經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策非線性回歸分析法

經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策非線性回歸分析法第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)目標(biāo)了解：非線性回歸模型的一般形式理解：可線性化的非線性回歸的形式變換、不可線性化的參數(shù)估計(jì)方法。掌握：應(yīng)用Eviews軟件進(jìn)行非線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1可化為線性的回歸模型一、非線性回歸模型的直接代換1.多項(xiàng)式函數(shù)模型令原模型可化為線性形式即可利用線性回歸分析的方法處理了。新引進(jìn)的自變量只能依賴于原始變量，而不能與未知參數(shù)有關(guān)。第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月任何一連續(xù)函數(shù)都可用分段多項(xiàng)式來逼近，所以在實(shí)際問題中，不論變量y與其他變量的關(guān)系如何，在相當(dāng)寬的范圍內(nèi)我們總可以用多項(xiàng)式來擬合。第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2.雙曲線模型令原模型可化為線性形式即可利用線性回歸分析的方法處理了。第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3.半對(duì)數(shù)函數(shù)模型和雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型半對(duì)數(shù)函數(shù)模型雙對(duì)數(shù)函數(shù)模型令原模型可化為線性形式第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月4.三角函數(shù)回歸模型令則這類變換本身不涉及模型參數(shù)，其參數(shù)估計(jì)就是原模型的參數(shù)估計(jì)。第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、非線性模型的間接代換（對(duì)數(shù)變換法）1.指數(shù)曲線模型對(duì)數(shù)變換再采用前述代換的形式建立線性模型。如：著名的柯布——道格拉斯（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)就是其中一個(gè)典型。第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2.冪函數(shù)曲線回歸模型對(duì)數(shù)變換令原模型可化為線性形式模型變換涉及參數(shù)，估計(jì)參數(shù)后要還原。第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2不可轉(zhuǎn)換成線性的趨勢(shì)模型一、不可線性化模型1、不可線性化模型：無論采取什么方式變換都不可能實(shí)現(xiàn)線性化的模型。2、常用的處理方法：一般采用高斯一牛頓迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即借助于泰勒級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行逐次的線性近似估計(jì)。第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、迭代估計(jì)法基本思路是：1、通過泰勒級(jí)數(shù)展開使非線性方程在某一組初始參數(shù)估計(jì)值附近線性化；2、然后對(duì)這一線性方程應(yīng)用OLS法，得出一組新的參數(shù)估計(jì)值；3、使非線性方程在新參數(shù)估計(jì)值附近線性化，對(duì)新的線性方程再應(yīng)用OLS法，又得出一組新的參數(shù)估計(jì)值；4、不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂時(shí)為止。第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有模型

式中，k為自變量的個(gè)數(shù)，p為參數(shù)的個(gè)數(shù)，f為非線性函數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)展開式，將模型展開作線性逼近一、將非線性函數(shù)f對(duì)系數(shù)的給定初始值展開為泰勒級(jí)數(shù)第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

取式右邊的前二項(xiàng)，略去f展開式第三項(xiàng)及以后所有項(xiàng)，即高階項(xiàng)，作非線性模型的線性近似。對(duì)上式利用OLS估計(jì)出一組系數(shù)

重復(fù)對(duì)作另一次泰勒級(jí)數(shù)展開，得到一新的線性近似，利用OLS估計(jì)出一組系數(shù)

