，b=1，則c=，e==當(dāng)m=﹣4時(shí)，曲線為雙曲線，a=1，b=2，c=則，e=故選D8.某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的表面積為A.

B.

C.

D.參考答案：A9.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)（如圖），用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為參考答案：C10.已知雙曲線﹣=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的方程為（）A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】首先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合，建立a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)一步利用雙曲線的漸近線建立關(guān)系式，進(jìn)一步確定a和b的值，最后求出雙曲線的方程．【解答】解：已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），即c=，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±x，則有a2+b2=c2=10和=，解得a=3，b=1．所以雙曲線的方程為：﹣y2=1．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)：雙曲線方程的求法，漸近線的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.sin(－675°)=_______．參考答案：【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所給式子的值，可得結(jié)果．【詳解】即答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，要特別注意符號(hào)的選取，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．12.將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，若點(diǎn)A、B、C、D都在一個(gè)以O(shè)為球心的球面上，則球O的體積為

▲

。參考答案：略13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積

.參考答案：14.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1，則此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．參考答案：2【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為1列式，再結(jié)合隱含條件求解．【解答】解：如圖，由拋物線方程y2=8x，得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），即雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），雙曲線的漸近線方程為．不妨取y=，化為一般式：bx﹣ay=0．則，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，聯(lián)立解得：a2=3，∴a=．則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線及拋物線的幾何性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15.函數(shù)y=的定義域是

．參考答案：（﹣1，2）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【分析】無(wú)理式被開(kāi)方數(shù)大于等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，須解得﹣1＜x＜2，即函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，2）故答案為：（﹣1，2）16.若向量，則c=

。（用關(guān)于a，b的代數(shù)式表示）參考答案：17.在體積為4π的球的表面上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝1，BC＝，A、C兩點(diǎn)的球面距離為π，則∠ABC＝_____.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某學(xué)校共有教師人，其中不到歲的有人，歲及以上的有人。為了了解普通話在該校中的推廣普及情況，用分層抽樣的方法，從全體教師中抽取一個(gè)容量為人的樣本進(jìn)行普通話水平測(cè)試，其中在不到歲的教師中應(yīng)抽取的人數(shù)為多少人？參考答案：解析：而抽取的比例為，在不到歲的教師中應(yīng)抽取的人數(shù)為

19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在直線l1：y=﹣1上，點(diǎn)M滿足，，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P，且與直線l1：y=﹣1相交于點(diǎn)Q，試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，得到直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必為（0，1）或（0，﹣1），進(jìn)一步確定即可．解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點(diǎn)，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對(duì)x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（0，1）．解法2：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點(diǎn)P在曲線C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③聯(lián)立解得或，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，則點(diǎn)N必為（0，1）或（0，﹣1），將（0，1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右邊，將（0，﹣1）的坐標(biāo)代入①式得，①式，左邊=不恒等于0，∴在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)N，點(diǎn)N坐標(biāo)為為（0，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)的幾何研究拋物線的切線斜率、圓的性質(zhì)，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2an+n，且bn=．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（1）利用an+1=Sn+1﹣Sn化簡(jiǎn)可知an+1=2an﹣1，變形可知an+1﹣1=2（an﹣1），進(jìn)而可知數(shù)列{an﹣1}是以﹣2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知bn=﹣，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．【解答】解：（1）解：由Sn=2an+n得：Sn+1=2an+1+n+1，∴an+1=Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2an+1，即an+1=2an﹣1，∴an+1﹣1=2（an﹣1），∵S1=2a1+1，∴a1=﹣1，a1﹣1=﹣2≠0，∴數(shù)列{an﹣1}是以﹣2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，∴an﹣1=﹣2n，an=1﹣2n；（2）由（1）知bn===﹣，∴Tn=﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣1．21.（本小題滿分12分）（）（1）求的定義域；（2）問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)、，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?/p>

若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）由得，的定義域?yàn)椋?）令，又，上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，的值取到一切正數(shù)等價(jià)于時(shí)，，①

又，②由①②得22.某海域有、兩個(gè)島嶼，島在島正東4海里處。經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚(yú)群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過(guò)魚(yú)群。以、所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（6分）（2）某日，研究人員在、兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），、兩島收到魚(yú)群在處反射信號(hào)的時(shí)間比為，問(wèn)你能否確定處的位置（即點(diǎn)的坐標(biāo)）？（8分）

參考答案：解（1）由題意知曲線是以、為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓

3分

又，則，故

5分所以曲