動能定理課件

第12章動能定理

§12-1基本概念物體的動力分析—研究物體的運動與作用在物體上的力或力系之間的關系?；径墒桥ｎD第二定律F=ma本書只介紹動能定理和動靜法兩部分內容。12-1-1動力學的力學模型質點—有質量但可以忽略其大小和形狀的點。質點系—有限或無限質點的集合。剛體—無數(shù)質點組成的不變形的質點系。剛體的特點是其中任意兩質點間的距離保持不變。自由質點系—質點系中各質點的運動不受約束的限制的質點系；反之稱為非自由質點系。12-1-2質點動能的概念質點的質量為m，某瞬時速度為v，定義：質點的動能等于質點質量與質點速度平方乘積的一半，即T=mv2/2動能永遠為正值或零。動能的單位為N.m（牛頓.米）1N.m=1J（焦耳）。計算動能時，速度為絕對速度。動能是質點運動強度的一種度量。mv12-1-3功的概念和計算作用在質點上的力在某一段位移上的功，是力在這段位移上作用效果的度量。恒力的功：在恒力F作用下，質點M沿直線運動。力作用線與運動方向夾角為θ，位移為s，力F對質點作的功等于F在位移方向上的投影與位移的乘積：W=FscosθW=F.s功是代數(shù)量，正負號規(guī)則為：力的投影的正方向與位移方向一致，則力在這一段位移上所作之功為正；反之為負。功的國際單位為N.m，1N.m=1J（焦耳）。sFvθM1M2變力的功：如果在變力作用下，質點M沿任意軌跡從M1運動到M2，考察微元弧段，將微元上作用的力視為恒力，微段軌跡視為直線，則力的微元功為δW=Fcosθds沿弧長積分，求得變力F在運動軌跡M1M2上對質點作的功：W=∫s1s2Fcosθds=∫s1s2Fτds用X，Y，Z表示為F在xyz軸上的投影，dxdydz為微元ds在xyz軸上的投影，則W=∫M1M2(Xdx+Ydy+Zdz)OM1M2Frr’drdsθxyzv合力功定理—質點M同時受n個力（F1，F(xiàn)2，

…，F(xiàn)n，）的作用，設合力為R，則質點M在R作用下在任意位移上所作的功，等于各分力在相同位移上所作的功的代數(shù)和。W=W1+W2+…+Wn=∑W重力功質點在重力作用下，沿任意軌跡從M1運動到M2，重力作功為W=∫z1z2-Fpdz=Fp(z1–z2)即：重力作功等于質點所受重力與質點起止位置高度差的乘積。重力作功與質點運動路徑無關，只與起止點的高度有關。OM1M2Fpxyzz1z2彈性力的功設彈簧剛度為k，相應變形由λ1到λ2，則彈性力作的功為：W=∫s1s2

–Fds=∫λ1λ2

–kλdλ=k(λ12

–λ22

)/2即：彈性力作功與質點路徑無關，只與彈性元件在質點起止位置時的變形量有關。作用在定軸轉動剛體上力的功在力F作用下，作定軸轉動的剛體由Φ1轉至Φ2時，力所作的功為：W=∫Φ1Φ2

Mz(F)dΦ當力對軸之矩保持不變時，力對軸之矩所作的功為：W=

Mz(F)（Φ2-Φ1）當力對軸之矩保持不變時，作用在定軸轉動剛體上的力所作的功等于力對軸之矩與剛體轉角的乘積。12-1-4作用于質點系上的力的分類內力與外力內力—質點系中各質點之間的相互作用力；外力—質點系外的物體作用于質點系上各質點的力。對于一般的質點系，內力作功不一定等于零。主動力與約束力約束力—約束作用于物體的力；主動力—約束力之外的力。理想約束—約束力所作之功的代數(shù)和等于零的約束。光滑接觸、光滑軸承、光滑鉸鏈，不考慮伸長的繩索，只滾不滑的純滾動等。12-1-5質點的動能定理當質點M在力F作用下，沿軌跡M1到M2時，F(xiàn)τ是力F在切線方向的投影，由牛頓第二定律有maτ=Fτ將aτ=dv/dt代入有mdv/dt=Fτ等號兩邊乘以ds,且v=ds/dt,代入有

