2017高考數(shù)學大一輪復習講義及配套題庫理全書課件第十四章

課時1

絕對值不等式§14.3

不等式選講內(nèi)容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析思想方法感悟提高練出高分1.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R答案|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c

；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c

；|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.答案2.含有絕對值的不等式的性質(zhì)如果a，b是實數(shù)，則|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0

時，等號成立.如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0

時，等號成立.答案1.(2015·山東改編)解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.解

①當x≤1時，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②當1<x<5時，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③當x≥5時，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為(－∞，4).123解析答案2.若存在實數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求實數(shù)a的取值范圍.解

∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.123解析答案求實數(shù)a的取值范圍.3.(2014·重慶改編)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋1

a＋2對任意實數(shù)x恒成立，2123解析答案返回解

設

y＝|2x－1|＋|x＋2|＝－3x－1，x<－2，12－x＋3，－2≤x<

，123x＋1，x≥

.當x<－2時，y＝－3x－1>5；當－2≤x<1時，5≥y＝－x＋3>2

25；當x≥1時，y＝3x＋1≥5，故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為5.2

2

2123解析答案2因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋1a＋2

對任意實數(shù)x

恒成立，所以5≥a2＋1a＋2.2

2解不等式5≥a2＋1a＋2，得－1≤a≤2

2

21，2故a

的取值范圍為[－1，1].123返回例1

(2015·課標全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)當a＝1時，求不等式f(x)>1的解集；解

當a＝1時，f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0.當x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解；當－1<x<1

時，不等式化為3x－2>0，解得2<x<1；3當x≥1時，不等式化為－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1

的解集為

23x

<x<2.絕對值不等式的解法題型一解析答案(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.解x－1－2a，x<－1，由題設可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函數(shù)f(x)的圖象與x

軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，3△ABC

的面積為2(a＋1)2.3由題設得2(a＋1)2>6，故

a>2.

所以a的取值范圍為(2，＋∞).解析答案思維升華解絕對值不等式的基本方法有：利用絕對值的定義，通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式；當不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉化為解不含絕對值符號的普通不等式；利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結合求解.(1)(2014·廣東改編)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集.解

當x<－2時，不等式等價于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；當－2≤x<1時，不等式等價于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，無解；當x≥1時，不等式等價于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.綜上，不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}.跟蹤訓練1解析答案(2)(2014·湖南改編)若關于x

的不等式|ax－2|<3

的解集為{x|－53<x<3}1

，求a

的值.解

∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.當a>0時，－1<x<5，與已知條件不符；a

a當a＝0時，x∈R，與已知條件不符；a

a當a<0

時，5<x<－1，又不等式的解集為{x|－53<x<3}1

，故a＝－3.解析答案例2

(1)(2014·江西改編)對任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值.解

∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.利用絕對值不等式求最值題型二解析答案(2)對于實數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解

|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值為5.思維升華解析答案求含絕對值的函數(shù)最值時，常用的方法有三種：(1)利用絕對值的幾何意義；(2)利用絕對值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零點分區(qū)間法.(1)若關于x的不等式|2

014－x|＋|2015－x|≤d有解，求d的取值范圍.解

∵|2014－x|＋|2

015－x|≥|2

014－x－2

015＋x|＝1，∴關于x的不等式|2

014－x|＋|2

015－x|≤d有解時，d≥1.跟蹤訓練2解析答案取值范圍.(2)不等式|x＋1

|≥|a－2|＋sin

y對一切非零實數(shù)x，y均成立，求實數(shù)a的xx解

∵x＋1∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，x∴|x＋1|∈[2，＋∞)，其最小值為2.又∵sin

y的最大值為1，故不等式|x＋1|≥|a－2|＋sin

y

恒成立時，x有|a－2|≤1，解得a∈[1,3].解析答案例3

設函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；4，x<－1，解

∵函數(shù)

f(x)＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3，－4，x>3，故由不等式f(x)<－1

可得x>3

或2－2x<－1，－1≤x≤3.3解得x>2.絕對值不等式的綜合應用題型三解析答案(2)設函數(shù)g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解

函數(shù)g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，在同一個坐標系中畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，如圖所示.故當x∈[－2,2]時，若0≤－a≤4時，則函數(shù)g(x)在函數(shù)f(x)的圖象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的實數(shù)a的取值范圍為[－4,0].思維升華 解析答案(1)解決與絕對值有關的綜合問題的關鍵是去掉絕對值，化為分段函數(shù)來解決.(2)數(shù)形結合是解決與絕對值有關的綜合問題的常用方法.已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；－2x＋5，x≤2，解

當

a＝－3

時，f(x)＝1，2<x<3，2x－5，x≥3.當x≤2時，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當2<x<3時，f(x)≥3無解；當x≥3時，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.跟蹤訓練3解析答案(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范圍.解

f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當x∈[1,2]時，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.

