創(chuàng)意平板折疊桌

PAGE2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：B 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：數(shù)模教練組日期：2014年9月12日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：PAGE1易。分析發(fā)現(xiàn)最外側(cè)桌腳越長(zhǎng)越費(fèi)材料，但由于增加了底面積而增加了穩(wěn)固性。另由力學(xué)分析得桌子在受壓后不會(huì)恢復(fù)原狀的必要條件是每側(cè)最中間的桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹”。這樣桌子受壓時(shí)外側(cè)桌腿向外的趨勢(shì)與中間桌腿向內(nèi)的趨勢(shì)可通過(guò)鋼筋抵消，從而使桌子具備抗壓能力。鋼筋的位置會(huì)影響桌腿開(kāi)槽長(zhǎng)度。槽的長(zhǎng)度又有限制條件，即須為正數(shù)且小于所在桌腿長(zhǎng)。其它的限制條件有：平鋪時(shí)鋼筋的位置須在最短桌腿范圍內(nèi)；折疊時(shí)以兩側(cè)中間向內(nèi)的桌腿相碰為極限狀態(tài)。該問(wèn)難點(diǎn)在于如何建立一個(gè)優(yōu)化模型以求得最優(yōu)解。本文以材料總面積大小作為節(jié)省材料的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，以桌腳與地面形成的底面積大小評(píng)判其穩(wěn)固性。以兩者的加權(quán)差作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。考慮實(shí)際確定權(quán)值后利用Lingo計(jì)算出最優(yōu)解?？紤]了前兩個(gè)因素后考慮加工難易。以開(kāi)槽長(zhǎng)短作為加工難易的標(biāo)準(zhǔn)?？疾觳煌摻钗恢脮r(shí)桌腿開(kāi)槽長(zhǎng)度，在約束范圍內(nèi)選取最優(yōu)的槽長(zhǎng)。問(wèn)題三需要滿足客戶提出的需求以設(shè)計(jì)桌子。在設(shè)計(jì)時(shí)需要全面考慮所有限制因素，并選擇最優(yōu)方案。沿用第一問(wèn)的計(jì)算方法及第二問(wèn)的優(yōu)化模型，根據(jù)客戶給出的桌面形狀、桌高及桌角線形狀計(jì)算桌腿長(zhǎng)、鋼筋位置以及桌腿開(kāi)槽長(zhǎng)度等加工參數(shù)。應(yīng)用前兩問(wèn)的程序，改動(dòng)桌面邊緣線的方程，輸入客戶給定的參數(shù)，即可繪圖并得出最優(yōu)的加工參數(shù)。在最后本文給出了兩例分別以橢圓形與心形作為桌面形狀。三、模型假設(shè) 1.假設(shè)桌子的材料和鋼筋足夠堅(jiān)固，能承受桌子上物體的壓力不會(huì)斷裂；2.計(jì)算時(shí)桌腳接觸面為平面，軸穿過(guò)桌面中心，桌子關(guān)于軸對(duì)稱。四、變量說(shuō)明桌子的長(zhǎng)度的一半桌子的高度最外側(cè)桌腳在面上的投影長(zhǎng)度長(zhǎng)方形木板面積四個(gè)桌腳所圍面積圓桌面面積桌面的半徑五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題一的求解如圖1建立空間直角坐標(biāo)系圖1桌子的坐標(biāo)示意圖最外側(cè)四個(gè)桌腳均落在平面內(nèi)，桌子的圓心在軸上，且整個(gè)桌子關(guān)于軸對(duì)稱。所有桌腿都平行于平面。其側(cè)視圖為圖2折疊后的桌子側(cè)面示意圖設(shè)圓桌面邊緣上任意點(diǎn)（），鋼筋固定點(diǎn)(),桌腳邊緣點(diǎn)（）。桌面長(zhǎng)度為，則桌腳長(zhǎng)度為。桌子折疊后，鋼筋相對(duì)于每一根桌腿的位置就確定了，因此每一根桌腳必然經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)?？梢岳脦缀侮P(guān)系求出所需加工參數(shù)。過(guò)作桌面的垂線，垂足為，則。