mvdv/dt=Fτdsmvdv/dt=d(mv2/2)Fτds=δW為Fτ在位移ds上所作的功，稱為元功代入得到d(mv2/2)=δW—質點動能定理的微分形式質點動能的微分等于作用于質點上的力的元功。如果質點自M1點到M2點作有限位移，相應的坐標為s1和s2，相應的速度為v1和v2，對上式積分∫v1

v2

d(mv2/2)=∫s1

s2

Fτds得到：mv22/2-mv12/2=W—質點動能定理的積分形式質點在有限位移過程中，其動能的改變等于作用在質點上的力在相應位移上所作之功。§12-2質點系的動能定理12-2-1質點系的動能質點系的動能等于質點系內所有質點動能的總和：T=∑mivi2/2幾種常見運動形式下剛體的動能平移剛體的動能剛體平移時各點速度相同，由T=∑mivi2/2得到T=mv2/2或寫成T=mvc2/2vc為剛體質心的速度。定軸轉動剛體的動能設定軸轉動剛體角速度為ω，其上任一點M到轉軸的距離為ri，其速度vi=riω，則剛體的動能為T=∑mivi2/2=∑mi

（riω）2/2=∑mi

ri2ω2/2=Jzω2/2Jz=∑mi

ri2稱為剛體對定軸z的轉動慣量。轉動慣量是剛體轉動慣性的度量，與剛體質量的大小及其分布有關，與剛體的運動無關。剛體質量連續(xù)分布時，轉動慣量可以寫成：Jz=∫Mr2dm通過積分可以求得質量均勻分布并有規(guī)則幾何形狀的剛體的轉動慣量。幾種常見剛體對過質心軸z的轉動慣量1.質量為m，半徑為R的均質圓盤(圓柱)，Jz=mR2/22.質量為m，半徑為R的均質圓環(huán)，Jz=mR23.質量為m，長為l的均質細桿，Jz=ml2/12zRmzRml/2l/2z平行軸定理：剛體對任何軸的轉動慣量，等于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體質量與兩軸之間距離的平方的乘積。即：Jz,=Jz+ml21.質量為m，半徑為R的均質圓盤(圓柱)：Jz’=mR2/2+mR2=3mR2/22.質量為m，半徑為R的均質圓環(huán)，Jz’=mR2+mR2=2mR2

3.質量為m，長為l的均質細桿，Jz’=ml2/12+m(l/2)2=ml2/3剛體對任何軸的轉動慣量，都大于剛體對通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量。lzz’CzRmz’zRmz’l/2l/2z’平面運動剛體的動能設瞬心為C’，質點mi到C’的距離為ri，速度為vi=

riω，剛體的運動可以看成繞瞬心的定軸轉動，動能為T=∑mivi2/2=∑mi（riω）

2/2=∑miri2

ω

2/2=JC’ω

2/2JC’=∑miri2為剛體對通過瞬心，垂直于平面圖形的軸的轉動慣量。利用平行軸定理：JC,=JC+ml2T=JC’ω

2/2=(JC+ml2)ω

2/2=JCω2/2+m（lω）2/2=JCω2/2+mvc

2/2平面運動剛體的動能等于剛體跟隨質心平移的動能與剛體繞過質心且垂直于平面圖形的軸轉動的動能之和。CC’mi

vc

vilω

ri12-2-2質點系的動能定理對于質點系的任意質點都適用質點動能定理dTi=δWi

Ti2-Ti1=Wi對質點系所有質點求和，得到質點系的動能定理的微分形式dT=∑δW在質點系無限小的位移中，質點系動能的微分等于在質點系上所有力所作元功之和。積分得到質點系的動能定理的積分形式T2-T1=∑W在任意有限位移過程中，質點系動能的改變量等于作用在質點系上所有的力在相應位移上有限功之和。將質點系上的力分為內力和外力，可以有∑W=∑W內+∑W外也將質點系上的力分為主動力和約束力，可以有∑W=∑WA+∑WN當∑W內=0時，T2-T1=∑W外在理想約束下，∑WN=0，T2-T1=∑WA應用：求解運動距離與速度的關系，或求解加速度與外力的關系；只能求解一個未知量，需要應用運動學知識求得各運動量之間的關系。作題步驟：1.選研究對象；2.計算系統(tǒng)動能；3.計算功；4.應用動能定理求解；[例題12-1]鉸車滑輪B上作用力偶矩為M的轉矩?；喼谾W1，半徑為R，繩索不可伸長，重物A重FW2，斜面傾角為α，摩擦因數(shù)為f。設重物由靜止開設運動，求重物上升速度與距離之間的關系。解：選滑輪、重物、繩索系統(tǒng)為研究對象；1.計算系統(tǒng)動能：設重物由靜止運動S距離時，重物速度為v,則有：T1=0T2重=m2

v2/2=(FW2

/g)

v2/2T2滑=Jω2/2滑輪為均質圓盤，J=m1

R2/2=(FW1

/g)