第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

如此反復(fù)，得出一點(diǎn)列使其收斂為止，即滿足下述條件

i=1,2,…,pδ為一很小的值,δ小到何種程度,根據(jù)需要而定.五、如第四步得的點(diǎn)列不收斂，這時(shí)再選一組新的初始系數(shù)值，重新作逐次線性近似估計(jì)。第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月最后，需要說明非線性回歸應(yīng)注意的幾個(gè)問題第一，對(duì)非線性模型來說：首先，我們不能從回歸殘差中得出隨機(jī)項(xiàng)方差的無偏估計(jì)量。其次，由于非線性模型中的參數(shù)估計(jì)量同隨機(jī)項(xiàng)不成線性關(guān)系，所以它們不服從正態(tài)分布，其結(jié)果使得t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)都不適用。第二，我們用上面的方法得出的樣本回歸方程，可以用來預(yù)測(cè)未來某個(gè)時(shí)期的因變量值，其計(jì)算公式如下：這里應(yīng)該指出，由于已經(jīng)不再是隨機(jī)項(xiàng)的線性函數(shù)，因此，已經(jīng)不具備線性回歸中估計(jì)值的最佳、線性、無偏的性質(zhì)，置信區(qū)間也無法構(gòu)造了。第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三、迭代估計(jì)法的Eviews軟件實(shí)現(xiàn)⒈設(shè)定代估參數(shù)的初始值，可采用以下兩種方式：（1）使用param命令。命令格式為param初始值1初始值2初始值3……（2）在工作文件窗口雙擊序列C，并在序列窗口中直接輸入?yún)?shù)的初始值（注意序列C中總是保留著剛建立模型的參數(shù)估計(jì)值，若不重新設(shè)定，系統(tǒng)自動(dòng)將這些值作為參數(shù)的默認(rèn)初始值）。第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月⒉估計(jì)非線性模型（1）命令方式在命令窗口直接鍵入:NLS非線性函數(shù)表達(dá)式例如，對(duì)于非線性模型，其估計(jì)命令格式為NLSy=c(1)*k^c(2)*L^c(3)其中，c(1)、c(2)、c(3)表示待估計(jì)的三個(gè)參數(shù)A、、?；剀嚭螅到y(tǒng)會(huì)自動(dòng)給出迭代估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值。第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月在數(shù)組窗口，點(diǎn)擊Procs→MakeEquation，在彈出的方程描述對(duì)話框中，輸入非線性函數(shù)表達(dá)式：（2）菜單方式選擇估計(jì)方法為最小二乘法后，點(diǎn)擊OK按鈕。y=c(1)*k^c(2)*L^c(3)第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月幾點(diǎn)說明：（1）在方程描述對(duì)話框中，點(diǎn)擊Option按鈕，可以設(shè)置迭代估計(jì)的最大迭代次數(shù)(MaxIteration)和誤差精度(Convergence)，以便控制迭代估計(jì)的收斂過程。（2）利用NLS命令也可估計(jì)可劃為線性的非線性回歸模型。例如

NLSy=c(1)+c(2)/xNLSy=c(1)+c(2)*ln(x)（3）迭代估計(jì)是一種近似估計(jì)，并且參數(shù)初始值和誤差精度的設(shè)定不當(dāng)還會(huì)直接影響模型的估計(jì)結(jié)果，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤。第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

非線性回歸模型參數(shù)估計(jì)的基本思想可以類似于線性估計(jì)，也是設(shè)法找到使的一組參數(shù)值。1、求偏導(dǎo)為零，得未知參數(shù)的非線性方程組，一般用Newton迭代法求解。2、直接極小化殘差平方和，求出未知參數(shù)的非線性最小二乘估計(jì)。3.3非線性回歸應(yīng)用的幾個(gè)問題一、參數(shù)估計(jì)第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月注：

在非線性最小二乘法中，一些精確的分布式很難得到的，在大樣本時(shí)，可以得到近似分布，因此可以得到近似的參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，顯著性檢驗(yàn)等回歸診斷。3、將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型再采用最小二乘估計(jì)。直接變換法、對(duì)數(shù)變換法、泰勒級(jí)數(shù)展開法等常用的轉(zhuǎn)化方法：第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、確定非線性模型形式的方法

非線性模型的形式復(fù)雜多樣，如何根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)選擇合適的模型時(shí)建模的關(guān)鍵1、根據(jù)散點(diǎn)圖來確定類型2、根據(jù)一定得經(jīng)濟(jì)知識(shí)背景如：商品的銷售量與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系。S型曲線第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三、模型的比較1、首先應(yīng)從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度考慮，因?yàn)閿?shù)據(jù)分析的目的是解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。所以要重視經(jīng)濟(jì)學(xué)理論和行為規(guī)律提供的理由。2、從統(tǒng)計(jì)分析角度來比較，最重要是殘差分析。如果殘差平方和最小，并且看起來殘差最隨機(jī)，這樣的模型應(yīng)當(dāng)選擇。第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4預(yù)測(cè)實(shí)例例：柯布——道格拉斯（Cobb—Douglas）生產(chǎn)函數(shù)其中，Y為產(chǎn)出，K(資本)，L(勞動(dòng)力)為兩個(gè)投入要素。是產(chǎn)出對(duì)資本投入的彈性系數(shù)。為效率系數(shù)；為K和L的產(chǎn)出彈性。均為待估參數(shù)。度量在勞動(dòng)投入保持不變時(shí)，資本投入增加1%時(shí)，產(chǎn)出增加的百分比。第24頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月是產(chǎn)出對(duì)勞動(dòng)投入的彈性系數(shù)。度量在資本投入保持不變時(shí)，勞動(dòng)投