北師大課標(biāo)版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案分式方程一

●課

題§3.4.1

分式方程（一）●教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，感受分式方程刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型的意義.2.通過(guò)觀察，歸納分式方程的概念.（二）能力訓(xùn)練要求1.體會(huì)到分式方程作為實(shí)際問(wèn)題的模型，能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立分式方程的數(shù)學(xué)模型，并能歸納出分式方程的描述性定義.（三）情感及價(jià)值觀要求在建立分式方程的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中培養(yǎng)能力和克服困難的勇氣，并從中獲得成就感，提高解決問(wèn)題的能力.●教學(xué)重點(diǎn)能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義.●教學(xué)難點(diǎn)能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系列出分式方程.●教學(xué)方法嘗試——?dú)w納相結(jié)合教科書中提供了多個(gè)實(shí)際問(wèn)題，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試，利用具體情境中的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，歸納分式方程的定義.●教學(xué)過(guò)程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課［師］在這一章的第一節(jié)《分式》中，我們?cè)芯窟^(guò)一個(gè)“固沙造林，綠化家園”的問(wèn)題.打開(kāi)課本.當(dāng)時(shí)，我們?cè)O(shè)原計(jì)劃每月固沙造林x公頃，則原計(jì)劃完成一期工程需要個(gè)月，實(shí)際完成一期工程用了個(gè)月.根據(jù)題意，可得方程－=4.（1）我們說(shuō)，分母中含有字母，我們現(xiàn)在知道它們是不同于整式的代數(shù)式——分式.可是，我們也是第一次遇到這樣的方程，它和我們學(xué)過(guò)的一元一次方程一樣能刻畫現(xiàn)實(shí)世界，是一種反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)這樣的例子.Ⅱ.講授新課列出刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型——方程.［師］［師］在這個(gè)問(wèn)題中涉和到了哪幾個(gè)基本量？它們的關(guān)系如何？［生］涉和到三個(gè)基本量：總產(chǎn)量，每公頃試驗(yàn)田的產(chǎn)量，試驗(yàn)田的面積.其中總產(chǎn)量=每公頃試驗(yàn)田的產(chǎn)量×試驗(yàn)田的面積.［師］你能找出這一問(wèn)題的所有等量關(guān)系嗎？［生］第一塊試驗(yàn)田的面積=第二塊試驗(yàn)田的面積.（a）［生］還有一個(gè)等量關(guān)系是：第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量+3000kg=第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量

（b）［師］我們接著回答下面的問(wèn)題：如果設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為xkg，則第二塊試驗(yàn)田每公傾的產(chǎn)量是多少kg呢？［生］根據(jù)等量關(guān)系（b），可知第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是（x+3000）kg.［生］根據(jù)題意，利用等量關(guān)系（a），可得方程：=.

(2)［師］,的實(shí)際意義是什么呢？［生］它們分別表示第一塊試驗(yàn)田和第二塊試驗(yàn)田的面積.［師］有沒(méi)有別的方法列出方程呢？同學(xué)們可以以小組為單位討論，交流.我們看哪一個(gè)組思維最敏捷.［生］根據(jù)等量關(guān)系（a），我們可以設(shè)兩塊試驗(yàn)田的面積都為x公頃，則表示第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量，表示第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量，根據(jù)等量關(guān)系（b）可列出方程：+3000=

（3）［師］接下來(lái)，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題［師］我們先來(lái)審題，找到題中的等量關(guān)系.［生］由題意，可知：實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)=原定人數(shù)×2倍.

（c）［生］還有一個(gè)等量關(guān)系為：原計(jì)劃每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用=實(shí)際每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用+4元.