R2/2滑輪角速度為ω=

v/R代入整理得到T2滑=(FW1

/2g)

v2/2系統(tǒng)動能為T2=

T2重+T2滑=(FW2

/g)

v2/2+(FW1

/2g)

v2/2=[FW2

+(FW1

/2)]v2/2gABMvαs2.計算功：系統(tǒng)受力如圖，各力作功為：重物A重力作功:W重=-FW2h=-FW2ssinα重物A摩擦力作功:WF=-FsF=fFN重物在垂直斜面方向無運動，aN=0，F(xiàn)N-FW2cosα=maN=0解得FN=FW2cosα，代入得到：WF=-fFW2cosαs力偶作功：重物由靜止運動S距離時,滑輪轉過角度Φ，則WM=MΦ，由運動學關系：轉角Φ=s/R，代入得到WM=Ms/R系統(tǒng)受力作功為：∑W=WM+W重+WF=Ms/R-FW2ssinα-fFW2cosαs=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)sFNFFW2ABMvαs3.應用質點系動能定理求解由T2-T1=∑W有[FW2

+(FW1

/2)]v2/2g-0=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)s解得：v=√(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)2gs/[FW2+(FW1

/2)]討論：對時間t求導，可以得到[FW2

+(FW1

/2)]vdv/dt

g=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)ds/dt考慮到ds/dt=v，dv/dt=a，得到a

=(M/R-FW2sinα-fFW2cosα)g/FW2

+(FW1

/2)

[12-2]均質桿AB可繞O軸在圖平面內轉動。桿的左端自由放置在線性彈簧上，在A端向下加壓使桿處于水平位置，彈簧壓縮λ，釋放后，桿彈起脫離彈簧繞O轉動。已知桿長l,質量m,彈簧剛度系數(shù)為k,求桿彈起后第一次轉到鉛垂位置時的角速度ω。解：選桿為研究對象。1.計算動能：桿在外力釋放前處于水平靜止位置，速度為零，動能T1=0,設桿轉到鉛垂位置時角速度為ω，動能T2=JOω2/2,JO=ml2/3代入得到T2=ml2ω2/6AOklmg2.計算功：釋放后，作用于桿上的主動力有重力和彈性力，軸承為理想約束，受力作功為重物A重力作功:W重=-mgl/2W彈=k（λ12-λ22）/2λ1為桿處于水平位置，彈簧壓縮量λ1=λ,λ2為彈簧恢復原長，并脫離桿時的變形，λ2=0

代入得到：W彈=kλ2/2∑W=W彈+W重=kλ2/2-mgl/23.由動能定理T2-T1=∑W有ml2ω2/6-0=kλ2/2-mgl/2解得ω=√3（kλ2/m-gl）/

l分析要使ω≥0，應有kλ2/m-gl≥0，kλ2/m≥glOlmg[例題12-3]均質圓柱O重為FP，半徑為R，從靜止開設沿斜面作純滾動。已知斜面傾角為α，求圓柱O質心的速度與在斜面上下滾距離s的關系。解：選圓柱體為研究對象，作平面運動；1.計算動能：設由靜止下滾距離s時，質心速度為v,則圓柱動能為T1=0T2=JCω2/2+mvC2/2均質圓柱JC=mR2/2=FPR2/2g純滾動時，接觸點為瞬心，

