2014年中考熱點解讀“解直角三角形”

2013年中考熱點解讀“解直角三角形”一、知識解讀解直角三角形是數(shù)學中考熱點之一，尤其注重考查同學們在具體生活情景下運用數(shù)學知識的能力以及運用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想的能力。其中“銳角三角函數(shù)”是三角學的基礎，是《數(shù)學課程標準》中“空間與圖形”領域的重要內(nèi)容，運用解直角三角形的知識解決實際問題是歷年來中考的熱點。近年來，聯(lián)系實際的直角三角形創(chuàng)新題層出不窮，這些題目立意新穎、貼近生活，不但強化考查了“四基”掌握情況，而且有效的考查學生的創(chuàng)新能力和探究意識，很好地體現(xiàn)了課改新理念。二、考點明晰1.了解銳角的三角函數(shù)的概念；掌握直角三角形的邊、角關系。2.熟記30°，45°，60°等特殊角的三角函數(shù)值，會計算含有特殊角的三角函數(shù)式的值，會由一個特殊角的三角函數(shù)值，求出它對應的角。3.會利用直角三角形的邊、角關系，根據(jù)直角三角形中的已知元素，求出未知元素。4.了解坡度、坡角、俯角、仰角、方位角等名詞與術語。5.能綜合運用直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題。三、考點分析解直角三角形命題所涉及兩部分考點：一、銳角三角函數(shù)，主要考查計算特殊角三角函數(shù)，與三角函數(shù)有關的代數(shù)求值問題，比較兩個三角函數(shù)的大小，會根據(jù)三角函數(shù)值大小確定相應角的大小等。此類問題多以填空題、選擇題和計算題的形式出現(xiàn)；二、解直角三角形，主要考查（1）運用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊之比；（2）運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余，并借助直角三角形邊角之間的關系解證三角問題；（3）用解直角三角形的有關知識來解決實際問題是重中之重。此類問題多以解答題形式獨立命題，或綜合到幾何計算題、壓軸題中。這部分內(nèi)容的考法，有如下特點：（1）試題大多用測量問題聯(lián)系密切，以測量為載體設計問題，突出考查運用解直角三角形解決實際問題；（2）題型主要以選擇題、填空題為主。應用解直角三角形知識解應用題的步驟為：（1）審題，弄清仰角、俯角、坡角等概念及題意；（2）畫圖并構(gòu)造要求解的直角三角形，對于非直角三角形添加適當?shù)妮o助線分割成規(guī)則的幾何圖形；（3）選擇合適的邊角關系計算，確定結(jié)果。我們知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外還有三條邊及兩個銳角共五個元素，那么什么樣的直角三角形才可解呢？如果已知兩個銳角能否解直角三角形呢？事實上，解直角三角形跟直角三角形的判定與作圖有著本質(zhì)的聯(lián)系，因為已知兩個元素（至少有一個是邊）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此時直角三角形是確定的，所以這樣的直角三角形是可解的，由于已知兩個銳角的直角三角形是不確定的，它們是無數(shù)多個相似的直角三角形，因此求不出各邊的長。所以，要解直角三角形，給出的除直角外的兩個元素中，必須至少有一個是邊，這樣，解直角三角形就分為兩大類，即已知一條邊及一個銳角或已知兩條邊解直角三角形。四種基本類型和解法列表如下：已知條件解法一邊及一銳角直角邊a及銳角AB=90°-A,b=a·cotA斜邊c及銳角AB=90°-A,a=c·sinA,b=c·cosA兩邊兩條直角邊a和bc=a2+b2直角邊a和斜邊csinA=ac,B=90°四、典型例題例1．如圖，小明在教學樓上的窗口A看地面上的B、C兩個花壇，測得俯角∠EAB=30°，俯角∠EAC=45°．已知教學樓基點D與點C、B在同一條直線上，且B、C兩花壇之間的距離為6m．求窗口A到地面的高度AD．（結(jié)果保留根號）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析：設窗口A到地面的高度AD為xm，根據(jù)題意在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)用含x的代數(shù)式分別表示線段BD和線段CD的長，再根據(jù)BD-CD=BC=6列出方程，解方程即可．解答：解：設窗口A到地面的高度AD為xm．由題意得：∠ABC=30°，∠ACD=45°，BC=6m．∵在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADC中，CD∵BD-CD=BC=6，∴3x-x=6,∴x=3答：窗口A到地面的高度AD為（33點評：（1）把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；（2）構(gòu)造直角三角形是必不可少的一步；（3）方程是解決問題的有效方法；（4）兩種特殊知覺三角形（有一個角是30°的直角三角形和有一個角是45°的直角三角形）三邊知覺的關系要牢記。例2．一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長。分析：題目雖然給出了兩個特殊的直角三角形，但CD并不是它們的邊，故必須構(gòu)造與CD有關的直角三角形。