初中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)之相似性及應(yīng)用8

初中數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)之相似性及應(yīng)用8解答題25.如圖是的直徑，垂直于弦于點(diǎn)，且交于點(diǎn).是為延長線上一點(diǎn)，若.求證：（1）是的一條切線；（2）若，,求的長.ABABCDEFO【答案】解：(1)證明：∵(已知)（同弧所對的圓周角相等）∴∴∵垂直于弦∴∴是的一條切線.（2）∵是的直徑，∴∠ACB＝90°，半徑在Rt△ABC中，，由勾股定理得∵⊥∴(垂徑定理)∵∴(三角形的中位線定理)∵∴∴∴26.【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,△ABC是等邊三角形，∠AEF＝60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時，有AE＝EF成立；ABABCEF圖1【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE，EF的關(guān)系時，運(yùn)用“從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過驗證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B、C除外）任意一點(diǎn)時（其它條件不變），結(jié)論AE＝EF仍然成立.假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”，“點(diǎn)E是線段BC延長線上的任意一點(diǎn)”，“點(diǎn)E是線段BC反向延長線上的任意一點(diǎn)”，三種情況中。任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE＝EF.ABABC備用圖圖1ABC備用圖圖2【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，若CE＝BC，在備用圖2中畫出圖形.并運(yùn)用上述結(jié)論求出的值.【答案】解：【探究發(fā)現(xiàn)】ABABCEF圖1DG過點(diǎn)E作ED//AC交AB于點(diǎn)D，則△BDE是等邊三角形∵∠AEC是△ABE是外角∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等邊△ABC外角∠ACG∴∠ACF＝∠FCG＝60°∵∠ADE＋∠BDE＝180°∠ECF＋∠FCG＝180°∠FCG＝∠BDE＝60°∴∠ADE＝∠ECF＝120°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE與△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF【數(shù)學(xué)思考】ABABCEF圖1—①DABCEF圖1—②DGG①“點(diǎn)E是線段BC延長線上的任意一點(diǎn)”，如圖（圖1—①）過點(diǎn)E作ED//AC交BA延長線于點(diǎn)D，則△BDE是等邊三角形∵∠AEC是△ABE是外角∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAD∵∠AEC＝∠AEF＋∠FEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等邊△ABC外角∠ACG∴∠ACF＝∠FCG＝60°∵∠ADE＋∠BDE＝180°∠ECF＋∠FCG＝180°∠FCG＝∠BDE＝60°∴∠ADE＝∠ECF＝120°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE與△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF②若“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”，如圖（圖1—②）過點(diǎn)E作ED//AC交AB于點(diǎn)D，則△BDE是等邊三角形∵∠EAD是△ABE是外角∴∠EAD＝∠ABC＋∠AEC∵∠FEC＝∠AEF＋∠AEC∠ABC＝∠AEF＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF平分等邊△ABC外角∠ACG∴∠FCE＝60°∵△BDE是等邊三角形∴∠EDA＝60°∴∠EDA＝∠FCE＝60°∵BD＝BEBA＝BC∴BD－BA＝BE－BC即：AD＝EC在△ADE與△ECF中GABGABCEF圖1—③DH∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF③“點(diǎn)E是線段BC反向延長線上的任意一點(diǎn)”如圖（圖1—③）過點(diǎn)E作ED//AC交AB延長線于點(diǎn)D，則△BDE是等邊三角形∵∠ABC是△ABE是外角∴∠ABC＝∠AEB＋∠EAD＝60°∵∠AEF＝∠AEB＋∠FEC＝60°∴∠EAD＝∠FEC∵CF所在直線平分等邊△ABC外角∠ACG∴∠ECF＝∠GCH＝60°∵△BDE是等邊三角形∴∠ADE＝60°∴∠EDA＝∠FCE＝60°∵BA＝BCBD＝BE∴BA－BD＝BC－BE即：AD＝EC在△ADE與△ECF中∵∴△ADE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF【拓展應(yīng)用】ABABCEF圖2當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，若CE＝BC，如圖2.由上述結(jié)論可知：AE＝EF，∠AEF＝60°∴△AEF是等邊三角形∵△ABC是等邊三角形∴△ABC∽△AEF∵△BDE是等邊三角形∴AB＝BC＝CA∵CE＝BC∴AB＝BC＝CA＝CE∴∠CAE＝∠CEA∴∠CAE＋∠CEA＝∠ACB＝60°∴∠CAE＝∠CEA＝30°∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝60°＋30°＝90°∴∴27.如圖，AB是⊙O的直徑，延長AB至P，使BP＝OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B點(diǎn)D在PC上，設(shè)∠PCB＝，∠POC＝．