ω=vC/R，代入得到T2=3FPvC2/4g2.計算功：純滾動時，摩擦力和支持力不作功，只有重力作功WP=FPh=FPssinαOvαsRFP3.由動能定理T2-T1=∑W有3FPv2/4g-0=FPssinα即3FPv2/4g=FPssinα解得v=√4gSsinα/3兩邊對時間求導可以得到圓柱質心的加速度a和圓柱轉動的角加速度α3FPvdv/dt/2g=FPsinαds/dta=2gsinα/3α=a/R=2gsinα/3R§12-3機械能守恒12-3-1勢力場和勢能力場：如果質點在某空間任意位置都受到大小和方向均確定的力的作用，這種空間稱為力場。地球表面的空間稱為重力場。勢力場：質點在這一力場中運動時，力場對質點作用力所作的功，只與起始位置有關，與路徑無關，這種力場稱為勢力場。勢力：質點在勢力場中所受的力。重力、彈性力和萬有引力都是勢力。勢能：度量勢力場對質點作功能力的物理量。勢能值與質點在勢力場中的位置有關，一般選擇一個參考位置并設參考位置勢能為零，這一參考位置稱為勢能零值點。重力場勢能零值點一般選海平面。質點從某位置至勢能零值點有勢力作的功，稱為質點在該位置的勢能。重力勢能：設地平面為勢能零值點，建立oxy坐標，對于質點，重力FP的勢能為V=FPz對于質點系或剛體V=FPzc其中zc為質心的坐標。彈性勢能：通常以彈簧未變形時的彈簧端點位置為零勢能位置，彈簧變形為λ時的彈性勢能為V=kλ2/2勢能零點的選擇是人為的，勢能是相對的，但物體在勢力場中兩點的勢能差與勢能零點選擇無關，是絕對的。物體在勢力場中從某一位置運動到另一位置，勢力所作的功在數(shù)值上等于物體在這兩個位置的勢能差。xoyzzFP12-3-2機械能守恒定理如果質點系為無約束的自由質點系，而且所受的都是勢力；或者質點系為理想約束的非自由質點系，而且其上的主動力都是勢力，則作用在這兩種質點系上的力所作之功就等于質點系勢能的改變，即在勢力場中∑W=V1-V2應用動能定理T2-T1=∑W得到T2-T1=V1-V2表明質點系在勢力場中任意有限的運動過程中，動能的增加等于勢能的減少?；蚋膶憺門2+V2=T1+V1T+V=E=常數(shù)T+V稱為系統(tǒng)的機械能。表明：質點系在勢力場中運動時，其機械能保持不變。稱為機械能守恒定理。具有使質點系機械能保持不變特性的力場，稱為保守力場。保守力場的力稱為保守力。[例題12-5]均質圓柱O重為FP，半徑為R，沿與水平面夾角為α斜面作無滑動滾動。在圓柱中心連接一剛度系數(shù)為k的彈簧。設開始時圓柱靜止，彈簧無變形。求圓柱O質心沿斜面經過位移l時的速度。解：選圓柱體為研究對象，所受重力和彈性力都是勢力，約束力為理想約束，圓柱機械能守恒。1.計算動能：設由靜止下滾距離l時，質心速度為v,圓柱作平面運動,則動能為T1=0T2=Joω2/2+mv2/2OvαlRFP均質圓柱Jo=mR2/2=FPR2/2g純滾動時，接觸點為瞬心，

ω=v/R，代入得到T2=FPv2/4g+FPv2/2g=3FPv2/4g2.計算勢能：設起始圓柱的位置為彈性勢能和重力勢能的零值位置，V1=V1重+V1彈=0V2=V2重+V2彈=-FPlsinα+kl2/23.應用機械能守恒定理T2+V2=T1+V13FPv2/4g-FPlsinα+kl2/2=0解得v=√2lg

(2FPsinα-kl)/3FP§12-5結論與討論1.計算動能，必須取絕對速度。2.只有正確分析質點、質點系或剛體的運動形式，才能正確計算系統(tǒng)動能。3.在動能定理中常見力的功一般為重力、彈力、力矩等作的功。理想約束不作功或作功之和為零。4.應用動能定理只能列一個方程，一般要利用運動學關系解題。5.平行軸定理：Jz,=Jz+ml2Jz為過形心的軸的轉動慣量，

