2013版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：3.8應(yīng)用舉例(人教A版·數(shù)學(xué)理)浙江專用

第八節(jié)應(yīng)用舉例三年8考高考指數(shù):★★★能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.1.對解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題的考查是高考考查的重點.2.在選擇題、填空題、解答題中都可能考查，多屬中低檔題.1.實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）.(2)方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角相對于某一正方向的水平角(如圖③)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達(dá)目標(biāo)方向.③南偏西等其他方向角類似.(4)坡度①定義:坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．②坡比:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡比).【即時應(yīng)用】（1）思考:仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示:三者的參照不同．仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的.（2）思考:如何用方位角、方向角確定一點的位置？提示:利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測點的距離即可唯一確定一點的位置.（3）如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的______方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形應(yīng)用題的一般步驟（1）讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系.（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型.（3）選擇正弦定理或余弦定理求解.（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位、近似計算要求.【即時應(yīng)用】(1)已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°，則A、C兩地的距離為______km.(2)如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為______米.【解析】(1)如圖所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=(km).（2）設(shè)旗桿高為h米，最后一排為點A，第一排為點B，旗桿頂端為點C，則在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得故h＝30米.答案：（1）(2)30測量距離的問題【方法點睛】求距離問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.

【例1】（1）如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則這條河的寬度為______.（2）隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距

km的C、D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A、B之間的距離為______.【解題指南】（1）作出高線可直接應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系求得；（2）確定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.【規(guī)范解答】（1）如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB于D點，則CD為所求寬度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此這條河寬為60m.答案：60m（2）如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴AB＝

(km).即兩目標(biāo)A、B間的距離為km.答案：

km【互動探究】若將本例（2）中A、B兩點放到河的兩岸,一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，則A、B兩點的距離為______m.【解析】由正弦定理得答案：【反思·感悟】1.利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型.2.利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.【變式備選】某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米.問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？【解析】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得則所以在△MAC中，由正弦定理得從而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站.測量高度問題【方法點睛】處理高度問題的注意事項(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.【提醒】高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.

【例2】要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度.【解題指南】設(shè)出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【規(guī)范解答】如圖，設(shè)電視塔AB的高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即解得x＝40，∴電視塔的高度為40米.

ABCD【反思·感悟】解決高度的問題主要是根據(jù)條件確定出所利用的三角形，準(zhǔn)確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對應(yīng)；分清已知和待求的關(guān)系，正確地選擇定理和公式，特別注意高度垂直地面構(gòu)成的直角三角形.【變式訓(xùn)練】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高.【解析】如圖：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得過B作BE⊥CD于E，顯然當(dāng)人在E處時，測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

(米),∴在Rt△ABE中，所以塔高為米.測量角度的問題【方法點睛】測量角度問題的一般步驟（1）在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離;(2)用正弦定理或余弦定理解三角形;(3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中，有時直接解此三角形解不出來，需要先在其他三角形中求解相關(guān)量.

【例3】在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向、距離A處()海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時的速度追截走私船.同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？【解題指南】設(shè)出緝私船t小時后在D處追上走私船后，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時間.【規(guī)范解答】設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，則有在△ABC中，利用余弦定理可得由正弦定理，得得∠ABC=45°，即BC與正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中，由正弦定理，得得∠BCD=30°,又得所以緝私船沿東偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小時.ABCD北45°75°30°【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理來解實際問題時，要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)睾喕?另外要準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)娜切危褜嶋H問題轉(zhuǎn)化到三角形中時，正確地表示出所用的邊和角.【變式訓(xùn)練】如圖，當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援?（已知sin41°≈，角度精確到1°）【解析】連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.所以∵∠ACB<90°,∴∠ACB=41°.∴乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.【變式備選】如圖,某污水處理廠要在一個長方體污水處理池的池底(ABCD)鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長,污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點,E，F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20m,記∠BHE=θ.(1)試將污水凈化管道的長度L表示成θ的函數(shù),并寫出定義域；(2)若sinθ+cosθ=,求此時管道的長度L；(3)當(dāng)θ取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的長度.【解析】(1)在Rt△BHE中，在Rt△AFH中，在Rt△EFH中，所以管道總長(2)因為代入(1)中結(jié)論得(3)因為設(shè)又θ∈［］,t∈［］,所以此時θ=或θ=.所以當(dāng)θ=或θ=時,鋪設(shè)的管道最長,為20(+1)m.【滿分指導(dǎo)】三角形中實際應(yīng)用問題的規(guī)范解答【典例】（14分）(2012·三明模擬）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC=0.1km.（1）試探究圖中B，D間的距離與另外哪兩點間距離會相等？（2）求B，D間的距離.

【解題指南】作出圖形確定利用的三角形，（1）要充分利用仰角和俯角與三角形中的角的關(guān)系；（2）利用正弦定理正確地解答.【規(guī)范解答】（1）如圖，在△ADC中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1km……………5分又∠BCD=180°－60°－60°=60°，∴∠CED=90°，∴CB是△CAD底邊AD的中垂線，∴BD=BA.………10分（2）在△ABC中，由正弦定理得：即…………12分

…………13分答：B，D間的距離是km.……………14分【閱卷人點撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示與備考建議：

失分警示解答此題時有兩點容易造成失分:（1）由于角多不能正確地利用角之間的關(guān)系，特別是三角形的外角的應(yīng)用.（2）計算的失誤造成失分，特別是sin15°的計算.備考建議關(guān)于解決三角形的實際應(yīng)用問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：(1)對題目所給條件不能作出相關(guān)示意圖.(2)不會將實際問題轉(zhuǎn)化到三角形中利用正、余弦定理求解.另外,對于仰角、俯角、方向角、方位角要正確地理解和應(yīng)用.

1.(2012·金華模擬)海事救護(hù)船A在基地的北偏東60°,與基地相距100海里,漁船B被困海面,已知B距離基地100海里,而且在救護(hù)船A正西方,則漁船B與救護(hù)船A的距離是()（A）100海里（B）200海里（C）100海里或200海里（D）100海里【解析】選C.設(shè)基地位于O處,根據(jù)正弦定理可知∴B=60°或120°.當(dāng)B=60°時,∠BOA=90°,A=30°,BA=2OB=200（海里）,當(dāng)B=120°時,A=∠AOB=30°,∴OB=AB=100（海里）,故漁船B與救護(hù)船A的距離是100海里或200海里.2.(2012·西安模擬）如圖，貨輪在海上以35nmile/h的速度沿方位角（從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角）為152°的方向航行