求證：【答案】證明：連接AC則∠A＝∠POC＝∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴∵BD⊥BC∴，BD∥AC∴∠PBD＝∠A∵∠P＝∠P∴△PBD∽△PAC∴∵PB＝OB＝OA∴∴28.在正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動時，連接AE和DF，交于點(diǎn)P請你寫出AE與DF的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）的結(jié)論還成立嗎？（請直接回答“是”或“否”，不須證明）（3）如圖③，當(dāng)E、F分別在CD、BC的延長線上移動時，連接AE和DF，（1）的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（4）如圖④，當(dāng)E、F分別在DC、CB上移動時，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)EF的移動，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動，請你畫出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑的草圖，若AD＝2，試求出線段CP的最小值．【答案】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF理由：∵四邊形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°∵DE＝CF∴△ADE∽△DCF∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF由于∠CDF＋∠ADF＝90°∴∠DAE＋∠ADF＝90°∴AE⊥DF(2)是．（3）成立．理由：由（1）同理可證，AE＝DF，∠DAE＝∠CDF．延長FD交AE于點(diǎn)G，則∠CDF＋∠ADG＝90°∴∠ADG＋∠DAE＝90°∴AE⊥DF(4)草圖如圖．由于點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD＝90°，∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中心為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，此時CP的長度最小，在Rt△ODC中，OC＝∴CP＝OC－OP＝－1．29．等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AF，BE相交于點(diǎn)P.（1）若AE=CF.①求證：AF=BE,并求∠APB的度數(shù).②若AE=2，試求AP·AF的值.（2）若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.【答案】（1）①證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AE=CF，∴△BAE≌△AFC(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF,∵∠APB=∠CAF＋∠AEB,∴∠APB=∠ABE＋∠AEB=180°－60°=120°.②∵∠AEB=∠AEP,∠ABE=∠CAF,∴△BAE∽△APE,∴=,∵AB=6，AE=2，∴=,∴AP·AF=6×2=12.此題分四種情況，第一種：點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為；第二種：點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為＋；第三種：點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為3；第四種：點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為2＋.30.課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？小穎解得此題的答案為48mm．小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）如果原題中所要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別是多少mm?請你計算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．【答案】解：（1）∵四邊形PNMQ是矩形，∴PN∥QM．∴△APN∽△ABC．∴．設(shè)PQ＝ED＝x，則PN＝2x，AE＝．∴．解得，．這個矩形零件的兩條邊長分別是mm和mm．（2）∵四邊形PNMQ是矩形，∴PN∥QM．∴△APN∽△ABC．∴．設(shè)PQ＝ED＝x，則AE＝．∴，即．∴＝＝＝＝（mm2）．∴當(dāng)x＝40時，有最大值240．此時＝60（mm）．∴這個矩形面積達(dá)到最大值時矩形零件的兩條邊長分別為40mm，60mm．31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連接OB，動點(diǎn)P滿足∠APQ＝90°，PQ交x軸于點(diǎn)C．（1）當(dāng)動點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），求PA的長．（2）當(dāng)動點(diǎn)P在線段OB的延長線上時，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求∶的值．（3）當(dāng)動點(diǎn)P在直線OB上時，點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若，PD＝2OD，求∶的值．【答案】解：（1）如圖，PA＝2．（2）如圖，過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，N，∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，∴∠BOA＝45°．∴四邊形OMPN是正方形，PM＝PN．又∵∠APQ＝90°，∴∠APN＝∠CPM．∴Rt△APN≌Rt△CPM．∴．(3)①如圖，點(diǎn)P在線段OB的延長線上．過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，N，PM與直線AC的交點(diǎn)為F．