（d）［師］同學(xué)們已經(jīng)過(guò)審題，找到了題中的等量關(guān)系，接下來(lái)該干什么呢？［生］設(shè)出未知數(shù)，列出方程，將具體實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.［師］你很棒！下面同學(xué)們就分組來(lái)完成剛才這位同學(xué)所說(shuō)的，你有幾種列方程的方法呢？討論后，各小組可選代表回答上面的問(wèn)題.［生］我代表第一小組回答.設(shè)原定是x人，則每人平均分?jǐn)傇?；人?shù)增加到原來(lái)人數(shù)的2倍后，每人平均分?jǐn)傇?，根?jù)題意，利用等量關(guān)系（d），得方程：－4=

.

（4）［生］我們組沒(méi)有按照以上的設(shè)法，而是設(shè)原定每人平攤y元，則原定人數(shù)為人；實(shí)際參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平攤（y－4）元，則實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)為人，根據(jù)題意，利用等量關(guān)系（c），得方程：2×=.

（5）［師］上面兩個(gè)組的回答都很精彩，祝賀他們.（鼓掌）從同學(xué)們的表現(xiàn)不難看出，用方程這樣的數(shù)學(xué)模型刻畫現(xiàn)實(shí)世界的情境，同學(xué)們掌握得很好.下面我們?cè)賮?lái)用方程來(lái)解決一個(gè)幾何問(wèn)題，刻畫一個(gè)幾何模型.圖3－2如右圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=2a,高AD=h，求內(nèi)接正方形PQRS的邊長(zhǎng).［師生共析］由于SPQR是正方形，SR∥BC，AE⊥SR，所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的邊長(zhǎng)，△ASR的高AE可表示為AD及正方形邊長(zhǎng)的差.由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，于是有：=（相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比）.所以可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，由=得：=.（其中a、h為常數(shù)）（6）［師］你還能找出圖中的相似三角形嗎？你還能用它的性質(zhì)列出方程嗎？同學(xué)們可以在小組內(nèi)討論、交流.［生］從上圖中可知SPQR是正方形，所以RQ⊥BC，又因?yàn)锳D⊥BC，所以AD∥RQ，△ADC∽△RQC.可得=.即=.所以，設(shè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為2x，根據(jù)題意，得=.（a、h為常數(shù)）.（7）［師］你們表現(xiàn)得真棒！觀察方程：－=4

（1）=

（2）+3000=

（3）－4=

（4）2×=

（5）=（其中a、h是常數(shù)）

（6）上面所得到的方程有什么共同特點(diǎn)？［生］不難發(fā)現(xiàn)方程中的未知數(shù)都含在分母中，不是一元一次方程.［師］是的.這就是我們今天要認(rèn)識(shí)的一種新的方程——分式方程即分母中含有未知數(shù)的方程.Ⅲ.隨堂練習(xí)1.已知魚塘中有x千克魚，每千克魚的捕撈費(fèi)用是元.現(xiàn)從魚塘中捕撈101千克魚花了捕撈費(fèi)用200元，求x滿足的方程.分析：題中的等量關(guān)系是：101千克魚×每千克魚的捕撈費(fèi)用=200元.解：x滿足的方程是：101×=200.2.補(bǔ)充練習(xí)某商場(chǎng)有管理人員40人，銷售人員80人，為了提高服務(wù)水平和銷售量，商場(chǎng)決定從管理人員中抽調(diào)一部分人充實(shí)銷售部分，使管理人員及銷售人員的人數(shù)比為1∶4，則應(yīng)抽調(diào)的管理人員數(shù)x滿足怎樣的方程？解：抽調(diào)管理人員x人后，管理人員有（40－x）人，銷售人員有（80+x）人，則Ⅳ.課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們從現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題中建立方程這一重要的數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識(shí)了一種新的方程——分式方程.Ⅴ.課后作業(yè)1.習(xí)題3.62.預(yù)習(xí)下一部分——分式方程的解法.Ⅵ.活動(dòng)及探究如右圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，并求PN=2PQ時(shí)，PN的長(zhǎng)是多少？［過(guò)程］由于PQMN是矩形，所以AE⊥PN，這樣△APN的高可寫成AD—ED=AD－PQ，又PN∥BC，因此△APN∽△ABC，于是可找到PN及已知條件的關(guān)系.