北京順義區(qū)第八中學2022年高三數學理聯考試題含解析

北京順義區(qū)第八中學2022年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=log（x2+）﹣||，則使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范圍是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（2，+∞）參考答案：A【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】根據函數的單調性和奇偶性將問題轉化為|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：x＞0時，f（x）=log（x2+）﹣是減函數，x＜0時，f（x）=log（x2+）+是增函數，且f（﹣x）=f（x）是偶函數，若f（x+1）＜f（2x﹣1），則|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故選：A．2.已知向量，其中，，且，則向量和的夾角是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.已知向量，，則的充要條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：4.已知函數，其中e為自然對數的底數，若存在實數x0，使得成立，則實數a的值為A．－ln2－1

B．ln2－1

C．－ln2

D．ln2參考答案：A

5.平行四邊形中，，，，，則的值為（

）A．10

B．12

C.

14

D．16參考答案：D因為平行四邊形中，，，，，所以，，，故選D.

6.某程序框圖如圖所示,若輸出的S=120,則判斷框內應為

A.

B.

C.

D.參考答案：B7.已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x﹣4）=﹣f（x）且在區(qū)間[0，2]上是增函數，則（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）參考答案：D【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據函數奇偶性和單調性之間的關系進行轉化求解即可．【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），即函數的周期是8，則f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），f（80）=f（0），f（﹣25）=f（﹣1），∵f（x）是奇函數，且在區(qū)間[0，2]上是增函數，∴f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是增函數，∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），故選：D【點評】本題主要考查函數值的大小比較，根據函數的奇偶性和單調性之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．8.方程有且僅有兩個不同零點，則的值為

A.

B.

C.

D.

不確定

參考答案：C9.函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）其中的圖象如圖所示，為了得到g（x）=cos（2x﹣）的圖象，只需將f（x）的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位參考答案：D考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：計算題；圖表型；轉化思想；數形結合法；三角函數的圖像與性質．分析：根據圖象求出φ的值，再由“左加右減”法則判斷出函數圖象平移的方向和單位長度．解：∵由函數圖象可得：A的值為1，周期T=4×（﹣）=π，∴ω===2，又函數的圖象的第二個點是（，0），∴2×+φ=π，于是φ=，則f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∵g（x）=cos（2x﹣）=sin2x，∴為了得到g（x）=cos（2x﹣）的圖象，只需將f（x）的圖象向右平移個單位即可．故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數的函數圖象，根據函數圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應用，注意應用正弦函數圖象的關鍵點進行求解，考查了讀圖能力和圖象變換法則，屬于中檔題．10.在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數列的概率為（

）A．B．

C．D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果直線和函數的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內部或圓上，那么的取值范圍

.參考答案：【知識點】圓的標準方程；指數函數的單調性與特殊點．B6

H3【答案解析】[]．

解析：函數f（x）=mx+1+1的圖象恒過點（﹣1，2），代入直線2ax﹣by+14=0可得﹣2a﹣2b+14=0，即a+b=7．∵定點始終落在圓（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的內部或圓上，∴a2+b2≤25設=t，則b=at，代入a+b=7，∴a=代入a2+b2≤25可得，∴12t2﹣25t+12≤0，∴．故答案為：[]．【思路點撥】求出函數恒過的定點，代入直線方程，及圓的方程，再換元，轉化為t的不等式，即可求出的取值范圍.12.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2=6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k=﹣，則線段PF的長為．參考答案：6【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先根據拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，根據直線AF的斜率得到AF方程，與準線方程聯立，解出A點坐標，因為PA垂直準線l，所以P點與A點縱坐標相同，再代入拋物線方程求P點橫坐標，利用拋物線的定義就可求出PF長．【解答】解：∵拋物線方程為y2=6x，∴焦點F（1.5，0），準線l方程為x=﹣1.5，∵直線AF的斜率為﹣，直線AF的方程為y=﹣（x﹣1.5），當x=﹣1.5時，y=3，由可得A點坐標為（﹣1.5，3）∵PA⊥l，A為垂足，∴P點縱坐標為3，代入拋物線方程，得P點坐標為（4.5，3），∴|PF|=|PA|=4.5﹣（﹣1.5）=6．故答案為6．13.函數的圖像在點處的切線的傾斜角為________．參考答案：試題分析：由題意有，，則，則切線的傾斜角為.考點：1.導數的幾何意義；2.斜率的幾何意義.14.200輛汽車經過某一雷達地區(qū)，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速不低于60km/h的汽車數量為

