初中數(shù)學(xué)-銳角三角函數(shù)-正切教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《2.1銳角三角函數(shù)—正切》教學(xué)設(shè)計【學(xué)習(xí)目標(biāo)】初步了解角度與比值的一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。運用正切的概念解決直角三角形中有關(guān)的計算問題．了解坡度的有關(guān)概念?！窘虒W(xué)重難點】重點：理解正切、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系難點：銳角三角函數(shù)概念的理解【材料準(zhǔn)備】不同顏色的直角三角形紙片（直角邊長分別是4和8,6和8,6和10，2和4）【教學(xué)過程設(shè)計】一、搭建框架，合情發(fā)現(xiàn)1．實例引入，引發(fā)思考師：同學(xué)們，昨天晚上老師逛街買了三雙高跟鞋（出示高跟鞋圖片），同學(xué)們說好看嗎？生：好看！師：你喜歡哪一雙？生：我喜歡最高的因為我矮一些。生：我也喜歡最高的，因為可以顯的我的腳小一些。師：那哪一雙會穿上最舒適呢？有研究人員研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高跟鞋的鞋底與地面的夾角為11°左右人腳的感覺最舒適，假設(shè)我的腳掌到腳后跟的長為15cm時，你能幫我選出哪一雙最舒適嗎？我們可以將這個問題數(shù)學(xué)化為直角三角形的問題。師：三角形的元素有邊和角，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中角的關(guān)系和邊的關(guān)系，那么直角三角形中邊和角有什么關(guān)系呢？這就是本章需要我們學(xué)習(xí)的直角三角形的邊角關(guān)系（點出本章課題）而探索直角三角形的邊角關(guān)系需要利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識，這一節(jié)課就讓我們一起來學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)中的正切。（板書：正切）師：墻上豎著兩個梯子，哪個梯子更陡？生：第二個梯子的傾斜角大所以第二架梯子更陡。師：這位同學(xué)的方法很直接梯子的傾斜角大的更陡一些，由此我們發(fā)現(xiàn)可以借助于角的大小來比較傾斜程度，除此之外，能不能借助于邊來比較呢？下面讓我們共同來探究。（設(shè)計意圖：以高跟鞋引入本節(jié)課內(nèi)容，以此讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)來源于生活，同時也能激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情。數(shù)學(xué)化為直角三角形的問題從而點名本章的內(nèi)容，進而步步引導(dǎo)得出本節(jié)課的課題，讓同學(xué)們明確本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。）2．實例探索，尋找規(guī)律（1）探究活動一：哪個梯子最陡，闡述自己比較的理由。師：請同學(xué)們拿出課前已經(jīng)制作好梯子模型，進行動手操作驗證。（學(xué)生活動：同桌之間相互合作，交流方法）生：將三個角放在公共的頂點比較度數(shù)的大小2號度數(shù)最大所以最陡。師：這位同學(xué)利用疊合法比較角的大小得出2號最陡，還有其他的方法嗎？生：先比較1、2號水平距相同，2號的豎直高度高，所以2陡。再比較2、3號豎直高度相同，2號的水平距離小，所以2號最陡。（學(xué)生活動：同桌上臺展示，一名同學(xué)在展臺上操作，一名學(xué)生在屏幕前解說）探究活動二：比較1號和3號哪個梯子更陡一些？你是如何進行比較的？師：由以上的驗證過程可知邊也可以用來比較傾斜程度，那我們繼續(xù)研究如何比較1、3號中哪一個更陡一些呢？你是如何進行比較的先自己思考然后小組交流。（學(xué)生活動：學(xué)生自己獨立思考，然后小組合作交流，同學(xué)代表上臺展示方法）生：（上臺交流展示）讓1號水平距離和豎直高度同時擴大5倍，讓3號的水平距離和豎直高度同時擴大4倍統(tǒng)一水平距離比較豎直高度，3號豎直高度高3號陡。師：還有其他方法嗎？生：還可以統(tǒng)一豎直高度，在3號的豎直高度上截取CD=4然后過點D作DE∥AB利用相似算出AE的長度與1號的AC進行比較得出3號陡。師：繼續(xù)深化問題，如果是兩個一般的圖形你可以怎么刻畫梯子的傾斜程度呢？生：可以將水平距離都統(tǒng)一成為b1b2通過比較a1b2和a2b1的大小來比較梯子的傾斜程度。師：同學(xué)們上述問題中牽扯到了兩個三角形能不能轉(zhuǎn)化到一個三角形中來刻畫呢？生：可以將等積式化為等比式師：這位同學(xué)善于用已知的知識來解決新知，這種思想很好，在圖形上我們可以將水平距離都化為1也能實現(xiàn)上述操作。