由條件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故滿足條件的a的取值范圍為[－3,0].解析答案返回1.絕對值不等式的三種常用解法：零點分段法，數(shù)形結合法，構造函數(shù)法.可以利用絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函數(shù)最值，要注意其中等號成立的條件.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉化為最值問題解決.返回1.在實數(shù)范圍內(nèi)，求不等式||x－2|－1|≤1的解集.解

由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，解|x－2|≥0，|x－2|≤2得0≤x≤4.∴不等式的解集為[0,4].1

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10解析答案2.不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a對于一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解

由絕對值的幾何意義知：|x－4|＋|x＋5|≥9，則log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a對于一切x∈R恒成立，則需a<2.1

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10解析答案3.對于任意實數(shù)a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求實數(shù)m的取值范圍.解

因為|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，|a－1|≤1，2

2所以|4a－3b＋2|＝|(3a－3b)＋(a－1)＋5|2

2≤|3a－3b|＋|a－1|＋5≤3＋1＋5＝6，2

2

2

2即|4a－3b＋2|的最大值為6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.1

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10解析答案4.已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x－7|＋m，若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍.解

由題意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即(|x－3|＋|x－7|)min>m，由于x軸上的點到點(3,0)和點(7,0)的距離之和的最小值為4，所以要使不等式恒成立，則m<4.1

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10解析答案25.求不等式|x＋3|－|2x－1|<x＋1

的解集.2解

①當x<－3

時，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)<x＋1，解得

x<10∴x<－3.②當－3≤x<1時，原不等式化為(x＋3)－(1－2x)<x＋1，解得x<－2，2

2

55∴－3≤x<－2.③當x≥1時，原不等式化為(x＋3)－(2x－1)<x＋1，解得x>2，∴x>2.2

225綜上可知，原不等式的解集為x|x<－ 或x>2.1

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10解析答案1

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106.已知關于x的不等式|2x－m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2，求關于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集.解析答案m－12≤x≤m＋12，解

由不等式|2x－m|≤1，可得∵不等式的整數(shù)解為2，∴m－1

m＋12

2≤2≤

，解得3≤m≤5.再由不等式僅有一個整數(shù)解2，∴m＝4.本題即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，當x<1時，不等式等價于1－x＋3－x≥4，解得x≤0，不等式解集為{x|x≤0}.1

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10解析答案當1≤x≤3時，不等式等價于x－1＋3－x≥4，解得x∈?，不等式解集為?.當x>3時，不等式等價于x－1＋x－3≥4，解得x≥4，不等式解集為{x|x≥4}.綜上，原不等式解集為(－∞，0]∪[4，＋∞).1

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107.設函數(shù)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；1

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10解析答案2解

方法一 令

2x＋1＝0，x－4＝0

分別得

x＝－1，x＝4.原不等式可化為：x＜－2－x－5＞2或1

1－2≤x＜43x－3＞2或x≥4，x＋5＞2.∴原不等式的解集為

x

x＜－7，或x＞5

3.1

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10解析答案2－x－5，x＜－1，方法二

f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝3x－3，1–

≤x＜4，2x＋5，

x≥4.畫出f(x)的圖象，如圖所示.求得y＝2

與f(x)圖象的交點為(－7,2)5

3， ，2

.由圖象知f(x)＞2

的解集為

x

x＜－7，或x＞53.1

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10(2)求函數(shù)y＝f(x)的最小值.min2解

由(1)的方法二知：f(x)

＝－9.1

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10解析答案8.已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；解

f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，當x≥2時，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；當x≤－3時，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈?；當－3<x<2時，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.綜上，f(x)≥3的解集為{x|x≥1}.1

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10解析答案(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范圍.解

由絕對值不等式的性質(zhì)可得，||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，則有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，則|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范圍是[－1,9].1

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10解析答案9.已知a和b是任意非零實數(shù).(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；解

∵|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a||4a|＝

|a|

＝4，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值為4.1

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10解析答案(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解

若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，|a|即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2