則,，其中，，點(diǎn)()滿足過(guò)作桌面的垂線，使垂足為，根據(jù)兩個(gè)相似三角形的關(guān)系得到桌腳點(diǎn)的坐標(biāo)由于則均可以用參數(shù)來(lái)表示。因?yàn)橐阎?，而，所以折疊桌子的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程即是隨著變化，桌腳邊緣線的變化過(guò)程。由于桌子的高度為53，桌子厚度為3，則桌腳的高度為50。由，利用matlab作圖得圖3桌子折疊后桌子邊緣線的坐標(biāo)圖當(dāng)桌子平鋪為一張木板時(shí)，每根桌腿的槽的上沿位于同一條直線，即M點(diǎn)均在桌子長(zhǎng)的處。故，所以槽的寬度。桌子折疊后后的距離即為圖1中的長(zhǎng)度。圖4木板上的槽寬示意圖利用兩點(diǎn)間距離公式得利用matlab作圖，得到槽長(zhǎng)關(guān)于的變化曲線圖5不同桌腳的槽的長(zhǎng)度示意圖由圖可以看出兩側(cè)的桌腳槽長(zhǎng)為零，越中間的桌腳槽長(zhǎng)越長(zhǎng)。從一側(cè)到中央的十根桌腳槽寬依次為：表1各桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度桌腳序號(hào)（從外到里）槽的長(zhǎng)度(cm)第1根0第2根8.4015第3根11.5360第4根14.1148第5根16.2456第6根17.9768第7根19.3364第8根20.3426第9根21.0072第10根21.33775.2最優(yōu)化模型與問(wèn)題二的求解：5.2.1該問(wèn)分兩部走，首先確定最外側(cè)桌腿長(zhǎng)，其次確定鋼筋位置。折疊桌的最外側(cè)桌腿長(zhǎng)度決定了長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)，從而決定長(zhǎng)方形木板的面積，面積越少，所用材料就越少，于是通過(guò)建立最外側(cè)桌腿長(zhǎng)與面積的關(guān)系反映用材量。四個(gè)桌腳在地面圍成長(zhǎng)方形，根據(jù)物理常識(shí)，四個(gè)桌腳所圍成的面越大，重心越不易落到接觸面之外，桌子就越穩(wěn)固。以木板總面積與桌腳形成矩形面積之差為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系得出約束條件，對(duì)腿長(zhǎng)的選擇進(jìn)行優(yōu)化。長(zhǎng)方形木板面積四個(gè)桌腳形成的面積圓桌面的面積當(dāng)時(shí)，這樣的桌子被稱為獨(dú)腳桌，不穩(wěn)定所以圖6折疊后桌子的側(cè)視圖因?yàn)镺C=,CD=,而最內(nèi)側(cè)的桌腳最多碰地，所以,即則可建立有約束條件的優(yōu)化模型對(duì)于廠商來(lái)說(shuō)，節(jié)約成本很重要，所以取代入數(shù)據(jù)，。用lingo運(yùn)行得到結(jié)果,經(jīng)計(jì)算可知最外側(cè)的兩根桌腳連線大約與圓相切，即四個(gè)桌腳形成的圖形為正方形。該桌中最外側(cè)桌腳，長(zhǎng)方形木板面積為，桌腳最外側(cè)桌腳面積為。5.2.2利用所得的最優(yōu)桌腳圍成形狀來(lái)確定最小槽寬桌腿上開(kāi)槽長(zhǎng)度越小加工越容易。同時(shí)槽長(zhǎng)須滿足一定約束條件：為正數(shù)、小于腿長(zhǎng)。參照上述分析作示意圖如下圖7木板上的槽寬示意圖，其中,,,圖一中在中，由余弦定理得槽寬=代入原始數(shù)據(jù)和所得的，在Matlab中考察不同值對(duì)開(kāi)槽長(zhǎng)度的影響。除去不可取的位置后選取最優(yōu)的槽長(zhǎng)。表2各桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度桌腳序號(hào)（從外到里）槽的最短長(zhǎng)度第1根0第2根13.8582第3根18.6100第4根17.8793第5根14.7612第6根12.2463第7根10.2795第8根8.8275第9根7．8697第10根7.39375.3問(wèn)題三的求解：根據(jù)客戶的設(shè)定要求來(lái)設(shè)計(jì)，找出最優(yōu)的加工參數(shù)。