Jz,為與過形心的軸平行的軸的轉動慣量，任意兩個軸之間的轉動慣量不滿足平行軸定理。作業(yè)p26612-4(a)（b）(c)12-18第13章動靜法及其工程應用動靜法：在質點或質點系上加上慣性力，應用靜力學列平衡方程的形式解決動力學問題的方法，稱為動靜法。動靜法是求解非自由質點和質點系動力學問題的方法?！?3-1慣性力的概念根據(jù)牛頓定律，物體受外力作用，運動狀態(tài)發(fā)生改變。由于物體具有慣性，維持其慣性運動，同時給予施力物體以反作用力。如質量為m的小球在光滑水平面作勻速圓周運動，速度大小為v，半徑為r，向心加速度為an=v2/r，對小球，受到繩子拉力，由牛頓第二定律有：F=man=mv2/r同時，小球給繩子以反作用力FG，這個力便稱為小球的慣性力，又稱為離心力或離心慣性力。vmF當質點受力而使其運動狀態(tài)發(fā)生改變時，由于質點的慣性，質點將給施力物體一反作用力，此即為質點的慣性力。質點的慣性力大小等于質點質量與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反。即FG=-ma質點的慣性力是質點對改變其運動狀態(tài)的一種反抗。質點的慣性力不作用于質點，而是作用于使質點改變運動狀態(tài)的施力物體上?！?3-2達朗伯原理13-2-1質點的達朗伯原理設有一非自由質點，質量為m，作用于其上的有主動力F和約束力FN，合力為FR，加速度為a，。根據(jù)牛頓第二定律，有F+FN=ma改寫成F+FN+（-ma）=0引入慣性力FG=-ma得到F+FN+FG=0質點的達朗伯原理——非自由質點運動的每一瞬時，作用于質點上的主動力、約束力以及質點的慣性力組成形式上的平衡力系。13-2-2質點系的達朗伯原理設有一非自由質點系，由n個質點M1，M2，…Mn組成，其質量分別為m1，m2，…mn，作用于質點Mi上的主動力為Fi，約束力為FNi，加速度為ai。對質點系的每一個質點，應用質點的達朗伯原理，有Fi+FNi+FGi=0FGi=-mai質點系的達朗伯原理——非自由質點系運動的每一瞬時，作用于質點系內每個質點上的主動力、約束力以及該質點上的慣性力組成形式上的平衡力系。質點系內的一部分質點或整個質點系，其上所有的主動力、約束力和慣性力也組成形式上的平衡力系。§13-3動靜法非自由質點或質點系的每個質點上，假想地加上各自的慣性力，根據(jù)達朗伯原理，作用于質點系內的主動力、約束力以及慣性力組成平衡力系?？砂凑侦o力學方法求解非自由質點或質點系的動力學問題。這種方法稱為動靜法。解題步驟：1.確定研究對象（單個物體或系統(tǒng)）；2.受力分析：分析實際作用力（不畫內力）；3.根據(jù)運動狀態(tài)，加上慣性力；4.列靜力學平衡方程；平面一般力系∑Fx=0，∑Fy=0，∑M=05.求解。[例題13-1]列車沿水平直線軌道行駛。車廂內掛一單擺。車廂勻加速向前運動時，單擺向后擺，擺線與鉛垂線夾角為α，并相對于車廂穩(wěn)定在此位置。試求車廂的加速度a。解：選擺錘為研究對象，設質量為m，受力分析如圖;由于擺錘與車廂有相同的加速度a，擺錘的慣性力大小為FG=ma，方向與a相反，水平向后。擺錘在形式上由三力作用處于平衡。由達朗伯原理，列平衡方程：∑Fx=0FPsinα-FGcosα=0FP=mg，F(xiàn)G=ma代入得到：a=gtanαMαaααFPFTFGax§13-4剛體慣性力系的簡化及動靜法的應用應用靜力分析中力系的簡化方法，將剛體的慣性力系進行簡化，得到等效的主矢和主矩，簡化計算。13-4-1剛體平移時慣性力系的簡化設質量為m、質心為C的剛體相對慣性參考系作平移。平移剛體上各點加速度相等，每一個質點的慣性力為FGi=-miai=-miac平移剛體上各個質點的慣性力組成一個平行力系，可以簡化為通過質心的合力FGFG=∑FGi=∑-miai=∑-miacFG=-mac剛體平移時慣性力系的簡化結果為一個通過質心的合力，合力的大小等于剛體質量與質心加速度的乘積，方向與加速度方向相反。aM1FG1M2FGiFG2MiaFGC13-4-2定軸轉動剛體慣性力系的簡化設剛體有質量對稱面，且轉軸垂直于對稱面。這種情況下，各質點慣性力對質量對稱平面是對稱的，可以簡化為對稱平面內的平面一般力系。設剛體的質量為m，角速度為ω，角加速度為α。考察質量為mi，距轉軸O點為ri的對稱平面內的質點，其切向和法向加速度分別為：aiτ=riαain=riω2其慣性力為FGiτ=-mi

aiτFGin=-mi

ainFGi=FGiτ+FGin將每個質點的慣性力向轉軸O點簡化，可以得到一個力（主矢），和一個力偶（主矩）。主矢為FG=∑FGi=∑-miai對于剛體有∑mivi=m

vc兩邊對t求導，得到∑miai=m

ac代入得到：FG=-m

acOainaiτriαωmiaiFGiFGinFGiτOaCnaCταωmaCFGCMGO主矩為MGO=∑MO(FGi)=∑MO(FGiτ)=∑-miaiτri=∑-miriαri=

