第三章　§5　數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(一)正方體截面探究

第三章空間向量與立體幾何§5數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(一):正方體截面探究課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,若棱錐的體積為3π,圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,則圓錐的母線長(zhǎng)為()A.33 B.1 C.3 D.2答案D解析現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,棱錐的體積為3π,∴圓錐的體積為3π.∵圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,設(shè)半徑是R,即圓錐的母線長(zhǎng)是R,半圓的弧長(zhǎng)是πR,圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng),設(shè)圓錐的底面半徑是r,則得到2πr=πR,∴R=2r,∴圓錐的高h(yuǎn)=(2r∴圓錐的體積V=13×πr2×3r=3π解得r=3,則圓錐的母線長(zhǎng)為R=2r=23.故選D.2.已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是線段AC上一點(diǎn),且AD=3DC,球O為三棱錐P-ABC的外接球,過點(diǎn)D作球O的截面,若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π,則球O的表面積為()A.72π B.86π C.112π D.128π答案D解析如圖,設(shè)M是BC邊中點(diǎn),E是AC邊中點(diǎn),∵AB⊥AC,∴M是△ABC的外心.作OM∥PA,∵PA⊥平面ABC,∴OM⊥平面ABC,∴OM⊥AM,OM⊥MD.取OM=12PA,易得OA=OP又OA=OM=OC,∴O是三棱錐P-ABC的外接球的球心.∵E是AC中點(diǎn),∴ME∥AB,∴ME⊥AC,∵AD=3DC,∴ED=14AC=又ME=12AB=∴MD=ME2+ED2=32+22=13.設(shè)PA=2a,則OM=a,OD2=OM2+MD2=a2+13,又AM=12BC=12×62+82=5,∴OA2=OM2+AM2=a2+25.設(shè)過D且與OD垂直的截面圓半徑為r,則r=OA2-OD2=23,這是最小的截面圓半徑,最大的截面圓半徑等于球半徑OA,∴πOA2+πr2=(a2+25)3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)A,C及棱A1D1上一點(diǎn)K,且將正方體分成體積之比為13∶41的兩部分,則D1KKAA.1 B.22 C.12 D答案C解析過K作KE∥AC,交C1D1于點(diǎn)E,連接CE,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,設(shè)D1KKA1=1λ(λ>0),∵截面將正方體分成體積之比為13∶41的兩部分,∴VKED1-ACD=13a12×a解得λ=2(負(fù)值舍去),∴D1KKA4.已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD(如圖).若底面圓的弦AB所對(duì)的圓心角為π3,則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為(A.10π+33 B.10πC.10π3+3 D.2答案A解析由題可得,圓柱被分成兩部分中較小部分的底面積為S=π32π×π×22-12×2×2∴圓柱被分成兩部分中較小部分的體積為V小=2π3-3×3=2π-3則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為V大=π×22×3-(2π-33)=10π+33.故選A.5.在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E是BD上一點(diǎn),BE=3ED,過點(diǎn)E作該四面體的外接球的截面,則所得截面面積的最小值為()A.π8 B.3π16 C.π答案B解析將四面體ABCD放置于正方體中,如圖所示,可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球.∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,∴正方體的棱長(zhǎng)為22,可得外接球半徑R滿足2R=3×22=62,R=64.E是BD上一點(diǎn),BE=3ED,當(dāng)球心O到截面的距離最大時(shí)∵cos∠ODB=162=63,OD=∴OE2=642+14則所得截面半徑最小值為616∴所得截面面積的最小值為π×34故選B.等級(jí)考提升練6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則與平面A1C1B平行的平面α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.334 BC.324 D答案A解析如圖所示,分別取邊AB,AA1,A1D1,D1C1,C1C,CB的中點(diǎn)M,N,E,F,G,H,顯然平面MNEFGH∥平面A1C1B,易知當(dāng)截面為平面MNEFGH時(shí),截面面積最大,此時(shí),平面MNEFGH為正六邊形,邊長(zhǎng)為22故正六邊形面積為S=6×12故選A.7.已知球O與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,則平面ACB1截球O所得的截面圓與球心O所構(gòu)成的圓錐的體積為()A.239B.318C.2327D.354答案C解析由題意,球心O與點(diǎn)B的距離為12×23=3,B到平面ACB1的距離為13×23=233,球的半徑為1,球心到平面ACB1的距離為3-233=33,∴平面ACB1截此球所得的截面的圓的半徑為1-13=63,∴平面ACB1截此球所得的截面的面積為π×68.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,N為CC1的中點(diǎn),M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),若過點(diǎn)A,M,N的平面截該正方體所得截面為四邊形,則線段BM長(zhǎng)度的取值范圍是()A.(0,1] B.[1,2)C.0,D.3答案A解析∵當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí),截面為四邊形AMND1,又正方體的棱長(zhǎng)為2,∴當(dāng)0<BM≤1時(shí),截面為四邊形,當(dāng)BM>1時(shí),截面與正方體的上底面也相交,截面為五邊形,故線段BM的取值范圍為(0,1].故選A.新情境創(chuàng)新練9.如圖所示,在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),過A,E,F三點(diǎn)作該正方體的截面,則截面的周長(zhǎng)為()A.18+32 B.613+32C.65+92 D.10+32+410答案B解析如圖所示,延長(zhǎng)EF,A1B1相交于點(diǎn)M,連接AM交BB1于點(diǎn)H,延