在問(wèn)題一和問(wèn)題二中我們研究的都是圓形，且給定了一些設(shè)計(jì)參數(shù)。但對(duì)于問(wèn)題三，需要全面考慮所有限制條件以及客戶所給出的各種組合能否實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題。在問(wèn)題一中，給定長(zhǎng)方形木板材料，但是實(shí)際上，桌子展開(kāi)成平面時(shí)不一定非要是長(zhǎng)方形。我們可以這樣來(lái)想：首先，按照客戶指定的桌面大小形狀來(lái)做出桌面，然后根據(jù)桌高來(lái)確定并且做出四根接觸地面的桌腿（如圖Ⅰ，圖Ⅰ只畫(huà)了正面的兩條桌腿）；在桌腿插上鋼筋，然后再將木條向鋼筋上放，要求是這些木條能恰好插入到鋼筋（如圖Ⅱ）；最后延長(zhǎng)木條，使得木塊下沿構(gòu)成客戶所需要的形狀（如圖Ⅲ，圖Ⅲ）。圖Ⅰ圖Ⅱ圖Ⅲ這個(gè)方法很顯然可以實(shí)現(xiàn)，這樣做可以方便加工，而且若是客戶沒(méi)有要求鋪開(kāi)時(shí)木板形狀，我們還可以將木條的長(zhǎng)度縮減到恰好能被鋼筋連接起來(lái)，這樣又可以節(jié)省一部分材料。在程序?qū)崿F(xiàn)中，客戶給定桌面形狀、桌高以及桌腳邊緣線大致形狀，只要能給出桌面邊緣的顯式或參數(shù)方程，就可以自動(dòng)計(jì)算加工參數(shù)并制圖。本文考察了桌面為半長(zhǎng)軸為50，半短軸為40的橢圓，高80的桌子，以及以系數(shù)為20的心形為桌面，高為70的桌子。給出了開(kāi)槽長(zhǎng)度及折疊過(guò)程示意圖。橢圓形桌面表3各桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度桌腳序號(hào)（從外到里）槽的長(zhǎng)度第1根0第2根17.8746第3根24.5662第4根30.0544第5根34.5735第6根37.2380第7根34.3708第8根32.2532第9根30.8564第10根30.1623心形桌面表4各桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度桌腳序號(hào)（從外到里）槽的長(zhǎng)度第1根0第2根8.7391第3根18.3158第4根10.3634第5根6.7269第6根3.6755第7根1.4695第8根0.3274第9根0.4012第10根1.7568第11根4.3605第12根8.0718第13根12.6481第14根17.7660第15根12.0498第16根0.0515六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)：1.問(wèn)題一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圓形，最外側(cè)的桌腳的長(zhǎng)度也不是桌長(zhǎng)的一半。2.桌腳構(gòu)成的邊緣線并不是連續(xù)的，槽的長(zhǎng)度構(gòu)成的曲線也不是連續(xù)的，求得的數(shù)據(jù)有誤差。優(yōu)點(diǎn)：利用桌子各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，將桌子加工的方式進(jìn)行改進(jìn)，使加工方式簡(jiǎn)化；6．2模型的推廣1.本文建立的模型是簡(jiǎn)化很多條件后的，因?yàn)樽钔鈧?cè)桌腿的頂側(cè)并不是相接的，而是留有一小塊木塊，實(shí)際上不論是什么形狀的桌子，都必須要留有一部分，否則兩條桌腿便無(wú)法合上，實(shí)際的最外側(cè)桌腿應(yīng)該比長(zhǎng)方形的一半要小，可以根據(jù)木塊的厚度來(lái)決定所留木塊的長(zhǎng)短，再將這一數(shù)據(jù)代入模型中可以減小與實(shí)際情況的誤差。2.槽長(zhǎng)和最外側(cè)桌腿與地面的夾角以及鋼筋的位置有關(guān)，這樣就可以將槽長(zhǎng)和桌腿地面的面積以及桌面面積聯(lián)系在一起，建立一個(gè)二元變量的目標(biāo)函數(shù)，鋼筋的位置是有范圍的，不能接觸到桌面邊緣，也不能超出最外側(cè)木板，在這個(gè)約束條件內(nèi)求最優(yōu)的鋼筋位置和最外側(cè)桌腿與地面夾角。