由此我們發(fā)現(xiàn)在一個直角三角形中我們可以通過比值來比較梯子的傾斜程度。至此，我們完成了本節(jié)課的第一個小目標(biāo)可以用邊的比值來比較梯子的傾斜程度。（設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)從特殊的已知水平距離相等或者是豎直高度相等的梯子模型出發(fā)步步深入變換成為水平距離和豎直高度都不相等的梯子模型，讓同學(xué)們用已有的經(jīng)驗來解決新的問題，然后動手實際自己操作，通過同桌交流、小組交流等合作學(xué)習(xí)方式讓學(xué)生們在合作學(xué)習(xí)中碰撞出火花。然后再深入研究對于一般的梯子模型應(yīng)該如何來刻畫它的傾斜程度，從而從特殊到一般的探索過程，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知特征。）（2）概念建構(gòu)：師：同學(xué)們請利用比值來比較1，4號的傾斜程度并觀察兩個角之間有何關(guān)系？生：1,4號兩個的比值相同并且兩個角度也相等。師：那請你做一個大膽的猜想角度和邊的比值之間有何關(guān)系呢？生：角度確定比值也隨之確定師：非常好，數(shù)學(xué)就是要有一個大膽的猜想，敢想敢干，讓我們用幾何畫板來驗證一下這位同學(xué)的猜想。（在幾何畫板中進行操作驗證）師：通過驗證過程大家有何發(fā)現(xiàn)？生：當(dāng)角度確定時，角的對邊與鄰邊的比值也隨之確定，與邊的長度無關(guān)。師：那你能用學(xué)過的知識來說明其中的道理嗎？生：相似（學(xué)生闡述自己的證明方法）師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：我想問一下當(dāng)角度發(fā)生變化時，比值會隨之變化嗎？會如何變化？師：這位同學(xué)是一位善于思考的學(xué)生，讓我們來一起思考一下他提出的問題?？梢岳^續(xù)用幾何畫板驗證，通過驗證過程你有何發(fā)現(xiàn)？生：當(dāng)角度變大時，比值隨之變大，當(dāng)角度變小時比值隨之變小。（設(shè)計意圖：讓學(xué)生進行大膽的猜想然后通過幾何畫板驗證，數(shù)據(jù)明朗，簡單直觀有助于學(xué)生由形象直觀感知內(nèi)化為思維風(fēng)暴。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要經(jīng)歷一個猜想-驗證-得出結(jié)論的過程，所以鼓勵學(xué)生大膽的猜想是學(xué)習(xí)中非常重要的，只有敢想敢干才能出現(xiàn)解決方法。）師：在一個直角三角形中當(dāng)角度發(fā)生變化時比值也發(fā)生變化，當(dāng)角度確定是比值也隨之確定這種關(guān)系與我們以前所學(xué)過的什么關(guān)系一樣？生：函數(shù)關(guān)系。師：我們這是在直角三角形中研究的關(guān)于角的函數(shù)所以稱為銳角三角函數(shù)（板書添加標(biāo)題）而當(dāng)角度確定時比值也隨之確定這個比叫做角A的正切，記作：tanA,即tanA=那你發(fā)現(xiàn)梯子的傾斜程度與tanA有怎樣的關(guān)系？生：當(dāng)銳角A變化時，相應(yīng)的tanA也隨之變化，tanA的值越大，梯子越陡。師：讓我們用我們剛剛得出的結(jié)論來直接比較得出自動扶梯AB和DE哪一個更陡？（找一位同學(xué)到黑板上進行板演規(guī)范做題步驟）概念延伸、應(yīng)用生活師：在此刻我們已經(jīng)完成了本節(jié)課的第二個小目標(biāo)，了解正切的概念并能夠進行簡單的應(yīng)用，那么在現(xiàn)實生活中還有可以用正切來進行刻畫傾斜程度的嗎？下面請同學(xué)們先欣賞兩幅圖片。師:這是哪里呢？生：泰山。師：同學(xué)們?nèi)ミ^嗎？生：去過（沒有）師：沒有去過的同學(xué)也不要傷心，相信大家以后有機會會去領(lǐng)略我們泰山的美麗風(fēng)景，那去爬過的同學(xué)感覺哪一段是最讓你痛苦的？生:十八盤師：十八盤之所以難爬就是因為坡度大，坡度陡。那么誰也可以來刻畫坡度的陡和緩呢？首先讓我們先來了解一下坡度的有關(guān)概念。（設(shè)計意圖：以最為有名的泰山為背景引入本小節(jié)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之余也讓同學(xué)們對于自己生活的家鄉(xiāng)有所認(rèn)識，增強同學(xué)們的自豪感，同時也體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活繼而應(yīng)用于生活中的思想。）師：請一位同學(xué)給大家讀一下坡度的有關(guān)概念（出示坡度的概念，同時教師板書提煉概念的關(guān)鍵點。此處也完成了本節(jié)課的第二個小目標(biāo)坡度的陡和緩也可以用正切來進行描述。）