∵∠CMP＝∠ANP＝90°，∠APN＝∠CPM，∴Rt△APN∽Rt△CPM．∴．∵∠AEC＝∠ACE，AP⊥CP，∴P為CE的中點(diǎn)．∵PM//y軸，∴F，M分別為CA，OC的中點(diǎn)．設(shè)OA＝x，∵PD＝2OD，∴PF＝2x，F(xiàn)M＝0．5OA＝0．5x，PM＝2．5x，CA＝2PF＝4x．Rt△CAO中，OC＝x，∴PN＝OM＝0．5OC＝，由，得PA∶PC＝∶＝．②點(diǎn)P在線段OB上，不符合題意．③如圖，點(diǎn)P在線段OB的反向延長線上，過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足為點(diǎn)M，N，PM與直線AC的交點(diǎn)為F．同理可得，PM＝1．5xCA＝2PF＝4x．在Rt△CAO中，OC＝x，∴PN＝OM＝0．5OC＝，∴PA∶PC＝∶＝．∴PA∶PC的值為或．（分類討論，相似，三線合一，三角形中位線，全等三角形，特殊四邊形，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，…）32.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作一條直線分別交DA，BC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，DF．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO＝，求EM∶MF的值．EAEADFCBMO第25題圖【答案】(1)證明：∵點(diǎn)O是菱形ABCD的對角線的交點(diǎn)，∴OB＝OD，OA＝OC，AD∥BC．∴∠AEO＝∠CFO．又∵∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF．∴OE＝OF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠MBO．∵tan∠MBO＝，∴＝＝．∴＝·＝×＝．∵AE∥BF，∴△MAE∽△MBF．∴EM∶MF＝AM∶MB＝1∶4．33.如圖，在屏幕直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（－3，0），（0，6）．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，以，為鄰邊構(gòu)造□，在線段延長線上取點(diǎn)，使．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動時間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到線段的中點(diǎn)時，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，求證：四邊形為平行四邊形；（3）在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，截取，，且點(diǎn)，分別在一、四象限．在運(yùn)動過程中，設(shè)□的面積為．①當(dāng)點(diǎn)，中有一點(diǎn)落在四邊形的邊上時，求出所有滿足條件的的值；②若點(diǎn)，中恰好只有一個點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部（不包括邊界）時，直接寫出的取值范圍．【答案】解：由題意得：，，，，（1）∵（0，6），∴，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到線段的中點(diǎn)時，，∴．此時，，∴（0，）．（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴即，又∵，∴≌，∴，，∴∥，∴四邊形是平行四邊形．（3）由題意可得（0，），（，0），（，），（，0），（，0），（，2），（，0－1）．①情況一：當(dāng)在軸上方時（a）在上時，∵軸，軸，∴∽，∴，即有，解得；（b）在上時，∵軸，軸，∴∽，∴，即有，解得；情況二：當(dāng)在軸上方時（a）在上時，∵軸，軸，∴∽，∴，即有，解得；（b）在上時，∵軸，軸，∴∽，∴，即有，解得；綜上，當(dāng)、、、時，點(diǎn)，中有一點(diǎn)落在四邊形的邊上．②情況一：如下第一幅圖，當(dāng)時，恰好過，當(dāng)時，在四邊形外部，而在四邊形內(nèi)部，直到時，點(diǎn)恰好在上，故；此時，；如下第二幅圖，當(dāng)時，恰好過，當(dāng)時，在四邊形內(nèi)部，而在四邊形外部，直到時，點(diǎn)恰好在上，故；此時，．綜上，當(dāng)點(diǎn)，中恰好只有一個點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部（不包括邊界）時，或．34.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的圓O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作圓O的切線，交BC于E（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)（2）求證：（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形【答案】證明：（1）連接CD，AC為直徑，則∠ADC=90°ED切圓O于D，EC切圓O于C，∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD∠ECD+∠B=∠EDC+∠BDE=90°∴∠B=∠BDE則BE=ED∴BE=ED=EC即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)（2）在△BDC與△BCA中∠B=∠B∠BCA=∠BDC=90°∴△BDC∽△BCA即（3）以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，此時∠DEB=90°，ED=BE已證∴∠B=45°∴△ABC是等腰直角三角形35.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC—CD—DA以1cm/s的速度運(yùn)動到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s)，△PAB的面積為S(cm2)．