∑-miri2α=-α∑miri2其中∑miri2=Jz為剛體繞定軸z轉動的轉動慣量。即：MGO=-Jzα負號表示慣性力偶矩與α轉向相反。簡化結果為：如果剛體有質量對稱面，且轉軸垂直于這一平面，定軸轉動剛體慣性力系可以簡化為一個在對稱平面內通過轉軸與平面交點的力和力偶。FG=-m

ac（作用線過O點，與ac反向）MGO=-Jzα（與α反向）OaCnaCταωmaCFGCMGOOainaiτriαωmiaiFGiFGinFGiτ幾種特殊情形的簡化結果1.若轉軸通過質心C，且α≠0，圖(a)：由于ac=0，F(xiàn)G=-m

ac=0，簡化結果為一個力偶MGC=-JCα

JC為剛體對質心的轉動慣量。2.若剛體勻速轉動，即α=0，但轉軸不過質心,圖（b）：MGC=-JCα=0FG=-m

ac=-m

acn=-m

rcω2FG的作用線通過質心與轉軸的連線，與法向加速度方向相反。rc為質心到轉軸O的距離，稱為偏心距。3.若剛體勻速轉動，且轉軸通過質心，圖（c），則ac=0，F(xiàn)G=-m

ac=0，α=0，MGC=-JCα=0，慣性力主矢和主矩都為零，慣性力系為平衡力系。OαωMGO（a）FGaCnCOωMGO（b）rCOω（c）13-4-3作平面運動剛體慣性力系的簡化有質量對稱面且在對稱平面內在平面運動的剛體，可以將剛體的慣性力系簡化成質量對稱平面內的平面一般力系。將這一力系向質心C簡化，可以得到一個力和一個力偶。力：FG=-∑miai或FG=-m

aC力偶的力偶矩：MGC=∑MC(FGi)FGi=-miai由平面運動加速度合成定理，以質心c為基點，則ai=（ac+aicτ+aicn）代入得到FGi=-mi（ac+aicτ+aicn）

CaCαωMGCFGMGC=∑MC(FGi)=∑MC（-miaC）+∑MC（-miaiτ）+∑MC（-miain）∑-miaC是過質心的合力，所以∑MC（-miaC）=0

（-miain）的作用線也過質心，所以∑MC（-miain）=0即MGC=∑MC(FGi)=∑MC（-miaicτ）=∑-miaicτri=∑-miri2α=-α∑miri2其中∑miri2=-Jc為剛體繞質心C轉動的轉動慣量。即：MGc=-JCα有質量對稱面，并平行于此質量平行面作平面運動的剛體，其慣性力系可以簡化為一個作用線過剛體質心C的力（主矢）和一個力偶（主矩）。FG=-m

aCMGO=-JCαCaCαωMGCFGOaiCnaiCτriαωmiFGinFGiτacFGC[例題13-3]剛體DE具有與鉛垂面平行的質量對稱面，質量為m。質心C與D，E的距離為a和b，已知AD=BE=l，AD平行于BE。桿和繩子質量不計。求繩子剛一剪斷時，兩桿的角加速度和約束力。解：1.選剛體DE為研究對象，受力分析如圖；2.DE作平移，DE上各點速度、加速度相等，aC=aD=aE兩桿作定軸轉動，剪斷繩子瞬間ω=0，α≠0，設α順時針轉向，則aC=aD=aDτ=lα方向垂直AD向下，DE所受慣性力FG=mac=mlα,方向與ac相反；ABllDEαabCFmgDEabCFDFEFGxyaDac3.應用動靜法列方程：建立坐標系如圖:∑Fy=0FG-mgcosα=0（1）將FG=maC代入得到：aC=gcocαα=aDτ/l=aC/l