輛．

參考答案：7615.函數零點的個數為

.參考答案：416.用數學歸納法證明時，由的假設到證明時，等式左邊應添加的式子是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略17.在平面直角坐標系中，點是第一象限內曲線上的一個動點，點處的切線與兩個坐標軸交于兩點,則的面積的最小值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟19.（本小題12分）為響應低碳綠色出行,某市推出‘’新能源分時租賃汽車‘’,其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費得標準由以下兩部分組成：（1）根據行駛里程數按1元/公里計費;（2）當租車時間不超過40分鐘時,按0.12元/分鐘計費;當租車時間超過40分鐘時,超出的部分按0.20元/分鐘計費;（3）租車時間不足1分鐘,按1分鐘計算.已知張先生從家里到公司的距離為15公里,每天租用該款汽車上下班各一次,且每次租車時間t∈[20,60]（單位:分鐘）.由于堵車,紅綠燈等因素,每次路上租車時間t是一個隨即變量.現統(tǒng)計了他50次路上租車時間,整理后得到下表:租車時間t（分鐘）[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]頻數2182010

將上述租車時間的頻率視為概率.(1)寫出張先生一次租車費用y(元)與租車時間t(分鐘)的函數關系式;(2)公司規(guī)定,員工上下班可以免費乘坐公司接送車,若不乘坐公司接送車的每月(按22天計算)給800元車補.從經濟收入的角度分析,張先生上下班應該選擇公司接送車,還是租用該款新能源汽車?參考答案：19.（2017?南寧一模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點，點P（2，）是橢圓G上一點，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求橢圓G的方程；（2）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若⊥，其中O為坐標原點，判斷O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）根據橢圓的定義，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根據點到直線的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；（2）當直線l⊥x軸，將直線x=m代入橢圓方程，求得A和B點坐標，由向量數量積的坐標運算，即可求得m的值，求得O到直線l的距離；當直線AB的斜率存在時，設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，點到直線的距離公式，即可求得O到直線l的距離為定值．【解答】解：（1）由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，則=3，化簡得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，則丨PF1丨=3=a，則a=2，b2=a2﹣c2=4，∴橢圓的標準方程為：；（2）由題意可知，直線l不過原點，設A（x1，x2），B（x2，y2），①當直線l⊥x軸，直線l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，則x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直線l的方程為x=±，∴原點O到直線l的距離d=，②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+n，則，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，則y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①則原點O到直線l的距離d=，∴d2=（）2==，②將①代入②，則d2==，∴d=，綜上可知：點O到直線l的距離為定值．【點評】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．20.(14分)如圖,在直三棱柱中，

，點為的中點

(Ⅰ)求證;(Ⅱ)求證;(Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值參考答案：解析：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC內的射影為BC，∴AC⊥BC1；（II）設CB1與C1B的交點為E，連結DE，∵D是AB的中點，E是BC1的中點，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（III）∵DE//AC1，∴∠CED為AC1與B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.解法二：∵直三棱錐底面三邊長，兩兩垂直如圖建立坐標系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)

(Ⅰ),(Ⅱ)設與的交點為E，則E(0,2,2)

(Ⅲ)

∴異面直線與所成角的余弦值為21.（本小題滿分13分）某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線相切于點M.A為上半圓弧上一點，過點A作的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內進行綠化．設△ABM的面積為S(單位：)，(單位：弧度）．(I)將S表示為的函數；(II)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積．參考答案：（Ⅰ）如圖，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．

……3分則S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．……6分（Ⅱ）S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此時θ＝.

…………8分當θ變化時，S′，S的變化情況如下表：θS′＋0－S極大值所以，當θ＝時，S取得最大值Smax＝3750m2，此時AB＝150m，即點A到北京路一邊的距離為150m.

…………13分22.改革開放以來，我國農村7億多貧困人口擺脫貧困，貧困發(fā)生率由1978年的下降到2018年底的，創(chuàng)造了人類減貧史上的中國奇跡，為全球減貧事業(yè)貢獻了中國智慧和中國方案．“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例.2012年至2018年我國貧困發(fā)生率的數據如表：年份（）201220132014201520162