師：同學(xué)們了解了坡度的有關(guān)概念之后，請同學(xué)們找出圖中的坡角并計算這個小山坡的坡度為多少？BBCA100m60m 生：上臺展示自己的做法。師：那在這里正切如何來刻畫坡度的陡和緩呢？哪位同學(xué)給大家總結(jié)一下。生：正切值越大坡度就越大坡面就越陡。師：這位同學(xué)給大家總結(jié)的很棒！師：請同學(xué)們幫助小明解決他的困惑。（設(shè)計意圖：此處設(shè)計這樣的問題有助于強化同學(xué)們對于坡度的有關(guān)概念的理解以及提高應(yīng)用能力）三：回顧思考、課堂小結(jié)師：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的研究內(nèi)容與研究方法。生：本節(jié)課我學(xué)會了正切的有關(guān)概念并能利用概念解決有關(guān)直角三角形的有關(guān)知識，并且也學(xué)會了坡度的有關(guān)概念以及如何計算坡度。生：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我還學(xué)會了建模的思想，將實際問題建立成數(shù)學(xué)模型來解決，同時將實際問題中的線段的長度轉(zhuǎn)化到圖形中去。生：我還學(xué)會了研究問題可以從特殊到一般的研究方法，可以從特殊的數(shù)值開始進行研究，從而研究一般的情況?！豪蠋熚铱梢詭湍氵x出合適的高跟鞋了（學(xué)生上臺講解過程）（設(shè)計意圖：呼應(yīng)課前提出的問題，同學(xué)們利用本節(jié)課所學(xué)知識成功地幫我選出了合適的高跟鞋，同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會到了成功地喜悅。）課后延伸、了解來源師：課后給同學(xué)們準(zhǔn)備了一份精神食糧，以便讓同學(xué)了解閱讀知道三角函數(shù)的起源。（設(shè)計意圖：讓同學(xué)們了解數(shù)學(xué)的起源，數(shù)學(xué)不僅僅是傳授結(jié)論，更應(yīng)該讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史）板書設(shè)計銳角三角函數(shù)-------正切角的大小角的大小邊?比值一、傾斜程度 函數(shù)關(guān)系角自不變變函數(shù)關(guān)系比值因不變變在Rt△ABC中，tanA=坡角三、i=坡度=坡比=tanα=坡角《2.1銳角三角函數(shù)--正切》學(xué)情分析九年級學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的定義和相似三角形，具備了學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的知識基礎(chǔ)；九年級上學(xué)期的學(xué)生已經(jīng)具有了一定的空間觀念、想象力、幾何語言表達(dá)能力以及邏輯推理能力。學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗、能力和思維方法為新的認(rèn)知活動提供了必要的基礎(chǔ)和條件。在對待如何描述梯子的傾斜程度的問題中，學(xué)生的生活經(jīng)驗比較豐富，除了看角，還可以比較邊。直角三角形的銳角可以用來描述梯子的傾斜程度，但是學(xué)生可能不會像到兩條邊的比也可以表示梯子的程度，所以這也是本節(jié)課著重在引導(dǎo)學(xué)生探索的內(nèi)容。在課堂上也設(shè)計了很多的探究活動讓學(xué)生自己動手操作驗證攻破難點。另外，學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了一些函數(shù)的知識，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)，但是對角度和邊比值之間的對應(yīng)關(guān)系還是第一次接觸，所以對銳角三角函數(shù)的概念的理解還有一定的抽象和困難，此處我也選擇了用幾何畫板形象直觀的刻畫角度和邊的比值之間的這一函數(shù)關(guān)系。在學(xué)習(xí)過程中，要加強教師點撥，學(xué)生自主探究與交流合作幫助學(xué)生克服困難。《2.1銳角三角函數(shù)--正切》效果分析本節(jié)課學(xué)生參與積極，能在愉悅和諧的良好學(xué)習(xí)環(huán)境中動手操作、探索發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)知識，達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。知識來源于生活，又服務(wù)于生活。本節(jié)課是魯教版九年級上冊第二章第一節(jié)銳角三角函數(shù)（第一課時），主要學(xué)習(xí)正切的概念及銳角的正切值，解決生活中的關(guān)于“陡”的問題。并為下節(jié)學(xué)習(xí)正弦、余弦做好知識鋪墊。