=gcocα/l∑MD=0FEcosα（a+b）-FGsinαa=0（2）∑ME=0-FDcosα（a+b）+FGsinαb=0（3）解方程可以求得將FG=mac=mgcocα代入得到FD=mgsinαa/a+bFE=mgsinαb/a+bmgDEabCFDFEFGxyaDac[例題13-4]質量為m，半徑為r的均質圓柱體沿傾角為θ的斜面作純滾動，求(1)圓柱滾時質心的角速度ac和圓柱所受摩擦力F；(2)要使柱體只滾不滑，求摩擦因數(shù)f的最小值.解：1.選圓柱體為研究對象，受力如圖；2.圓柱體作平面運動，慣性力系簡化為過質心的力FG和力偶MGC，F(xiàn)G=-macMGC=-JC

α由運動學關系知：ac=rαJC=mr2/2MGC=αmr2/2=macr/23.由動靜法列方程：∑Mo(F)=0mgsinθr-FGr-MGC=0（1）∑Fx=0F+FG-mgsinθ=0（2）∑Fy=0FN-mgcosθ=0（3）FGmgFFNMGCyxcacθrαo由（1）整理得到：mgsinθr-macr-macr/2=(mgsinθ–3mac/2)r=0解得：ac=2gsinθ/3代入（2）得到：F=mgsinθ–FG=mgsinθ-2mgsinθ/3

=mgsinθ/3FN=mgcosθ要使柱體只滾不滑，必須使F≤Fmax=fFN即mgsinθ/3≤fmgcosθ解得f≥tanθ/3§13-5剛體定軸轉動時的動約束力定軸轉動剛體若質心不在轉軸上，或轉軸與質量對稱面不垂直時，都會引起很大的動約束力。[例題13-6]質量不計的剛性軸O1O2上固連一均質桿AB，桿長為l，質量為m，當桿以勻角速度ω轉動時，求圖示情況下軸承O1和O2的約束力。ABO1O2CDl/2l/2l/2l/2exωy解：1.選軸和桿系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖；2.桿AB作勻速圓周運動且轉軸垂直于質量對稱面，慣性力系簡化為過轉軸的法向慣性力。FGn=-meω23.由動靜法列方程∑Mo1(F)=0Fo2xl–mge-FGnl/2=0（1）∑Fx=0FO1x-FO2x+FGn

=0（2）∑Fy=0FO1y-mg=0（3）解方程得到Fo2x=mge/l+meω2/2Fo1x=mge/l-meω2/2Fo1y=mgABO2CDl/2l/2l/2l/2eωyxmgFO1xFO1yFO2xFGnac分析：剛體定軸轉動時，約束力一般由兩部分組成：一部分由主動力如重力引起，稱為靜約束力，與運動無關，靜止時已存在(mge/l)；另一部分由慣性力引起，稱為附加動約束力或動反力。附加動反力（meω2/2）與偏心距e和ω2成正比，轉速很高時將達到很大值，是構件破壞或振動的重要原因。工程中，對于高速轉動的部件，首先進行靜平衡，減少偏心距，最終將質心調到轉軸上；然后進行動平衡，最終消除附加反力。作業(yè)P28713-713-8§13-6結論和討論13-6-1正確理解動靜法的有關概念當物體受到力的作用其運動狀態(tài)發(fā)生變化時，由于物體的慣性對外界產生反作用力抵抗運動的變化。這種抵抗力稱為慣性力。達朗伯原理——質點或質點系運動的每一瞬時，作用于質點或質點系內每個質點上的主動力、約束力和慣性力組成一個平衡力系。13-6-2關于剛體慣性力系的簡化1.平移剛體FG=-mac剛體平移時慣性力系的簡化結果為一個通過質心的合力，合力的大小等于剛體質量與質心加速度的乘積，方向與加速度方向相反。2.定軸轉動剛體如果剛體有質量對稱面，且轉軸垂直于這一平面，定軸轉動剛體慣性力系可以簡化為一個在對稱平面內通過轉軸與平面交點的力和力偶。FG=-m

ac（作用線過O點，與ac反向）MGO=-Jzα（與α反向，Jz為剛體對轉軸的轉動慣量

）也可以向質心簡化FG=-m

ac（作用線過質心，與ac反向）MGO=-Jcα（Jc為剛體對質心的轉動慣量

）3.平面運動的剛體有質量對稱面，并平行于此質量平行面作平面運動的剛體，其慣性力系可以簡化為一個作用線過剛體質心C的力（主矢）和一個力偶（主