陜西省寶雞市陳倉區(qū)2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁陜西省寶雞市陳倉區(qū)2023屆高三二模理科數(shù)學(xué)試題（含解析）2023年陳倉區(qū)高三質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)（理科）

考生注意：

1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后﹐用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷草稿紙上作答無效。

4．本卷命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合，，則

A．B．C．D．

2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛單位），則

A．B．C．D．

3．已知，是兩個不重合的平面，且直線，則“”是“”的

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件

4．已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為36，方差為48，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將24記錄為34，另一個錯將48記錄為38．在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則

A．，B．，C．，D．，

5．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，的面積，且，則的外接圓的半徑為

A．B．C．D．

6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為

A．B．C．D．

7．已知的展開式中各項系數(shù)的和為4，則該展開式中的常數(shù)項為

A．200B．280C．－200D．－280

8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為

A．B．C．D．

9．更相減損術(shù)是出自中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之”，如圖是該算法的程序框圖，如果輸入，，則輸出的是

A．23B．33C．37D．42

10．已知函數(shù)在處取得最大值，則

A．B．C．D．

11．若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是

A．B．C．D．

12．已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與交

于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為

A．64B．54C．50D．48

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知向量，滿足，，，則．

14．若是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則．

15．在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，，且三棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，則三棱錐的體積為．

16．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，，是上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，若，則的兩條漸近線的斜率之積為．

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17．（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列的前項和為，，．

（1）求的通項公式；

（2）證明：．

18．（本小題滿分12分）

盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計師單獨(dú)設(shè)計出來的玩偶．由于盒子上沒有標(biāo)注，購買者只有打開后才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”．某款盲盒內(nèi)裝有正版海賊王手辦，且每個盲盒只裝一個．某銷售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機(jī)抽取了400人進(jìn)行問卷調(diào)查，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計，有30%的人購買了該款盲盒，在這些購買者當(dāng)中，男生占；而在未購買者當(dāng)中，男生、女生各占50%．

（1）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān)？

女生男生總計

購買

未購買

總計

（2）從購買該款盲盒的人中按性別用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人發(fā)放優(yōu)惠券，記為抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，平面，，，，，是棱上一點(diǎn)．

（l）求證：平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

20．（本小題滿分12分）

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸、軸，且過，兩點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）若，過的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：．

21．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（1）若，證明：；

（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的一個參數(shù)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，方程表示曲線，若直線與曲線相交于，，三點(diǎn)，求線段的長．

23．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)．

（1）求的解集；

（2）設(shè)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，求的最大值．

2023年陳倉區(qū)高三質(zhì)量檢測（二）·數(shù)學(xué)（理科）

參考答案、提示及評分細(xì)則

1．B

因?yàn)?，所以，又，所以．故選B．

2．C

由題意知，所以，所以．故選C．

3．B

若，，則，或．故充分性不成立；因?yàn)?，是兩個不重合的平面，直線，若，則存在直線，滿足，因?yàn)?，所以，所以，故必要性成立．所以“”是“”的必要不充分條件．故選B．

4．B

設(shè)收集的48個準(zhǔn)確數(shù)據(jù)為，，…，，所以，所以，所以，又

，

．故選B．

5．D

因?yàn)?，所以，所以，又，所以．設(shè)的外接圓的半徑為，所以，解得．故選D．

6．D

因?yàn)?，，，所以．故選D．

7．D

令，得到展開式的各項系數(shù)和為，所以，解得．所以，展開式的通項為，令，解得；令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為．故選D．

8．A

顯然，因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以，，即，．因?yàn)?，所以，所以．故選A．

9．B

根據(jù)程序框圖，輸入的，，因?yàn)?，且，所以；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時，輸出．故選B．

10．A

，其中，．因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，，即，，所以．故選A．

11．C

，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，所以．設(shè)，所以，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍是．故選C．

12．C

拋物線：的焦點(diǎn)，因?yàn)椋c拋物線有兩個交點(diǎn)，且，所以直線，斜率存在，且均不為0．設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最大值是50．故選C．

13．15

因?yàn)?，所以，又，，所以，得，所以?/p>

14．

因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以f，所以，所以，所以．

15．24

因?yàn)?，所以為所在截面圓的直徑，又平面上平面為等邊三角形，所以在上，如圖所示．設(shè)，則，，所以，解得，所以，，又，，所以，所以．

16．

由題意知，，則．設(shè)，，，則兩式相減，得．因?yàn)橹本€的斜率為，所以，又是的中點(diǎn)，所以，，所以，所以，即，所以，所以，得，所以的兩條漸近線的斜率之積為．

17．

（1）解：設(shè)的公差為，所以，

解得，

所以．

（2）證明：，

因?yàn)?，所以?/p>

18．解：

（1）

女生男生總計

購買8040120

未購買140140280

總計220180400

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，

因?yàn)?，所以?9.5%的把握認(rèn)為是否購買該款盲盒與性別有關(guān)．

（2）抽取6人中，女生有：（人），男生有：（人）．

的所有可能取值為1，2，3，…．

，，，

所以的分布列為：

123

所以．

19．

（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以?/p>

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖所示．

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，所以．

在中，，，，所以．

在中，，，，所以．

在中，，，，所以，所以．

又，，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線、、為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，，

所以，，，．

設(shè)平面的一個法向量，

所以，

令，解得，，

所以平面的一個法向量，

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

即直線與平面所成角的正弦值為．

20．

（1）解：設(shè)的方程為，過，，

所以，

解得，

所以的方程為．

（2）證明：當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，所以，或，．

所以．

當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，

由得，

所以，

，，

所以，，

所以

，

所以平分，所以．

21．

（1）證明：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以若，?/p>

要證，即證，即證．

令，所以，令，解得，令，解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以．

（2）解：若對任意的恒成立，

即對任意的恒成立．

令．

若，則，

由（1）知，所以，又，所以，

又，所以，符合題意；

若，令，在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，又，，

所以存在唯一的，使得，且，

所以，當(dāng)時，，

所以，所以在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時，，所以，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，

所以當(dāng)時，所