(1)當(dāng)t=2時，求S的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動時，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)S=12時，求t的值．【答案】解：(1)當(dāng)t=2時，S=×8×2=8；(2)過D作DH⊥AB于H．∵AB=8cm，BC=4cm，CD=5cm，∴DH=4，AH=3，∴AD=5．當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動時，過P作PK⊥AB于K．∵△APK∽△ADH，∴，∴，∴PK=，∴S=×8×=(9≤t≤14)；(3)當(dāng)S=12時，①當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動時，×8t=12，∴t=3；②當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動時，=12，∴t=．36.【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．求證PD＋PE＝CF．ABABPCDFEABPCDFEGABCEPFD圖①圖②圖③第27題圖小軍的證明思路是：如圖②，連接AP，由△ABP小軍的證明思路是：如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF．小俊的證明思路是：如圖②，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD＝GF，PE＝CG，則PD＋PE＝CF．【變式探究】如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD－PE＝CF；請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：【結(jié)論運(yùn)用】如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分別為G，H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；【遷移拓展】圖⑤是一個航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M，N分別為AE，BE的中點(diǎn)，連接DM，CN，求△DEM與△CEN的周長之和．ABABFCDEPGHC′AMENBCD圖④圖⑤第27題圖【答案】【變式探究】證明：連接PA．∵S△ABC＝S△APB－S△APC，∴AB·CF＝AB·PD－AC·PE．即AB·CF＝AB·PD－AC·PE．∵AB＝AC，∴PD－PE＝CF．【結(jié)論運(yùn)用】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE．由折疊可知∠DEF＝∠BEF，∴∠BFE＝∠BEF．∴BE＝BF．由【問題情境】中的結(jié)論(等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高)可知：PG＋PH＝BF上的高＝DC．∵DE＝BE＝BF，且DE∥BF，∴四邊形BFDE是菱形．∴DF＝BF＝BC－BF＝8－3＝5．在Rt△DCF中，DC＝＝＝4．∴PG＋PH＝4．【遷移拓展】解：如圖1，延長AD，BC相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為H．∵AB2－AH2＝BH2，BD2－DH2＝BH2，∴AB2－AH2＝BD2－DH2．即(2)2－(3＋DH)2＝()2－DH2．由此解得DH＝1．∴BH＝＝＝6．∵AD·CE＝DE·BC，即＝，又∵∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△ADE∽△BCE．∴∠A＝∠ABC．∴AF＝BF．圖1圖1AMENBCDFH由【問題情境】中的結(jié)論可知ED＋EC＝BH＝6．∵點(diǎn)M，N分別Rt△ADE和Rt△BCE斜邊上的中點(diǎn)，∴MD＝ME＝AE，NC＝NE＝EB．∴△DEM的周長＋△CEB的周長＝(MD＋ME＋ED)＋(NE＋NC＋EC)＝AE＋EB＋(ED＋EC)＝AB＋(ED＋EC)＝2＋6．37.如圖①在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”。解決問題：⑴如圖①∠A＝∠B＝∠DEC＝，試判斷點(diǎn)E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；⑵如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)；⑶如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系。圖①圖②圖③【答案】解：⑴E點(diǎn)是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。理由如下：∵∠DEC＝，∴∠DEA＋∠CEB＝；∵∠A＝，∴∠ADE＋∠AED＝，∴∠ADE=∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴E點(diǎn)是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。⑵作法：以CD為直徑作圓，它與AB交于E1，E2點(diǎn)，E1，E2點(diǎn)即為所作.⑶點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，可分兩種情況。第一種情況：△MAE∽△EBC∽△MEC，則有：。過E點(diǎn)作EN⊥MC于N點(diǎn)。由角平分線性質(zhì)定理“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”易證AE=EN=EB。則E為AB中點(diǎn)，，∠MEA＝∠ECB＝，。第二種情況：△MAE∽△EBC∽△CEM，則∠CEB＝∠ECM，CM∥EB，與題意不符，假設(shè)不成立。綜上所述，.38.課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法.定義：如果兩條線段將一個三角形分成三個等腰三角，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且A