高等數(shù)學習題課一階微分方程的解法及應用課件

一、一階微分方程求解1.一階標準類型方程求解關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標準類型方程求解變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式幾個標準類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程P315題77/20/20231例1

求下列方程的通解提示:

(1)故為分離變量方程:通解7/20/20232方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為7/20/20233方法1

這是一個齊次方程.*方法2

化為微分形式故這是一個全微分方程(下冊內(nèi)容).7/20/20234解此方程為一個可分離變量的微分方程．分離因變量，得例2求解方程．兩邊積分，得即得原方程的通解7/20/20235解原方程變形后為齊次方程例3求解方程，．作變換，移項，得則有7/20/20236兩邊積分，得將代入，有即滿足初始條件的解為由初始條件，即原方程的解為7/20/20237解原方程變形為即例4求微分方程的通解．此是關于函數(shù)的一階線性非齊次線性微由求解公式得分方程，7/20/202387/20/20239例5

求下列方程的通解:提示:

(1)令u=xy,得(分離變量方程)原方程化為P315題77/20/202310令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為7/20/202311練習題:

求以為通解的微分方程.提示:消去C得

求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:P353題1，2，3(1),(2),(3),(5),(10)P353題2P353題37/20/202312提示:可化為關于x

的一階線性方程提示:這是一階線性方程,其中7/20/202313原方程化為,即則故原方程通解提示:

令7/20/202314分離變量，得兩邊積分，得例6求解微分方程．解法1作代換，此方程為齊次方程，則有7/20/202315故方程的通解為即由于7/20/202316*解法2故方程的通解為代回原變量，得此方程為貝努利方程，此時令方程變形為則有7/20/202317例7設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2)求出F(x)的表達式.解

(1)

所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:03考研7/20/202318(2)

由一階線性微分方程解的公式得于是7/20/202319例8設河邊點O的正對岸為點A,河寬OA=h,一鴨子從點A游向點二、解微分方程應用問題利用共性建立微分方程,利用個性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點O,提示:如圖所示建立坐標系.設時刻t鴨子位于點P(x,y),設鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸則關鍵問題是正確建立數(shù)學模型,要點:則鴨子游速b為7/20/202320定解條件由此得微分方程即鴨子的實際運動速度為(求解過程參考P306例2)(齊次方程)7/20/202321思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習題:P354題5,6

已知某曲線經(jīng)過點(1,1),軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.提示:設曲線上的動點為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點處切線方程為它的切線在縱P353題57/20/202322

已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?提示:設每分鐘應輸入

t時刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為P353題57/20/202323t=30時解定解問題因此每分鐘應至少輸入250新鮮空氣.初始條件得k=?7/20/202324一點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比(比例系數(shù)選用題小船從河邊點出發(fā)駛向對岸(兩岸為平行線)，設船速為船行方向始終與河岸垂直．又設河寬為，河中任為)，求小船的航行路線．解如圖建立坐標系統(tǒng)，并使水流方向與的正向一致．設時刻時，小船位于處，則7/20/202325其初始條件為先解得，再由初始條件得，即．代入到第一個方程中，即有解得7/20/202326再由初始條件，得．即小船的航行曲線為或消去參數(shù)，得7/20/202327三、課外練習題1．求下列方程的通解：1)；2)；3)；4)；5)．7/20/2023282．設是連續(xù)函數(shù)，且滿足求