過D作DM⊥BC于點M，CD雖然為Rt△CDM的一邊，但DM、CM比較難求得；再考慮過B作BM⊥FD與于點M，雖不能直接求出CD，但CD=CM-DM，CM、DM易求，問題也就解決了。解：過點B作BM⊥FD于點M在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°,BC=AC·tan60°=103∵AB∥CF,∴∠BCM=30°∴BM=BC·sin30°=103×12CM=BC·cos30°=103×在△EFD中,∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=53∴CD=CM-MD=15-53點評：（1）如何構(gòu)造直角三角形才最有效，是要讓學生深刻體會的。（2）解直角三角形的問題經(jīng)常與三角形的相似相結(jié)合，所以出現(xiàn)平行線是有利于問題解決的。（3）直接構(gòu)造與所示量相關直角三角形可方便問題解決，但有時卻不易和題目所給條件建立聯(lián)系，所以可考慮求與其相關量達到問題解決。例3、國家海洋局將中國釣魚島最高峰命名為“高華峰”，并對釣魚島進行常態(tài)化立體巡航．如圖1，在一次巡航過程中，巡航飛機飛行高度為2001米，在點A測得高華峰頂F點的俯角為30°，保持方向不變前進1200米到達B點后測得F點俯角為45°，如圖2．請據(jù)此計算釣魚島的最高海拔高度多少米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：（3=1.732，2=1.414）考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．分析：設CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分別用CF表示AC、BC的長度，然后根據(jù)AC-BC=1200，求得x的值，用h-x即可求得最高海拔．解答：解：設CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，CF即AC=3x∵AC-BC=1200∴3x-x=1200解得：x=600（3+1）則DF=h-x=2001-600（3+1）≈362（米）．答：釣魚島的最高海拔高度約362米．點評：(1)利用直角三角形的邊角關系來解決簡單的實際問題，如測量高度、寬度等，是近幾年常見的考題；（2）解決這類問題的關鍵：一是把實際問題數(shù)學化；二是構(gòu)造直角三角形；三是牢記直角三角形（特別是兩種特殊Rt△）的邊角關系；（3）了解測量問題中常見的俯角、仰角、方位角、坡角等名詞和術語的數(shù)學意義。五、題型前瞻題型1：中考英語聽力測試期間，需要杜絕考點周圍的噪音．如圖，點A是某市一中考考點，在位于A考點南偏西15°方向距離125米的C處有一消防隊．在聽力考試期間，消防隊突然接到報警電話，告知在位于C點北偏東75°方向的F點處突發(fā)火災，消防隊必須立即趕往救火．已知消防車的警報聲傳播半徑為100米，若消防車的警報聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改進行駛，試問：消防車是否需要改道行駛？請說明理由．(3取1.732)分析：此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵。首先過點A作AH⊥CF于點H，易得∠ACH=60°，然后利用三角函數(shù)的知識，求得AH的長，繼而可得消防車是否需要改進行駛．解：如圖：過點A作AH⊥CF于點H，由題意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，∵CM∥AN，∴∠ACM=∠CAN=15°，∴∠ACH=∠MCF-∠ACM=75°-15°=60°，∴在Rt△ACH中，AH=AC?sin∠ACH=125×32≈108.25（米）＞100答：消防車不需要改道行駛．題型2：在與水平面夾角是30°的斜坡的頂部，有一座豎直的古塔，如圖是平面圖，斜坡的頂部CD是水平的，在陽光的照射下，古塔AB在斜坡上的影長DE為18米，斜坡頂部的影長DB為6米，光線AE與斜坡的夾角為30°，求古塔的高（2≈1.4，3≈1.7）分析：解直角三角形的應用-坡度坡角問題，此題主要考查了解直角三角形的應用，解決本題的難點是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分。延長BD交AE于點F，作FG⊥ED于點G，Rt△FGD中利用銳角三角函數(shù)求得FD的長，從而求得FB的長，然后在直角三角形ABF中利用銳角三角函數(shù)求得AB的長即可．解：延長BD交AE于點F，作FG⊥ED于點G，∵斜坡的頂部CD是水平的，斜坡與地面的夾角為30°，∴∠FDE=∠AED=30°，∴FD=FE，∵DE=18米，∴EG=GD=12ED=9米，在Rt△FGDDF=DGcos30°=932=63米，∴FB=（63在Rt△AFB中，AB=FB?tan60°=（63+6）×3=（18+63）≈28.2米，所以古塔的高約為28.2米。題型3：生活中，有人用紙條可以折成正五邊形的形狀，折疊過程是將圖①中的紙條按圖②方式拉緊，壓平后可得到圖③中的正五邊形（陰影部分表示紙條的反面）（1）將兩端剪掉則可以得到正五邊形，若將展開，展開后的平面圖形是；

（2）若原長方形紙條（圖①）寬為2cm，求（1）中展開后平面圖形的周長（可以用三角函數(shù)表示）．分析：本題考查了解直角三角形的應用，及圖形的拼剪，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形并求解