本節(jié)課采用了選取高跟鞋的問題導(dǎo)入，將生活中的問題建模成為數(shù)學(xué)問題來解決，大大的激發(fā)了學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情。將此問題數(shù)學(xué)化為直角三角形的問題，從而步步引入本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，然后引入教材中的探究性問題哪個梯子陡入手，學(xué)生基于生活經(jīng)驗比較角的大小得出結(jié)論，從而自然引出可以用邊來比較哪個梯子陡的問題。課堂上讓同學(xué)們拿出自制的梯子模型進行動手操作驗證，由特殊的水平距離相等，豎直高度相等的梯子進行比較過渡到?jīng)]有相等的邊長時又該如何比較進而再到一般的兩個圖形該如何來比較哪個更陡，整個過程遵循了學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生成為了課堂的主人，充分調(diào)動了學(xué)生的探索積極性，讓學(xué)生有主人翁意識。教師在課堂中充當(dāng)了引航員的作用引導(dǎo)學(xué)生大膽的猜測比值大小與銳角角度的大小關(guān)系，從而引出并理解了正切的概念，結(jié)合例題，提高了運用正切進行分析推理運算的能力，本節(jié)課基本達(dá)到了預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)。同時學(xué)生在探索銳角三角函數(shù)的概念以及正切的概念的同時也學(xué)會了將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，這樣同學(xué)們在接受坡度的概念時就會將理論的知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形上來解決，由最終的呈現(xiàn)效果本節(jié)課對于數(shù)學(xué)方法的滲透達(dá)到了潤物細(xì)無聲的效果，最后學(xué)生們也利用本節(jié)課所學(xué)知識解決了課前所提出的高跟鞋的問題，達(dá)到了概念問題注重的是探索的過程而不是最終的結(jié)果，同學(xué)們也學(xué)會了概念學(xué)習(xí)的方法。本節(jié)課也有不足之處，學(xué)生在課堂中感到緊張，有些放不開。同時探究中留給學(xué)生的思考時間過少，基本上上一環(huán)節(jié)剛結(jié)束就進入下一環(huán)節(jié)，有些反應(yīng)稍有停頓的同學(xué)可能還沒有徹底弄懂，就進入了下一環(huán)節(jié)。《2.1銳角三角函數(shù)——正切》教材分析本節(jié)內(nèi)容為魯教版五·四學(xué)制教科書九年級上冊第二章《直角三角形的邊角關(guān)系》第一節(jié)“銳角三角函數(shù)”的第1課時：正切．“銳角三角函數(shù)”是新課標(biāo)中“空間與幾何”部分的重要內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形與勾股定理、函數(shù)、相似三角形等知識的基礎(chǔ)上進行的．直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是現(xiàn)實世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之一，銳角三角函數(shù)在解決問題中有著重要的作用，如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般說來，這些實際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊和角的關(guān)系問題．研究邊和角的關(guān)系，把這種關(guān)系用數(shù)量的形式出來，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．通過直角三角形中邊角之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進一步體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識及進一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識奠定基礎(chǔ)，因此，該部分內(nèi)容具有重要的地位和作用．而本節(jié)知識“正切”屬于章首內(nèi)容，又起著承上啟下的作用，對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，建模能力和解決實際問題的能力，具有重要意義．本節(jié)內(nèi)容教材通過梯子的傾斜程度引出正切的概念．為激發(fā)學(xué)生的求知欲，特意設(shè)計了更貼近生活實際的問題情景——鞋跟多高合適，并在探索歸納新知后加以解決，從而幫助學(xué)生培養(yǎng)應(yīng)用意識．