七、參考文獻(xiàn)[1]王思成，GBT，10357.7-1995家具力學(xué)性能試驗(yàn)桌類穩(wěn)定性[J]，16-18.2012-09-13.八、附錄附錄一計(jì)算第一問(wèn)的加工參數(shù)cleari=0;forx=-25:0.05:25;%%以x為參數(shù)計(jì)算桌腳坐標(biāo)及開(kāi)槽長(zhǎng)度i=i+1;x0(i)=x;z(i)=50;y(i)=sqrt(25^2-x^2);y0(i)=sqrt(625-x.^2)+(60-sqrt(625-x.^2)).*(16.583-sqrt(625-x.^2))/sqrt(1250-x.^2+16.583.^2-2.*16.583.*sqrt(625-x.^2));z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.^2))/sqrt(625+(sqrt(625-x.^2)-16.583).^2);d2(i)=sqrt((y0(i)-16.583).^2+(z0(i)-25).^2);%%折疊時(shí)鋼筋到桌腳的距離d(i)=30-d2(i);%%開(kāi)槽長(zhǎng)度endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')%%繪制桌腳邊緣線holdongridonsubplot(1,2,2)%%繪制槽長(zhǎng)變化曲線plot(x0,d)gridon附錄二第二問(wèn)cleari=0;y1=30;%%更改不同的y1來(lái)模擬不同的鋼筋位置forx=-40:0.05:40i=i+1;y(i)=sqrt(1600-x^2);co(i)=(y1-y(i))/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);si(i)=7/4*y1/sqrt((y1-y(i))^2+(7/4*y1)^2);x0(i)=x;y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i))*co(i);z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i))*si(i);%%計(jì)算桌腳的坐標(biāo)d2(i)=sqrt((y1-y0(i))^2+(70-7/4*y1-z0(i))^2);d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y1^2+(7/4*y1)^2)-d2(i);y2(i)=-y0(i);l(i)=sqrt(6500)-y(i);endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,'r-')holdonplot3(x0,y2,z0)%%繪制桌腳邊緣線gridonsubplot(1,2,2)%%繪制槽長(zhǎng)變化曲線plot(x0,d)holdonplot(x0,l,'r')%%繪制桌腿長(zhǎng)變化曲線gridon附錄三min=11200*(1-0.5*@sqrt(1-x^2))/x;//此函數(shù)為加權(quán)后的目標(biāo)函數(shù)x>=0.580322535;//程序中的x就是,為了計(jì)算簡(jiǎn)便用了換元x<=0.921573912;附錄四第四問(wèn)橢圓桌面cleara=50;b=40;%%輸入桌面形狀h=80;%%輸入桌高h(yuǎn)p=70;%%折疊時(shí)變化的桌高i=0;y1=30;l=sqrt(a^2+h^2);z1p=hp-y1*hp/a;y1p=y1/a*sqrt(l^2-hp^2);forx=-b:0.01:b;i=i+1;x0(i)=x;y(i)=sqrt((1-x^2/b^2)*a^2);z(i)=hp;l0(i)=l-y(i);si(i)=(hp-z1p)/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);co(i)=(y1p-y(i))/sqrt((y1p-y(i))^2+(hp-z1p)^2);y0(i)=l0(i)*co(i)+y(i);z0(i)=hp-l0(i)*si(i);%%計(jì)算桌腳坐標(biāo)d2(i)=sqrt((y1p-y0(i)