2022-2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市棲霞松山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年山東省煙臺(tái)市棲霞松山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A.(－∞,0] B.(3,+∞) C.[1,3) D.(0,1)參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的單調(diào)性，把不等式，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，且，要使得，則，解得，即不等式的解集為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)單調(diào)性，合理利用函數(shù)的單調(diào)性，得出不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.2.已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]參考答案：A【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專(zhuān)題】集合．【分析】解出集合M，根據(jù)子集的概念即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M(jìn)?N；∴a≥2；∴a的取值范圍是[2，+∞）．故選A．【點(diǎn)評(píng)】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助數(shù)軸求解．3.過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是

A．

B．C．

D．參考答案：A4.已知直線(xiàn)按向量平移后得到的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則為（

）（A）（0，1）

（B）（1，0）

（C）（0，2）

（D）（2，0）參考答案：A5.（5分）（2015?濟(jì)寧一模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1參考答案：C【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專(zhuān)題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．6.設(shè)函數(shù)若a>b>1,且f(a)=f(b),則的取值范圍為 （

）A.(-2,3)

B.(-2,2)

C.(1,2)

D.參考答案：D略7.已知條件，條件則p是成立的(

)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略8.集合具有性質(zhì)“若，則”，就稱(chēng)集合是伙伴關(guān)系的集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（

）A.

3

B.

7

C.

15

D.31參考答案：C9.設(shè)全集，集合，，則的值為.

.

.

.

參考答案：C10.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.甲、乙兩人從5門(mén)不同的選修課中各選修2門(mén)，則甲、乙所選的課程中恰有1門(mén)相同的選法有種．參考答案：60【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】間接法：①先求所有兩人各選修2門(mén)的種數(shù)，②再求兩人所選兩門(mén)都相同與都不同的種數(shù)，作差可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，采用間接法：①由題意可得，所有兩人各選修2門(mén)的種數(shù)C52C52=100，②兩人所選兩門(mén)都相同的有為C52=10種，都不同的種數(shù)為C52C32=30，故只恰好有1門(mén)相同的選法有100﹣10﹣30=60種．故答案為60．12.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分別在拋物線(xiàn)y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】積分的意義；幾何概型..B13

K3

【答案解析】

解析：因?yàn)?，所以在第一象限有，則在第一象限的陰影部分的面積為，所以概率為，故答案為.【思路點(diǎn)撥】先利用積分的意義求出圖形在第一象限的陰影部分的面積，然后求概率即可.13.已知函數(shù)f（x）的值域[0，4]（x∈[﹣2，2]），函數(shù)g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，?x1∈[﹣2，2]，總?x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣]∪[，+∞}【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論．【分析】由題意知，g（x）的值域包含f（x）的值域，g（x）的值域與a的正負(fù)有關(guān)，分a＞0，a＜0兩類(lèi)求解，兩類(lèi)中分別得出端點(diǎn)值的大小關(guān)系，求兩個(gè)不等式組，得到關(guān)于a的兩個(gè)范圍，求并集可得a的取值范圍．解：根據(jù)題意，分情況討論可得：①a＞0時(shí)，，得a≥；②a＜0時(shí)，，得a≤﹣，③a=0時(shí)，g（x）=ax﹣1=﹣1，∴a∈?則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域，集合間的關(guān)系，解不等式組等知識(shí)點(diǎn)；把集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式組求參數(shù)范圍，可借助數(shù)軸；求值域時(shí)用分類(lèi)討論的思想．14.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

參考答案：43

15.（文科做）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有

人。參考答案：816.在的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）參考答案：2017.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為．參考答案：15【考點(diǎn)】余弦定理；數(shù)列的應(yīng)用；正弦定理．【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題．【分析】因?yàn)槿切稳厴?gòu)成公差為4的等差數(shù)列，設(shè)中間的一條邊為x，則最大的邊為x+4，最小的邊為x﹣4，根據(jù)余弦定理表示出cos120°的式子，將各自設(shè)出的值代入即可得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的邊長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：設(shè)三角形的三邊分別為x﹣4，x，x+4，則cos120°==﹣，化簡(jiǎn)得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三邊分別為：6，10，14則△ABC的面積S=×6×10sin120°=15．故答案為：15【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為(1)求a，b的值；(2)證明:.參考答案：（1）解：，由題意有，解得

┄┄┄┄┄┄4分（2）證明：（方法一）由（1）知，.設(shè)則只需證明，設(shè)則，在上單調(diào)遞增，，使得

┄┄┄┄┄┄7分且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

┄┄┄┄┄┄8分，由，得，，

┄┄┄┄┄┄10分

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，因此

┄┄┄┄┄┄12分（方法二）先證當(dāng)時(shí)，，即證設(shè)，則，且，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，

┄┄┄┄┄┄8分（也可直接分析顯然成立）再證設(shè)，則，令，得且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，即又， ┄┄┄┄┄┄12分法三：要證不等式等價(jià)于令，，分別求最值.19.提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明；當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式;（Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/每小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時(shí)）參考答案：本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。（滿(mǎn)分12分）

解：（Ⅰ）由題意：當(dāng)；當(dāng)

再由已知得

故函數(shù)的表達(dá)式為

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得

當(dāng)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。

所以，當(dāng)在區(qū)間[20，200]上取得最大值

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值。

即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。18.（本小題滿(mǎn)分12分）

小波以游戲方式?jīng)Q定參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)。游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)?如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為.若就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)。求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

參考答案：21.某公司春節(jié)聯(lián)歡會(huì)中設(shè)一抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的十個(gè)小球．活動(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球，三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng)；獎(jiǎng)金30元，三球號(hào)碼都連號(hào)為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金60元；三球號(hào)碼分別為1，5，10為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金240元；其余情況無(wú)獎(jiǎng)金．（1）員工甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金的分布列與期望；（2）員工乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他得獎(jiǎng)次數(shù)的方差是多少？參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】（1）由題意知甲抽一次獎(jiǎng)，基本事件總數(shù)是C103，獎(jiǎng)金的可能取值是0，30，60，240，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列和期望值．（2）由（1）可得乙一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，和四次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，得到中獎(jiǎng)的次數(shù)符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式寫(xiě)出結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知甲抽一次獎(jiǎng)，基本事件總數(shù)是C103=120，獎(jiǎng)金的可能取值是0，30，60，240，∴一等獎(jiǎng)的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴變量的分布列是ξξ03060240P∴Eξ==20（2）由（1）可得乙一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率是1﹣四次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的∴中獎(jiǎng)次數(shù)η～B（4，）∴Dη=4×【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查二項(xiàng)分布的方差公式，解本題的關(guān)鍵是看清題目中所給的變量的特點(diǎn)，看出符合的規(guī)律，選擇應(yīng)用的公式．22.（12分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】：余弦定理；正弦定理．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；解三角形．【分析】：（1）由正弦定理將已知等式化成角的正弦的形式，化簡(jiǎn)解出sinA=，再由△ABC是銳角三角形，即可算出角A的大?。唬?）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，結(jié)合題意化簡(jiǎn)得b2+c2﹣bc=16，與聯(lián)解b+c=8得到bc的值，再根據(jù)三角形的面積公式加以計(jì)算，可得△ABC的面積．解：（1）∵△ABC中，，∴