教科書呈現(xiàn)了梯子的幾種情況，我在教學(xué)中呈現(xiàn)了更多情形，為學(xué)生探索多種比較梯子傾斜程度的方法提供了契機，很好的搭建了合作交流的平臺，助于學(xué)生創(chuàng)新意識與發(fā)散思維的培養(yǎng)．這樣利用從特殊到一般的方法，結(jié)合相似的知識，探究并歸納出正切的概念，側(cè)重了知識的生成與發(fā)展過程，也很好地突破了本節(jié)的難點：探索直角三角形的邊角關(guān)系，理解正切的意義．對于本節(jié)的重點，即能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，能夠用正切函數(shù)進行簡單的計算，則充分利用梯子傾斜程度與鞋跟多高合適的實際問題幫助學(xué)生理解與鞏固新知識，同時結(jié)合生活中的坡度問題進一步讓學(xué)生學(xué)以致用．這樣整個教法與學(xué)法設(shè)計體現(xiàn)了學(xué)生經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——歸納——應(yīng)用”的完整過程，符合教材的設(shè)計意圖與課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念．《2.1銳角三角函數(shù)—正切》評測練習(xí)1、在Rt△ABC中，各邊的長度同時擴大100倍，tanA的值（）A.擴大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定2.在坡度i=1：2的山上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是6m，斜面上相鄰兩樹間的坡面距離是（）A.3B.C.D.4在Rt△中，∠C=90°，AC=12，tanA=,求AB和BC4、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB5、如圖,在三角形ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB.AC=3，BC=4，求tan∠ACD和tanB《2.1銳角三角函數(shù)--正切》課后反思列夫·托爾斯泰曾說：“知識，只有當(dāng)它靠積極的思維得來，而不是憑記憶得來的時候，才是真正的知識．”我在教學(xué)中，無論從數(shù)學(xué)概念，還是定理，側(cè)重了知識的生成與成長，加強動手實踐與思考探究，關(guān)注了學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)與能力的培養(yǎng)．下面我對“銳角三角函數(shù)--正切”一堂課設(shè)計與教學(xué)反思如下．一、創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，切入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣對于本節(jié)課，也是第二章直角三角形邊角關(guān)系的章頭課，所以在課堂伊始就先讓同學(xué)們對于本章所學(xué)內(nèi)容有一個大認(rèn)識，然后順勢過渡到本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，充分挖掘第一節(jié)統(tǒng)領(lǐng)總章的作用。教材是通過靠在墻上的兩個梯子為引入引發(fā)學(xué)生思考與探究，我也沿用這一內(nèi)容啟發(fā)學(xué)生思考，同時為便于后續(xù)他們更好地探索歸納正切的概念，我通過深挖教材將教材中的圖形變?yōu)樘葑幽Ｐ?，讓學(xué)生通過動手操作更形象直觀的來感受圖形，收到了良好的效果．二、側(cè)重了動手操作活動的設(shè)計，關(guān)注了學(xué)生活動經(jīng)驗的積累本節(jié)課的重難點在于用比值來比較梯子的陡和緩，所以我設(shè)計了一系列的探究活動，順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，采用了從特殊到一般的研究方法，讓學(xué)生們在操作中思考在思考中總結(jié)方法。同時學(xué)生們也充分的利用已學(xué)的知識來解決未知的問題，數(shù)學(xué)方法在無形中內(nèi)化于學(xué)生心中。再講解坡度的有關(guān)概念時，學(xué)生也學(xué)會了自己建構(gòu)數(shù)學(xué)模型來解決問題，這樣學(xué)生掌握了自主探索學(xué)習(xí)的能力將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識來解決。三、對媒體手段輔助教學(xué)，打造高效課堂本節(jié)課中，在我校剛引進的觸控一體機搭載的多媒體平臺下，使學(xué)生的展示交流更為便捷，學(xué)生可以直接在屏幕上書寫過程，大大的提高了課堂效率。同時利用幾何畫板演示，讓學(xué)生先從數(shù)的角度上感受角度與比值之間的不變與變，從直觀數(shù)據(jù)上的變化再上升為理論證